抽样定理及应用

1、抽样定理及应用抽样定理及应用一. 课程设计的目的1. 掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件 MATLAB的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与 重构的概念。3初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。4. 学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用 连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。5. 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本 概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。6. 加深对釆样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续

2、 信号在时域的采样与重构的方法。二. 课程设计的内容及要求1 课程设计的内容离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不 是用plot函数来画出序列波形。命令窗口没打开时，从“Desktop菜单中选 择Command Window选项可以打开它。“”符号是输入函数的提示符，在提 示符后面输入数据和运行函数。退出MATLAB时，工作空间中的内容随之清除。可以将当前工作中的部分或 全部变量保存在一个MAT文件中，它是一种二进制文件，扩展名为.mat。然后可 在以后使用它时载入它。用MATLAB的当前目录浏览器搜索、查看、打开、査找和改变MATLAB路径和 文件。在MAT

3、LAB桌面上，从Desktop”菜单中选择Current Directoryw选 项，或者在命令窗口键入“f订ebrowser”，打开当前目录浏览器。使用当前目 录浏览器可以完成下面的主要任务：査看和改变路径；创建、重命名、复制和 删除路径和文件：打开、运行和査看文件的内容：由于函数Sa不是严格的带限信号，其带宽可根据一定的精度要求做一 近似c根据以下三种情况用MATLAB实现采样信号及重构并求出两者误差，分析 三种情况下的结果。(1) Sa(/)的临界采样及重构：a)=,9T,=2ApJ%；(2) Sa(r)的过采样及重构:%=, a)r=Aa)m, T,=25pJ%；(3) Sa(/)的欠

4、采样及重构:com = 1 9 (oc = com 9 Ts =2.5pi/a)m o2. 课程设计的方案2.1课程设计的原埋2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过(A/D)变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其 频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs,重复出现一次。为保证采样后信 号的频谱形状不失真，釆样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之 为采样定理。时域采样定理从采样信号工(恢复原信号/(f)必需满足两个条件：(1) /0)必须是带限信号，其频谱函数在H %各处为零；(对信号的要求， 即只有带限信号才能适用采样定理。)(2) 取样频率不能过低，必须 叫2 (或2人)。

5、(对取样频率的要 求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。)如果釆样 频率 = 2n/TQ大于或等于2%,即 2 (2。皿为连续信号&的有限 频谱)，则釆样离散信号&()能无失真地恢复到原来的连续信号)。一个频 谱在区间(- ，叫)以外为零的频带有限信号/(，可唯一地由其在均匀间 隔7；(爲厂)上的样点值/伍爲)所确定。根据时域与频域的对称性，可 以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号/(/),它集中在 (-+%)的时间范围内，则该信号的频谱尸0。)在频域中以间隔为的冲 激序列进行采样，采样后的频谱F(jco)可以惟一表示原信号的条件为重复周期T1 2tm

6、，或频域间隔 f 1 1 （其中 1 2 ）。采样信号 的频谱是1 m 22t m1 T1原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当 s 2 时， 不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号中恢复原信号 。（注： s 2的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的 2 倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢 复原信号提供了可能！ ）(a)（c）图 *抽样定理a）等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）b）高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱(混叠)2.1.2 信号采样如图 1 所示，给出了信号采样原理图由图 1

7、可见，信号采样原理图a)fs(t) f (t) Ts(t)，其中，冲激采样信号Ts(t)的表达式为：Ts (t)(t nTs)n其傅立叶变换为 s ( n s)，其中 s 2 。设 F(j )，Fs(j )分别 nTs为 f (t)， fs(t) 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得11Fs(j ) 1 F( j )* s ( n s) 1 Fj( n s) 2 nTs n若设 f (t )是带限信号，带宽为 m， f (t)经过采样后的频谱 Fs(j ) 就是将 F( j )在频率轴上搬移至 0, s, 2s, , ns, 处(幅度为原频谱的 1Ts 倍)。因 此，当 s 2 m

8、时，频谱不发生混叠；而当 s 2 m 时，频谱发生混叠。一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列T (t) 的幅值调制器，即理想采样器的输出信号 e* (t ) ，是连续输入信号 e(t )调制在载波 T(t) 上的 结果，如图 2 所示。图 2 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有e (t) e(t) T (t)理想单位脉冲序列 T(t) 可以表示为T (t )(t nT)n0其中 (t nT )是出现在时刻 t nT ，强度为 1的单位脉冲。由于 e(t)的 数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设e(t ) 0 t 0所以 e ( t) 又可表示为e* (t)e(nT) (

9、t nT)n02.1.3 信号重构设信号 f (t)被采样后形成的采样信号为 fs(t) ，信号的重构是指由 fs(t)经过 内插处理后，恢复出原来信号 f (t) 的过程。又称为信号恢复。若设 f (t )是带限信号，带宽为 m ，经采样后的频谱为 Fs( j ) 。设采样频率s 2 m ，则由式( 9)知 Fs( j ) 是以 s 为周期的谱线。现选取一个频率特性 TscH( j ) (其中截止频率 c满足 m c s )的理想低通滤波器 02c与Fs(j )相乘，得到的频谱即为原信号的频谱 F( j )。显然， F( j ) Fs( j )H( j )，与之对应的时域表达式为10)f (

10、t) h(t) * fs(t)fs(t) f (t) (t nTs)nf (nTs) (t nTs )1ch(t) F 1H(j ) Ts c Sa( ct)将h(t)及 fs(t) 代入式( 10)得f (t) fs(t)*Ts c Sa( ct) Ts cf (nTs)Sa c(t nTs)(11)n式(11)即为用 f(nTs)求解 f (t )的表达式，是利用 MATLAB 实现信号重构的基本关系式，抽样函数 Sa( ct) 在此起着内插函数的作用例：设 f (t) Sa(t)sintt其 F( j )为：F( j )101即 f (t )的带宽为 m 1，为了由 f (t )的采样信

11、号 fs(t) 不失真地重构 f (t) ，由时域采样定理知采样间隔 Ts，取 Ts 0.7 (过采样)。利用 MATLAB 的抽m样函数 Sinc(t ) sin( t)来表示 Sa(t )，有 Sa(t) Sinc(t / ) 。据此可知：tf (t) fs(t)*Ts c Sa( ct) Ts c f (nTs)Sinc c (t nTs)n通过以上分析， 得到如下的时域采样定理： 一个带宽为 wm 的带限信号 f(t)， 可唯一地由它的均匀取样信号 fs(nTs)确定，其中，取样间隔 Ts/wm, 该取样 间隔又称为奈奎斯特间隔。 根据时域卷积定理， 求出信号重构的数学表达式为： 式中

12、的抽样函数 Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数 进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的 定义值。利用 MATLAB 中的抽样函数 来表示 Sa(t)，有， ，于是，信号重构的内插公式也可表示为：2.2 设计的思路连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除 了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样 时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时 间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以

13、得到采样点上的样本 值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了 采样信号的频谱。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬 时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为 连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号 的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数， 就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时 域的对称关系，得到了信号。2.3 详细设计过程2.3.1 Sa(t) 的临界采样及重构1实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的 2倍，

14、即 s 2 m 时，称为临 界采样 . 修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样 信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。Sa(t) 的临界采样及重构程序代码；wm=1; % 升余弦脉冲信号带宽wc=wm;%频率Ts=pi/wm;% 周期ws=2.4*pi/Ts;%理想低通截止频率n=-100:100;% 定义序列的长度是 201nTs=n*Ts% 采样点f=sinc(nTs/pi);% 抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,leng

15、th( t); % 信号重建t1=-20:0.5:20; f1=sinc(t1/pi);subplot(211); stem(t1,f1);xlabel(kTs); ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号 ); subplot(212);plot(t,fa) xlabel(t);ylabel(fa(t);title( 由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构 sa(t); grid;2程序运行运行结果图与分析图3 Sa(t) 的临界采样及重构图 运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以 计算出两信号的绝对误差。

16、当 t 选取的数据越大，起止的宽度越大。2.3.2 Sa(t )的过采样及重构1实现程序代码 当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的 2 倍，即 s 2 m 时，称为过采 样.在不同采样频率的条件下，观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信 号与误差信号的变化。Sa(t) 的过采样及重构程序代码；wm=1;wc=1.1*wm;Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*

17、ones(1,length( t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号 ); subplot(312);plot(t,fa) xlabel(t);ylabel(fa(t);title( 由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构 sa(t);grid; subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);ti

18、tle( 过采样信号与原信号的误差 error(t); 2程序运行运行结果图与分析。运行分析：将原始信号分别修改为抽样函数 Sa(t)、正弦信号 sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t) 、指数信号 e-2tu(t)时，在不同采样频率的条件下， 可以 观察到对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。 2.3.3Sa(t) 的欠采样及重构1实现程序代码当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的 2倍，即 s 2 m 时，称为过采样。利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。Sa(t) 的欠采样及重构程序代码；wm=1;wc=wm;Ts=2.5 *pi

19、/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length( t); error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-20:0.5:20 f1=sinc(t1/pi);subplot(311); stem(t1,f1);xlabel(kTs); ylabel(f(kTs); title(sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号 sa(t); subplot(312);plo

20、t(t,fa) xlabel(t);ylabel(fa(t);title( 由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构 sa(t); grid;subplot(313); plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t); title( 欠采样信号与原信号的误差 error(t);2程序运行运行结果图与分析误差分析：绝对误差 error 已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得 在 c 区域内的频谱相互“干扰”所致。2.4 设计方案优缺点优点： MATLAB在绘图方面提供了相当高级的函数序及程序界面，即使用户 没有丰富的程序设计经验，也能够快速地得到自己想要的结果，熟练的使用 MATLAB的程序员或研究人员能缩短研究开发时间，从而提高竞争力， MATLAB和 其他高级语言有良好的接口，可以方便地实现与其他语言的混合编程，从而进 一步扩宽 MATLAB的应用潜力。缺点： MATLAB占用内存空间很大，并且会因硬盘分区是 NTFS格式还是 FAT 格式而有差异。3. 程序中的常见函数和功能程序中的常见函数和功能 :abs( ) 求绝对值 ;sinc( ) Sa(t)函数;ones( ) 全1 矩阵;plot( ) 绘图;subplot( )