中考数学专题04 三角函数的应用模型解题含解析

1、解题模型一 “独立”型图形关系式针对训练1图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，ac 是可以伸缩的起重臂，其转动点 a 离地面 bd 的高 度 ah 为 3.4m当起重臂 ac 长度为 9m，张角hac 为 118时，求操作平台 c 离地面的高度（结果保留 小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）【答案】操作平台 c 离地面的高度 为 7.6m。1【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三 角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算 解题模型二 “背靠背”

2、型图形关系式针对训练2如图，有一个三角形的钢架 abc，a=30，c=45，ac=2（ 钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆形门？+1）m请计 算说明，工人师傅搬运此2【答案】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门。【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出 bd 的长是解此题的关键 3为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 a、b 两地间的公路进行改建如图，a、b 两地之间有一座山，汽车原来从 a 地到 b 地需途径 c 地沿折线 acb 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 ab 行 驶已知 bc=80 千米，a=45，b=30（1）开通

3、隧道前，汽车从 a 地到 b 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 a 地到 b 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米）（参考数据： 1.41， 1.73）3【答案】（1）开通隧道前，汽车从 a 地到 b 地大约要走 136.4 千米.（2）汽车从 a 地到 b 地比原来少走的路 程为 27.2 千米. #答：开通隧道前，汽车从 a 地到 b 地大约要走 136.4 千米。（2） cos30=，bc=80（千米），bd=bccos30=80（千米）.tan45=ad=，cd=40（千米），（千米）.a b=ad+bd=40+4040+401.73=109.2（千米）.汽车

4、从 a 地到 b 地比原来少走多少路程为：ac+bcab=136.4109.2=27.2（千米） 答：汽车从 a 地到 b 地比原来少走的路程为 27.2 千米。4【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角 三角形的问题，解决的方法就是作高线4随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离， 改变了人们的出行方式如图，a，b 两地被大山阻隔，由 a 地到 b 地需要绕行 c 地，若打通穿山隧道， 建成 a，b 两地的直达高铁，可以缩短从 a 地到 b 地的路程已知：cab=30，cba=45，ac=640

5、 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 a 地到 b 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： 1.4）1.7，【答案】隧道打通后与打通前相比，从 a 地到 b 地的路程将约缩短 224 公里答：隧道打通后与打通前相比，从 a 地到 b 地的路程将约缩短 224 公里【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义5 京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在 岸边分别选定了点 a、b 和点 c、d，先用卷尺量得 ab=160m，cd=40m，再用测角仪测得cab=3

6、0， dba=60，求该段运河的河宽（即 ch 的长）5【答案】该段运河的河宽为 30 m 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键6某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 ab 与支架 cd 所在直线相交于点 o，且 ob=od， 支架 cd 与水平线 ae 垂直，bac=cde=30，de=80cm，ac=165cm（1） 求支架 cd 的长；（2） 求真空热水管 ab 的长（结果保留根号）6【答案】（1）cd=40（cm）（2）ab95（cm）【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图

7、形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）7王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示已知 ac=20cm，bc=18cm，acb=50， 王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 ab 内？请说明你的理由（提示：sin50 0.8，cos500.6，tan501.2）【答案】王浩同学能将手机放入卡槽 ab 内【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得 ad 和 cd 的长，进而可以求得 db 的长，然后根据勾股定 理即可得到 ab 的长，然后与 17 比较大小，即可解答本题7来源: 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所

8、求问题需要的条件，利用直 角三角形的相关知识解答 #￥解题模型三 “母抱子”型图形关系式8针对训练来源:zxxk.com8美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一数学课外实践活 动中，小林在南滨河路上的 a，b 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭 d 进行了测量如图，测得dac=45，dbc=65若 ab=132 米，求观景亭 d 到南滨河路 ac 的距离约为多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin650.91，cos65 0.42，tan652.14）【答案】观景亭 d 到南滨河路 ac 的距离约为 248 米9【点睛】本题考查解直角三角形的应用、

9、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 #9如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点a，又在河的另一岸边取两点 b、c 测得 =30，=45，量得 bc 长为 100 米求河的宽度（结果保留根号）【答案】河的宽度为 50（ +1）m【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 ad=cd 是解题关键1010如图，某办公楼 ab 的后面有一建筑物 cd，当光线与地面的夹角是 22时，办公楼在建筑物的墙上留下 高 2 米的影子 ce，而当光线与地面夹角是 45时，办公楼顶 a 在地面上的影子 f

10、与墙角 c 有 25 米的距离 （b，f，c 在一条直线上）（1） 求办公楼 ab 的高度；（2） 若要在 a，e 之间挂一些彩旗，请你求出 a，e 之间的距离（参考数据：sin22 ，cos22，tan22）【答案】（1）办公楼 ab 的高 20m（2）a、e 之间的距离约为 48m.11【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 tan22=是解题关键. 11据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一 条笔直公路 bd 的上方 a 处有一探测仪，如平面几何图，ad=24m，d=90，第一次探测到一辆轿车从 b 点匀速向 d 点

11、行驶，测得abd=31，2 秒后到达 c 点，测得acd=50（tan310.6，tan501.2，结 果精确到 1m）（1） 求 b，c 的距离（2） 通过计算，判断此轿车是否超速【答案】（1）bc 的距离为 20m.（2）则此轿车没有超速【解析】（1）在 直角三角形 abd 与直角三角形 acd 中，利用锐角三角函数定义求出 bd 与 cd 的长，由 bd cd 求出 bc 的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断解：（1）在 abd 中，ad=24m，b=31，tan31=，即 bd= =40m.在 acd 中，ad=24m，acd=50，tan50=，即 cd=

12、=20m.12bc=bdcd=4020=20m.则 bc 的距离为 20m.（2）根据题意，得 202=10m/s15m/s，则此轿车没有超速【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键12如图，一垂直于地面的灯柱 ab 被一钢线 cd 固定，cd 与地面成 45夹角（cdb=45），在 c 点上方 2 米处加固另一条钢线 ed，ed 与地面成 53夹角（edb=53），那么钢线 ed 的长度约为多少米？（结果 精确到 1 米，参考数据：sin53 0.80，cos530.60，tan531.33）【答案】钢线 ed 的长度约为 10 米【点睛】本题考查解直角三

13、角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度 13位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体 ad 和底座 cd 两部分组成如图，在 abc 中，abc=70.5，在 dbc 中，dbc=45，且 cd=2.3 米，求像体 ad 的高度（最后 结果精确到 0.1 米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824）13【答案】像体 ad 的高度约为 4.2m【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键 14如图，地面上小山的两侧有 a，b 两地，为了测量 a，b 两地的距离，让一

14、热气球从小山西侧 a 地出发 沿与 ab 成 30角的方向，以每分钟 40m 的速度直线飞行，10 分钟后到达 c 处，此时热气球上的人测得 cb 与 ab 成 70角，请你用测得的数据求 a，b 两地的距离 ab 长（结果用含非特殊角的三角函数和根式 表示即可）【答案】a，b 两地的距离 ab 长为 200（ tan20）米【解析】过点 c 作 cmab 交 ab 延长线于点 m，通过解直角acm 得到 am 的长度，通过解直角bcm 得到 bm 的长度，则 ab=ambm14【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形， 记住三角函数的定义，以

15、及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型15汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置 了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数 学实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确定 a，b 两点，并在 ab 路段进行区间测速在 l 外取一点 p， 作 pcl，垂足为点 c测得 pc=30 米，apc=71，bpc=35上午 9 时测得一汽车从点 a 到点 b 用时 6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70， sin71 0.95

16、，cos710.33，tan712.90）【答案】该车没有超速【解析】先求得 ac=pctanapc=87、bc=pctanbpc=21，据此得出 ab=acbc=8721=66，从而求得该车 通过 ab 段的车速，比较大小即可得解：在 apc 中，ac=pctanapc=30tan71302.90=87，在 bpc 中，bc=pctanbpc=30tan35300.70=21，则 ab=acbc=8721=66，15该汽车的实际速度为=11m/s.又40km/h11.1m/s，该车没有超速【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义 是解本题的

17、关键16如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台 c，在岸边搭建了三个看台 a，b，d，其中 a， c，d 三点在同一条直线上，看台 a，b 到舞台 c 的距离相等，测得a=30，d=45，ab=60m，小明、 小丽分别在 b，d 看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台 c 的距离（结果保留根号）【答案】小明、小丽与舞台 c 的距离分别为 20 m 和（30+10）m【解析】如图作 bhad 于 h，ceab 于 e解直角三角形，分别求出 bc、cd 即可解决问题 解：如图，作 bhad 于点 h，ceab 于点 ebh=dh=30.dc=dh+ch=30 +10 .16答：小明、小

18、丽与舞台 c 的距离分别为 20 m 和（30+10）m【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三 角形解决问题，属于中考常考题型17如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪 在地面 a，b 两个探测点探测到地下 c 处有生命迹象已知 a，b 两点相距 8 米，探测线与地面的夹角分 别是 30和 45，试确定生命所在点 c 的深度（结果保留根号）【答案】即生命所在点 c 的深度是米【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答18贵阳市某消防支队在一幢居民

19、楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在 c 处的求 救者后，发现在 c 处正上方 17 米的 b 处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点 a17与居民楼的水平距离是 15 米，且在 a 点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角cad=60，求第二次施 救时云梯与水平线的夹角bad 的度数（结果精确到 1）【答案】第二次施救时云梯与水平线的夹角bad 约为 71 #来源:zxxk.com【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直 角三角形是解题的关键19如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”美丽的湟水河宛如一

20、条玉带穿城而过，已形成“水 清、流畅、岸绿、景美 ” 的生态环境新格局在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段 ac 上的 a，b 两点分别对南岸的体育中心 d 进行测量，分别测得dac=30，dbc=60，ab=200 米，求 体育中心 d 到湟水河北岸 ac 的距离约为多少米（精确到 1 米， 1.732）？18【答案】体育中心 d 到湟水河北岸 ac 的距离约为 173 米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以 计算来源: zxxk.com解题模型四 “斜截”型图示：辅助线作法延长四边形对边法19针对训练20芜湖长江大桥是中国

21、跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索 ab 与水平桥面的夹角是 30，拉索 cd 与水平桥面的夹 角是 6 0，两拉索顶端的距离 bc 为 2 米，两拉索底端距离 ad 为 20 米，请求出立柱 bh 的长（结果精 确到 0.1 米， 1.732）【答案】立 柱 bh 的长约为 16.3 米解得 x=10.bh=2+（10）=10116.3（米）答：立柱 bh 的长约为 16.3 米20【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出 ch 和 ah 是解决问题的关键21随州市新水一桥（如图 1）设计灵感来源于市

22、花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258 米，宽 32 米，为双向六车道，2018 年 4 月 3 日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索 组成某座斜拉桥的部分截面图如图 2 所示，索塔 ab 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 de 和最长的 斜拉索 ac）均在同一水平面内，bc 在水平桥面上已知abc=deb=45，acb=30，be=6 米，ab=5bd（1） 求最短的斜拉索 de 的长；（2） 求最长的斜拉索 ac 的长【答案】（1）最短的斜拉索 de 的长为 3 m.（2）最长的斜拉索 ac 的长为 30mab=3bd=53 =15 . 在 abh 中，b=45，bh=

23、ah= ab=15 =15.在 ach 中，c=30， ac=2ah=30答：最长的斜拉索 ac 的长为 30m21【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角 形转化为解直角三角形问题）22如图，若要在宽 ad 为 20 米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂 bc 长 2 米，且与灯柱 ab 成 120角， 路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 co 与灯臂 bc 垂直，当灯罩的轴线 co 通过公路路面的中心线时照明 效果最好，此时，路灯的灯柱 ab 高应该设计为多少米（结果保留根号）？【答案】路灯的灯柱 ab 高应该设计为（104）米【解析】延长

24、oc，ab 交于点 p，pcbpao，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题 解：如图，延长 oc，ab 交于点 pabc=120，pbc=60.22【点睛】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证 pcbpao 是解题的关键解题模型五其他类型23如图，1 号楼在 2 号楼的南侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 ab冬至日正午，太阳光线与水平面所 成的角为 32.3，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 ca；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7， 1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 da已知 cd=42m（1） 求楼间距 ab；（2）

25、若 2 号楼共 30 层，层高均为 3m，则点 c 位于第几层？（参考数据：sin32.30.53，cos32.30.85， tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.56，tan55.71.47）【答案】（1）楼间距 ab=50m.（2）c 位于 20 层 【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案231【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段，本题属 于中等题型24如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 a 处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看 作直线）与水平线构成 30角，线段 aa

26、表示小红身高 1.5 米（1）当风筝的水平距离 ac=18 米时，求此时风筝线 ad 的长度；（2）当她从点 a 跑动 9米到达点 b 处时，风筝线与水平线构成 45角，此时风筝到达点 e 处，风筝的水2411平移动距离 cf=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 c d【答案】（1）此时风筝线 ad 的长度为 12米.（2）风筝原来的高度 c d 为（ + ）米答：此时风筝线 ad 的长度为 12米.方法二：设 cd=x， cad=30，251111 111 11be=ad=2cd=2x，ac= = = x.cf=10，af=accf=x10 .，ab=9bf=ab+af

27、=9ebf=45，+x10 .由 cosebf=可得= .解得 x=12+，即 cd=12+，则 c d=cd+c c=12+ =+答：风筝原来的高度 c d 为（ + ）米【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两直角三 角形间的关联25图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 ad=2 米，且两扇门的大小相同（即 ab=cd），将左边的门 abb a 绕门轴 aa 向里面旋转 37，将右边的门 cdd c 绕门轴 dd 向外面旋转 45，其示意图如图 2，求此时 b 与 c 之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin370.6，cos370.

28、8， 1.4）【答案】b 与 c 之间的距离约为 1.4 米26becm.又be=cm，四边形 bemc 为平行四边形.bc=em，cm=be在 mef 中，ef=adaedf=0.5，fm=cf+ cm=1.3，em=1.4.b 与 c 之间的距离约为 1.4 米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利 用勾股定理求出 bc 的长度是解题的关键26图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图已知入口 bc 宽 3.9 米，门卫室外墙 ab 上的 o 点处装有一盏路灯，点 o 与地面 bc 的距离为 3.3 米，灯臂 om 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计）， aom=