向量组的线性相关性与向量空间问题1判别向量是否可以用向量组

1、向量组的线性相关性与向量空间问题 1：判别向量 是否可以用向量组 1, 2, , s 线性表示的两种方法？举例说明：例：已知8500由定义可知，向量1210由(1)式，得到；就转化为上述线性方这一组系数 k1, k2 , k3 ,k4 ，可以有 k1 1 k1 2 k3 3 k4 4 ，（1）123即， 是否可以用 1, 2, 3, 4 的线性组合表示出来。程组是否有解的问题，如果这个线性方程组有唯一解，则，表示方式唯一。 因此，求解向量 是否可以用向量组 1, 2, , s 线性表示的两种方法： 假设向量都是列向量：法一：构造 A 1 2 s ，无解 不能线性表示； 求解 Ax 的线性方程组

2、 有唯一解 唯一表示； 无穷多解 表示不唯一。法二：构造 A 1 2s ， A?1 2s，r( A) r (A) 不能线性表示；求r(A) , r(A) r(A) r(A) n(向量的维度 ) 唯一表示；r( A) r (A) n(向量的维度 ) 表示不唯一。当向量是行向量时，将之转化为求转置即可这两种方法实质都是通过判断方程组解的情况判断线性表示的问题。问题 2：求所有如下列形式的向量合的一组基a 2b 5c 1 2 52a 5b 8c a 4b 7c 3a b cc构成集答：这类问题实质上就是求向量组的极大无关组的问题a 2b 5c3a b c2a 5b 8ca 4b 7c求向量组的极大无

3、关组，25101580128 ，其行阶梯最简行为470001100012构造 A13由此，看出，第一列和第二列构成一个最大无关组，所以，构成集合的一组基为：25143112问题 3：区别向量组等价和矩阵等价答： 向量组的等价是指向量组之间可以相互表示；而矩阵等价是指一个矩阵通 过初等变换可以得到另外一个矩阵。 两者看似没有联系， 实质是有联系的， 下面 以列向量为例：假设有两个向量组 T1和T2等价，则，可以用 T1向量组内的 4 个向量的线性组 合将 T2 向量组内的 5 个向量分别表示出，反之亦然；T1 1, 2, 3, 4, T2 1, 2, 3, 4, 5,构造 A= 1, 2, 3,

4、 4， 1, 2 , 3, 4, 5 必然可以通过初等列变换，将A=1,2,3,4， 1,2,3, 4 , 51,2 ,3,4，0,0,0,0,0 =BA= 1, 2,3,4，1,2,3,4, 50,0,0,0，1,2 ,3,4, 5 =C则， A B C问题 4：为什么列向量组可以通过对构成矩阵进行初等行变换找出极大无关组？1402-1312155答： 举例说明。设 1= 3， 2 =， 3 =， 4 =， 5 =1228314352520288求 T1 1, 2, 3, 4 , 5, 的极大无关组。 构造A= 1, 2 , 3 , 4, 52341325构造组合系数 k1,k2,k3,k4

5、, k5, 使得4 0 2 112 1 5 58 1 3 220 2 8 82 3 4 5k1 1 k1 2 k3 3 k4 4 k5 5 0 ，从而判断 1, 2 , 3, 4, 5的线性相关性。由 k1 1 k1 2 k3 3 k4 4 k5 5 0，可以得到下面线性方程组0，即Ak1k2k3k4k5求系数矩阵的行阶梯最简形，rref ( A)10004000010021000010k1k1k2k2则 r r e(f )A 3 k0和 Ak30 是同解方程组，k4k4k5k5所以， 向量组 1， 2， 3， 4， 5与 1， 2， 3， 4， 5有相同的线性相关性从更简单的向量组 1, 2

6、 , 3, 4, 5看出，第一列，第三列和第五列是线性无关的向量，对应地， 1, 3, 5 为向量组 1， 2， 3， 4， 5的极大无关组。问题 5：举例说明齐次线性方程组解的结构。x1 x2 x3 x4 0答： 设： x1 x2 x3 3x4 0x1 x2 2 x3 3x4 01111系数矩阵为： A111311231 1 0 1则其行阶梯最简行 rref ( A) 0 0 1 20000可得同解方程组为：x4 0x2 x4x1 t1 t2x1x2 x222x2 t1x2x3 2 x4x3 2t2x3x4 x4x4 t 2x4x3 2x4 0于是，有：1x110由定义可知，解空间的基础解系为：t1t20111, 2 满足以下三点：1, 2是 Ax 0的解，显然成立；所有的 Ax 0 的解都可以