复积分在实积分中的应用

1、复积分在实积分计算中的应用复积分在实积分计算中的应用 摘摘 要要 在数学分析以及实际问题中，需要计算一些定积分或反常积分的值，而这 些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等函数表示出来；有时即使可以求 出原函数，也比较复杂。而利用复积分的计算方法，我们不用求出原函数而可 以得到某些定积分或反常积分的值，使得问题大大简化。但利用复积分来计算 定积分或反常积分没有通用的方法，本文就一些具体类型的实变定积分的求解 方法作一些探讨。 关键词关键词 复积分；实积分；柯西积分公式；柯西留数定理 application of complex integral in the calculation of re

2、al integral abstract in the mathematical analysis and practical problems, we need to obtain the values of some definite integrals or abnomal integrals. however, the original functions of integrand in these integrals usually can not be signified in elementary function. sometimes even if the original

3、function can be obtained, the calculation is often very complicated. using the method of complex integral, we do not need to obtain the original function, and can get the value of the definite integral or the abnomal integral, what makes the problem greatly simplified. but using the method of comple

4、x integrations calculation, we do not have the generally applicable method in calculating the real integral. in this article we concretely discuss the solvers of some real integrals. keywords complex integral; real integral; cauchy integral theorem； cauchy residue theorem 目目 录录 第 1 章 绪论.1 第 2 章 预备知识

5、.2 2.1 柯西积分定理与柯西积分公式.2 2.2 孤立奇点.2 2.3 留数及柯西留数定理.3 第 3 章 复积分在实积分中的应用.5 3.1 计算形如型积分 .5 2 0 (cos ,sin )ird 3.2 计算形如型积分（其中-1r,s0,函数在无穷远点的邻域内解析,则称无( )f zrz 穷远点为的孤立奇点.( )f z 孤立奇点在无穷远点处也可分为三种： 设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为.那么规定( )f zrz n n n c z (1) 若有恒成立，则称为的可去奇点.0n 0 n c z 0 z (2) 若有,但对于有恒成立，则称为的0m0cm ,nm 0 n c z 0 z

6、 m 阶极点. (3) 若有,则称为的本性奇点.rz 0 n c z 0 z 2.3 留数及柯西留数定理留数及柯西留数定理 定义定义 1 设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展开 0 z)(zf)(zf 0 z 式中一次幂项的系数称为在处的留数.记作，即 1 c)(zf 0 z),(re 0 zzfs =.显然，留数就是积分的值，其中 c 为解析函),(re 0 zzfs 1 c 1 c 1 ( ) 2 c f z dz i 数的的去心邻域内绕的闭曲线.)(zf 0 z 0 z 关于留数，我们有如下定理. 定理定理 31 设函数在区域 d 内除有限个孤立奇点外处)(zf n zzzz, 3

7、21 处解析，c 是 d 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么 . 1 ( )2re ( ), n k c k f z dzis f z z 一般来说，求函数在其孤立奇点处的留数只须求出它在以为中心的圆 0 z 0 z 环域内的洛朗级数中项系数就可以了.但如果能先知道奇点的类. 1 01 ）（zzc 1 c 型，对求留数更为有利.例如，如果是的可去奇点，那么 0 z)(zf . 如果是本质奇点，那就往往只能用把在展开成洛朗0),(re 0 zzfs 0 z)(zf 0 z 级数的方法来求. 若是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方 1 c 0 z 法得到留数. 第第 3 章章 复积分

8、在实积分中的应用复积分在实积分中的应用 在实际运用中，例如研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射 0 sin xdx x 时，需要计算菲涅耳积分.在热学中将遇到积分 2 0 sin x dx 0 cos ax ebxdx (a0，b 为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的， 既使能计算，也相当复杂.如果能利用复积分来计算它们，那就简单了.其中最关 键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来或使原函数变形为 我们所能求解的类型. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：将定积分的积分区( ) b a f x dx 间a,b看作是复数平面上的实轴上的一段 ，于是，或

9、者利用自变数的变换把 1 l 变成某个新的复数平面上的回路；或者另外补上一段曲线，使 和合成回 1 l 2 l 1 l 2 l 路 ,包围着区域 b，得出 1 l 2 l 112 ( )( )( ) lll f z dzf z dzf z dz 左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具 2 ( ) l f z dz 体介绍几个类型积分可以用复积分来进行简化计算. 3.1 计算形如计算形如型积分型积分 2 0 (cos ,sin )ird 在计算形如型的积分在计算时要注意，这里 2 0 (cos ,sin )rd 表示有关的有理函数，并且在上连续，把握此类cos ,sinrxxc

10、os ,sinxx0,2 积分要注意两点： 第一：积分上下限之差为，这样当定积分时从变到，对应的复2x02 变函数积分正好沿闭曲线绕行一周. 第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量.当满足这两个特点之后，我 们可设，则， ix zedzizdx ， 2 1 sin 22 ixix eez x iiz 2 1 cos 22 ixix eez x z 得 2 22 1 0 11 cos ,sin, 22 z zzdz fxx dxf ziziz 1 2re k n z z k is f z 由于，所以，且当由变到时，恰好在圆周上转 i ez1z02z1:zc 动一周.故使积分路径也变成了我们所期

11、望的围线. 于是，计算积分型积分的方法找到了，只需令 2 0 d)sin,(cosr 即可. i ez 例例 1 计算的值 2 0 53cos d i 解解 令，则 i ze 2 2 1 0 2 53cos3103 z d idz izz 1 21 313 z dz izz 1 3 21 2re 313 z is izz 3 2 例例 2 计算积分 2 0 1 ,(01) 21cos d i 解解：令得： i ze 1 1 11 2 1 2 z dz i zziz 1 2 1 2 1 2 z dz i zz 1 2 1 2 1 z dz i zz 接着先求函数的奇点及其留数. 令其分母为零得：

12、 2 1 ( ) 2 1 f z zz 222 12 21111 101,1zzzz 这就是的两个单极点.单极点的模为：( )f z 1 z 2 2 1111 1 1(1)(1)1 (1) 1 所以极点在单位圆内.而单极点的模为 1 z 2 z 2 2 11111 11 所以在单位圆外，在极点处. 2 z 1 z 11 1 re( )lim () ( ) zzzzs f z zzf z 1 1 12 1 lim () ()() zz zz zzzz 12 1 zz 2 2 1 所以 1 2 11 2re( ) 1 zz iis f z i 此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积

13、分之值. 例例 3 计算积分 0 cos () 54cos mx idx mn x 解解 为偶函数，故. cos 54cos mx x 1cos 254cos mx idx x 令 12 sin 2 ,0 54cos mx ii idx x 则 12 54cos imx e iiidx x 11 2 (2)() 2 m z iz dz zz 在内部，仅有为一级极点，1z 1 (2)() 2 m z zz 1 2 z ， 1 1 1 2 2 1 re 1 (2)3 2 (2)() 2 mm m z z zz s z zz 故 ， 12 1 3 2m iii 比较实部得 ， 1 1 3 2m i

14、故 . 1 1 23 2m ii 3.2 计算形如计算形如型积分（其中型积分（其中-1r,s1,且且() ()( ) b rs a ixabxf x dx r+s=1,0 或或-1） 定理定理 51 设在围线 c 所围成的区域 d 内，除外解析，( )f z 12 , n z zz 不在上，设-1r,s0 的情况.cosbx 2 2 00 () cos 2 axibxibx ax eeedx ebxdx 2 0 1 2 axibx edx 2 2 42 2 1 2 bib az aa ib a eedz 选择 , 1: ()czxrxr 2: (0/ 2 )czriyyba ， 3: ()cz

15、xibrxr 4: (0/ 2 )czriyyba 依次拼接而成的积分闭曲线 c，由柯西积分定理得： 22222 0 r azaxazazaz crccc edzedxedzedzedz 令，从而取得极限：r 22/4 0 cos(1/ 2)/ axba iebxdxae 例例 5 计算 2 8 0 cos4 x iexdx 解解 2 84 0 1 2 xix iedx 2 8 0 cos4 x exdx (1/ 2)/ 2e 3.4 计算形如计算形如型积分型积分 ( ) ( ) p x idx q x 设为有理分式，其中 p(x) ( ) q(x) f x 1 010 ( )(0) mm m

16、 p xc xc xcc 1 010 ( )(0) nn n q xb xb xc b 为互质多项式，且符合要求： (1) 比的次数至少高两次.( )q x( )p x （2）在实轴上( )0q x 那么 . 0 ( )2re ( ( ),) k k ima f x dxis f z a 其中表示在上半平面内的所有孤立奇点出的留数总和. 0 re ( ( ),) k k ima s f z a ( )f z 例例 6 计算 2 42 1 x idx xx 解解 取 22 42 22 111 zz f z zzzzzz 孤立点为，其中落在上半 1234 13131313 , 22222222 z

17、i zi zi zi 平面的为，故 1 z 3 z . 2 1 2re 3 k z z k iisf z 3.5 计算形如计算形如型积分型积分 ( ) ( ) imx p x iedx q x 设为有理函数，如果，为互质多项式，且满足下列 p(x) ( ) q(x) f x ( )p x( )q x 条件； （1）比的次数至少高一次( )q x( )p x （2）在实轴上( )0q x （3）m0 则 0 ( )2re ( ( ),) k imximx k ima f x edxis f z ea 其中表示在上半平面内的所有孤立奇点出的留数总和.re ( ( ),) imx k s f z e

18、a( ) imx f z e 注注 由欧拉公式及即可以推得以下实积分的计算公式：mximxeimxsincos im0 ( ) cos()re(2re ( ( ),) k imz k a f xnx dxis f z ea im0 ( ) sin()im(2re ( ( ),) k imz k a f xnx dxis f z ea () im0 1 ( ) sin()cos()im(2re ( ( ),) 2 k i m n z k a f xmxnx dxis f z ea 例例 7 计算（） 44 0 sinxmx idx xa 0,0ma 解解 被积函数为偶函数，所以 ， 44 0 s

19、inxmx idx xa 4444 1sin1 22 imx xmxxe dximdx xaxa 设，它共有四个一阶极点，即（） ，并且 44 imz ze f z za 2 4 k i k aae 0,1,2,3k （） ， 44 re k k imz z a z a ze s f z za 0,1,2,3k 因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是0a f z 0 a 1 a 4444 0 2re k m k imximz z a z a xeze dxis xaza ， 2 2 sin 2 ma ima e a 故 44 0 sinxmx idx xa 44 1 im 2 imx xe

20、 dx xa 2 2 sin 22 ma ima e a 3.6 计算形如计算形如型积分型积分 0 ( ) ln ( ) p x ixdx q x 设为有理实函数，如果，互质，且满足下列条件； p(x) ( ) q(x) f x ( )p x( )q x （1）比的次数至少高两次( )q x( )p x （2）在上恒不为零( )q x0,r 则 . 2 00 0, 1 ( )ln( )re ( ( )ln,) 2 k k zc f xxdxf x dxs f zz z i 其中为上的主值支，为解析分支在内的孤ln z 0,c k z 2 ( )lnf zz 0,c 立奇点，即在内的零点.( )

21、q x 0,c 例例 8 计算积分 2 3 0 ln (1) x idx x 解解 2 3 0 ln (1) x idx x 23 33 2ln1ln im(re (,)re(re (,) 3(1)3(1) kk zz szsz zz 22 33 2ln1ln im(re (, 1)re(re (, 1) 3(1)3(1) xx ss xx 2 6 3.7 计算形如计算形如型积分型积分 0 ( )1 ( ) p x idx q xx 设为有理函数，如果，互质，且满足下列条件； ( ) ( ) ( ) p x f x q x ( )p x( )q x （1）在上恒不为零，且，( )q x0,r1

22、qp 01 （2），互质( )p x( )q x 则 . 2 0 0, ( )2( ) re (,) 1 k k i zc f xif z dxsz xez 其中为上满足的解析分支，为在内的孤z 0,c 1 1 z z k z ( )f z z 0,c 立奇点，即在内的零点.( )q z 0,c 例例 9 计算实积分，其中. 0 1 (1) idx x x 01 解解 由上述方法得知：， 2 0 0, ( )2( ) re (,) 1 k i sc f xif z dxszk xez 由于函数在内仅有一个一阶极点，且， ( )f z z 0, k sc1z ( 1) i e 所以 0, ( )

23、( ) re (,)re (, 1) k sc f zf z szks zz 1 ( ) lim(1) z f z z z 1 ( 1) i e 所以 2 0 12 (1)1 i i i dxe x xe sin 3.8 计算积分路径上有奇点的积分计算积分路径上有奇点的积分 当被积函数在积分曲线（如在实轴上）有奇点时， （奇点在( ) b a f x dx a、b 之间）属于广义积分.如果在实轴上有奇点.那我们在计算时要先绕过( )f z 奇点.例如在实轴上有一个奇点 (为实数)，要计算，在作( )f zz( )f x dx 辅助线时，应绕过奇点，具体办法是在上半平面，作一个以为心，zz 半径

24、为的半圆周，积分沿进行，然后令cc 取极限(如图所示)0 ( )( )( )( )( ) r lrcc f z dzf x dxf z dzf x dxf z dz 令，上式左端用留数定理计算，再令r 0 0 0 ( )lim( )( ) ( )lim( )( ) r a a lcc f x dxf x dxf x dx f z dzf z dzf z dz 若满足条件，主要的就是求积分.如果实轴上有 n( ) r c f z dz 0 lim( ) c if z dz 个奇点，那么分别以各奇点为心，为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可， 所以，我们在计算积分路径上有奇点的积分的一般方法为作辅

25、助积分路径， 绕开奇点，再计算. 例例 10 计算狄利克雷积分（dirichlet）积分： 0 sin xdx x 解解 由于被积函数是偶函数，所以. 设， 0 sin1sin 2 xx dxdx xx 1 ( )f z z 从而. 因为点是的一阶极点.所以( ) iz iz e f z e z 0z ( )f z 0 sin1sin 2 xx dxdx xx 1 im 2 ix e dx x 1 imre ,0 2 iz e is z 1 im,1 22 i 3.9 计算菲涅尔（计算菲涅尔（fresnel）积分）积分与 2 0 sin x dx 2 0 cosx dx 在一般的高等数学教材中

26、对于 fresnel 积分的计算少有涉及，而在实际 问题中，例如在研究光的衍射时就会遇到 fresnel 积分. 因其被积函数的原函 数不是初等函数，不能用一般方法计算其积分值，但我们仍然能够通过其它途 径来求其值. 作辅助函数，它是一个整函数.取值范围，圆弧 2 ( ) iz f xe0,r 以及线段组成的积分曲线 c.:re (0) 4 i r sz /4(0)ir r zre 由柯西积分定理可知，即( )0 c f z dz 22220 0 0( )(1)/ 4 r r ixizrr csr f z dze dxe dzedrer 当时，.r 2 lim0 r iz sr e dz 而

27、2 22 00 (cossin) ix e dxxix dx 因此 2 0 cos(1/ 2)/ 2x dx 2 0 sin(1/ 2)/ 2x dx 在计算菲涅尔（fresnel）积分这一类没有标准模式的实函数时，一般的方 法是设辅助函数使当时，（是原实积分中的被积函( )f zzx( )( )f xf x( )f x 数） 、或者.辅助路径添加的原则是：使添加的re( ( )( )f zf xre( ( )( )f zf x 路径上的积分能够通过一定的办法估计出来，或者转化为原来的定积分，但在 具体选取时，形状是各种各样的，有半圆周周线、长方形周线、扇形周线、三 角形周线等，但要注意的是，

28、周线上的奇点还是要绕过去的. 3.10 计算多值函数的积分计算多值函数的积分 当被积函数或者选取的辅助函数是多值解析函数的时候，我们要分出单值 解析分支，这时要适当的切开平面，然后才能应用柯西积分定理或留数定理来 求出给定的积分的值. 例例 12 利用欧拉积分计算：. 1 0 (01) 1 a x idxa x 解解 做辅助函数，这一函数为多值函数，其支点为 0 及，它 1 ( ) 1 a z f z z 在从 0 沿着正实轴方向到点割破的 z 平面上可以分出单值分支.选取由支割线 上岸，经过圆弧，然后沿着支割线:()ab zx rxr:re (02 ) i r cz 下岸的反方向，在经过圆弧

29、 2 :(,01) i abzxerxrr 的反方向回到 a 的积分路径 c，在 c 围成的区域内:e (02 ) i r czr ( )f z 只有一个一阶极点,由留数定理得：1z 1 re( ) a i z s f ze 1 ( )2 1 a a i cc z f z dzdzie z 即 1 ( )( )( )2 1 rr a a i abcabc z f z dzf z dzf z dzdzie z （1） 沿 ab 上： 11 0 (),( ) 11 aa r abr xx zx rxrf z dzdxdx xx （2）沿，从而 1 :re (02 ), ()0 11 aa i r

30、zr czzr zr lim( )0 r cr f z dz （3）沿上：， ab 2 () i zxerxr 11 2 () 11 aa a i zx e zx 11 22 0 ( )0, 11 aa r a ia abr xx f z dz edxrredx xx （4）沿，可知： 1 :e (02 ), (0)()00 11 aa i r zr czrzr zr . 0 lim( )0 r cr f z dz 在上式中而取得极限. 所以0,rr 1 2 0 (1)2 1 a a ia i x edxie x 1 2 0 2/(1)/sin 1 a a ia i x idxieea x 结

31、结 论论 我们在运用复积分计算实积分时，一般可以采用的方法有两种：对所求积 分进行变换或构造闭合曲线.在构造闭合曲线时我们要选取一个除了孤立奇点外 都解析的被积函数，然后计算被积函数在孤立奇点上的留数，最后计算闭合曲 线上的积分值.在对积分进行变换和选取辅助线的时候需注意选取使积分是否简 单易求，这样可使计算大为简化. 致致 谢谢 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了 无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了.尤其要感谢我的论文指导 老师孙桂荣老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论 文的改进. 另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给

32、我提供了很 多方面的支持与帮助. 在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者. 本文引用了数位学者的研究文献，如果没 有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.此外，我 还要感谢我的同学，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写 过程中提供热情的帮助. 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友 批评和指正！ 参参 考考 文文 献献 1 钟玉泉，复变函数论（第三版） （m）,高等教育出版社，北京，2004 2 方企勤, 复变函数的应用(m), 北京大学出版社, 1996 3 james ward brow

33、n,ruel v.churchill, 复变函数及其应用（m） ，机械工业出版社， 2004 4 刘惠娟, 剖析解析函数惟一性（j） ，玉林师范学院学报，2000/03 5 吴桂荣, 解析函数惟一性定理的一个应用（j） ，高等数学研究，2004/04 6 henri cartan，解析函数论初步（m） ，高等教育出版社，2008 7 闻国椿、殷慰萍，复变函数的应用（m）,首都师范大学出版社，1999. 8 周双、焦丹，解析函数惟一性定理在 q-级数中的应用（j） ，宜春学院学报，2009/08. 9 储亚伟、汪代明、朱茱，解析函数惟一性定理的两点应用（j） ，阜阳师范学院学报（自 然科学版）

34、，2005/12. 10 范宜传，彭清泉，复变函数习题集（m） ，北京人民教育出版社 1980/07. 11 路见可，钟寿国，复变函数（m） ，武汉大学出版社 2001/09. 12 m.a.拉夫连季耶夫等，复变函数论方法（第六版）2006/01. 附录附录 x 译文译文 幅角原理与儒歇定理 若函数在区域 d 内除了极点外是解析的，则称函数在区域 d 内是亚纯ff 的.假设在区域 d 内亚纯，d 的边界是一个正向的简单闭围道 c，在 c 上解ff 析没有零点，曲线 c 在映射下的像也是平面的闭围道，但不一定( )f z 是简单围道.当点 z 沿着围道 c 的正方向移动时，它的像以定方向沿移动，

35、 这就决定了的方向，主要到，由于在围道 c 上没有零点，因此围道在 wf 平面不经过原点. 假设和都是围道上的点，其中是不动点，是的幅角，然后 0 0 0 0 使的幅角主值以角为起点连续变化.由于点是从点开始的，并且通过映 0 0 射按照指定的方向环绕围道一周，当点回到起点时，这时的( )f z 0 幅角是幅角中的某一个值，我们用表示.因此，当点在围道上沿着一定 0 1 方向环绕一周时，它的幅角的变化是.显然，该值的变化大小是由我们 10 选择的决定的，由于，因此当从开始，沿着 c 的正方向绕一周时， 0 0z 0 z 的值事实就是的幅角改变值.我们记 10 ( )f z 10 arg( )

36、c f z 的值显然是的整数倍，且整数arg( ) c f z2 1 arg( ) 2 c f z 表示点 w 在 w 平面上环绕原点的次数，因此，这个整数有时称为源于原点 的环绕数，当围绕原点以逆时针方向旋转时，这个整数为正，反之，为0 负.当围道内不包含原点时，这个数为零.环绕数由围道 c 内的零点数和极点数 决定，极点数必定是有限的，类似的可以理解在 c 内并不恒等于零，的( )f zf 零点数目有限而且都是有限阶.现在假设在 c 内有 z 个零点和 p 个极点，若f 为的重根，我们认为在有个根，同样若为的阶极点，这 0 zf 0 mf 0 z 0 m 0 zf p m 个极点讲被计算次

37、，下面的定理，幅角原理，说明环绕数 z-p 之差. p m 定理定理 假设 (i) 函数在一个正向简单闭围道 c 所围成的区域内亚纯.( )f z (ii) 在 c 上解析且没有零点.( )f z (iii) 按重数计算，z 和 p 分别为在 c 内的零点数和极点数.( )f z 则 (1) 1 arg( ) 2 c f zzp 为了证明该结论，沿围道 c，用两种不同的方法计算的积分，首先，( )/( )fzf z 令 是 c 的参数表示，因此 ( )()zz t atb (2) ( )( )( ) ( )( ) b ca fz tz tfz dzdt f zf z t 由于在映射下，c 的像

38、不穿过 w 平面上的零点，因此 c 上的任何点( )wf z 可以表示为指数形式，若，则( )zz t( )exp( )wp tit （3） ( ) ( )( )() it f z tt eatb 而且，沿围道的每一光滑弧线，则有 （4） ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ititit dd fz tz tf z tt et eit et dtdt 由于和在区间上是分段连续的，现在用（3）和（4）式写积( ) t( ) tatb 分（2）如下 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) bb aa bb caa fzt dzdtit dtintit f zt

39、但是 and ( )( )ba( )( )arg( ) c baf z 因此 (5) ( ) arg( ) ( ) c c fz dzif z f z 另外一种计算积分（5）的方法是利用柯西留数定理，具体来说， 在 c 内和 c 上除了零点和极点外是解析且不为零，因此( )/( )fzf z (6) 0 0 ( )()( ) m f zzzg z 其中在解析且不为零，因此( )g z 0 z 00 1 000 ( )()( )()( ) mm fzm zzg zzzg z 或者 (7) 0 0 ( )( ) ( )( ) mfzg z f zzzg z 由于在处解析，因此，在可作泰勒级数展开，

40、由（7）式可知( )/( )g zg z 0 z 0 z 为的简单极点.留数为，另一方面，若在有重极点，我 0 z( )/( )fzf z 0 mf 0 z 0 m 们可知 (8) 0 ( )()( ) p m f zzzz 其中在解析且不为零.若把（6）式的正整数换为则（8）和（6）相( ) z 0 z p m 同，由此从（7）显然可知的简单极点为,留数为.利用留数定( )/( )fzf z 0 z p m 理，则可得 (9) ( ) 2() ( ) c fz dzi zp f z 利用（5）和（9）就可得到表达式（1）. 本节的主要结果是儒歇定理，它在复平面上的一个局部区域非常有用，这 个

41、局部区域上给定一个有零点的解析函数. 定理定理 假设假设 (i)函数和在简单围道 c 上和它的内部均是解析的.( )f z( )g z (ii)在围道 c 上每点均有成立，则按重数计算，函数和 ( )( )f zg z( )f z 在围道 c 内有相同的零点.( )( )f zg z 定理中围道 c 的方向显然是不重要的.因此，不妨设为正方向，注意到，和( )f z 在 c 上都没有零点，因此当 z 在围道 c 上时，有( )( )f zg z 和 ( )( )0f zg z ( )( )( )( )0f zg zf zg z 若用和分别表示和在 c 内按重数计算的零点数. f z fg z

42、( )f z( )( )f zg z 和 1 arg( ) 2 fc zf z 1 arg( )( ) 2 fgc zf zg z 相应地，由于 ( ) arg( )( )arg ( ) 1 ( ) cc g z f zg zf z f z ( ) arg( )arg 1 ( ) cc g z f z f z 显然有 (10) 1 arg( ) 2 fgfc zzf z 其中 ( ) ( )1 ( ) g z f z f z 但是 ( ) ( ) 11 ( ) g z f z f z 这意味着，在映射下，c 的像落在开圆盘内，这个像不包含( )wf z11w ，因此，由（10）可知，定理得证.

43、0w arg( )0 c f z fgf zz 附录附录 y 外文原文外文原文 argument principle and rouches theorem a function is said to be meromorphic in a domain d if it is analytic throughout d f except for poles. suppose now that is meromorphic in the domain interior to a f positively oriented simple closed contour c and that it i

44、s analytic and nonzero on c. the imageof under the transformation is a closed contour, not f( )f z necessarily simple, in the plane. as a point z traverses c in the positive direction, its images w traverses in a particular direction that determines the orientation of . note that , since has no zero

45、s on c, the contour does not pass through the origin f in the w plane. let andbe points on ,where is fixed and is a value of arg.then let arg 0 0 0 0 vary continuously, staring with the value ,as the point begins at the point 0 and traverses once in the direction of orientation assigned to it by the

46、 mapping 0 .when returns to the point ,where it started, arg assumes ( )f z 0 aparticulai value of arg ,which we denote by .thus the change in arg as 0 1 describes once in its direction of orientation is .this change is, 10 1 ( ) 2 c f z of course, independent of the point chosen to independent it.

47、since , the 0 ( )f z number is, in fact, the change in argument of as z describes c once in the 10 ( )f z positive direction, starting with a point ,and we write 0 z . the value of is evidently an integral multiple of , and the integerarg c 2 1 arg( ) 2 c f z represent the number of times the point

48、winds around the origin in the plane. for that reason, this integer is sometimes called the winding number of with respect to the origin .it is positive if winds around the origin in the counterclockwise 0w direction and negative if it winds clockwise around that point. the winding number is always

49、zero when does not enclose the origin. the verification of fact for a special case is left to the exercises. the winding number can be determined form the number of zeros and poles of interior to c. the number of poles is necessarily finite, according to exercise f 11,sec.69.likewise,with the unders

50、tanding that is not identically equal to zero ( )f z everywhere else inside c, it is easily shown(exercise 4,sec.80)that the zeros and p poles in the domain interior to c. we agree that has zeros at a point if it has f 0 m 0 z a zero of order there, and if has a pole of order at , that pole is to be

51、 0 mf p m 0 z counted times. the following theorem, which is known as the pole is to be p m counted times. following theorem, which is known as the argument principle, p m starts that the winding number is simply the difference .zp theorem. suppose that (i) a function is meromorphic in the domain in

52、terior to a positively oriented ( )f z simply closed contour c. (ii) is analytic and nonzero on c.( )f z (iii) counting multiplicities, z is the number of zeros and p is number of poles of ( )f z inside c. then (1) 1 arg( ) 2 c f zzp to prove this, we evaluate the intergral of around c in two differ

53、ent ( )/( )fzf z ways. first, we let be a paramentric representation for c, so that ( )()zz t atb (2) ( )( )( ) ( )( ) b ca fz tz tfz dzdt f zf z t since, under the transformation , the image of c never passes through the ( )wf z origin in the w plane, the image of any point on c can be expressed in

54、 ( )zz t exponential form as .thus( )exp( )wp tit (3) ( ) ( )( )() it f z tt eatb and, along each of the smooth arch making up the contour ,it follow that (4) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ititit dd fz tz tf z tt et eit et dtdt inasmuch as and are precewise continuous on the interval ,we ( ) t( )

55、tatb can now use expressions (3) and (4) to write integral (2) as follows ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) bb aa bb caa fzt dzdtit dtintit f zt but and ( )( )ba( )( )arg( ) c baf z hence (5) ( ) arg( ) ( ) c c fz dzif z f z another way to evaluate integral (5) is to use cauchys residue thermo. to be specific

56、, we observe that the integrand is analytic inside and on c except ( )/( )fzf z at the points inside c at which the zeros and poles of has a zero of order at , f 0 m 0 z then (6) 0 0 ( )()( ) m f zzzg z where is analytic and nonzero at .hence( )g z 0 z 00 1 000 ( )()( )()( ) mm fzm zzg zzzg z or (7) 0 0 ( )( ) ( )( ) mfzg z f zzzg z since is analytic at , it has a taylor series representation about that ( )/( )g zg z 0 z point, and so equation (7) tells us that has a simple pole at , with ( )/( )fzf z 0 z residue . if, on the other hand, has a pole o