理论物理导论习题及解答

1、理论物理导论习题及解答 r 1.6 一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为 及 ，式 中 及 是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为 rr r , 22 2 质点沿位矢速度： r / v 沿垂直于位矢速度： v rv r 即 ji v ar dt d r dt d dt d ij （取位矢方向 ，垂直位矢方向 ） 所以 ji i i rr dt d ri dt rd r dt d 又因为rrv / 即rr 理论物理导论习题及解答 dt d r dt d r dt dr r dt dj jjj ijj 2 rrr jia rrrr2 2 2 rra rra2 故 即沿位矢方向加速度： 垂直位矢

2、方向加速度： 对求导可得 rrr 2 对求导 r r r 2 r 把代入式中可得 r ra 22 2 / r a 理论物理导论习题及解答 pxy2 2 k2 p p , 2 u 1.10 一质点沿着抛物线运动其切向加速度的量值为 法向加速度量值的倍。如此质点从正焦弦的一端 以速度出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。 质点切向加速度为： 解：解： dt dv a t 2 n v a 2 v 2k dt dv 法向加速度为： 且 又因为 2 3 2 y1 y 1 所以 2 3 2 2 3 2 2 y p 1 y p 2kv dt dv 又 dy dv y dt dy dy dv dt dv 理论

3、物理导论习题及解答 把两边对时间求导得：2pxy 2 p yy x 222 yxv 2 2 2 2 1 p y v y 又因为所以 所以 可化为 对等式两边积分 所以 k uev 2 1 2 2 ) 1 ( 2 p y v y 理论物理导论习题及解答 答：设质心的速度Vc，第i个质点相对质心的速度Vi， 则 ，代入质点组动量定理可得 这里用到了质心运动定理 。 故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质 点组相对质心的动量守恒 。当外力改变时， 质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不 变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们 解决问题带来不少方便。 2.7选用质心坐

4、标系，在动量定理中是否需要计入 惯性力？ ici vvv i ci i i i i e ii i i mm dt d aFFv v ci i e i m aF 常矢量 i i i m v 理论物理导论习题及解答 V v mvVmvmVvVm 22 2 2 1 2 1 2 1 2.8 2.8 轮船以速度 行驶。一人在船上将一质量为m的铁球 以速度 向船首抛去。有人认为：这时人作的功为 你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？ 答答: 不对. 因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守 恒，球抛出后船和人的速度不再是 V 设船和人的质量为M,球抛出后船和人的速度为v1,则 vVmMVVmM 1

5、1 v mM m VV 1 理论物理导论习题及解答 球出手时的速度应是 vV 1 人做的功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动 能的改变，故人做的功应为 显然与系统原来的速度无关。 222 1 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 1 v mM Mm VmMvVmMV 理论物理导论习题及解答 答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力 提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。 重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡 到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的 位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高 点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降

6、低重 心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能 不断增大，秋千就可以越荡越高。 这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转 换而来的。 2.9 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从 哪里来的？ 理论物理导论习题及解答 2.2 如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一 球形帽，求此球形冒的质心。 解解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系 把球帽看成垂直于z轴的所切层面的叠加 （图中阴影部分所示）。设均匀球体的密 度为 ,则 由对称性可知，此球帽的质心一定在z轴上。 代入质心计算公式，即 )2(4 )( 3 )( )( 2 22 22 ba ba dzza dzzaz dm

7、 zdm z a b a b zzavmd)(dd 22 理论物理导论习题及解答 2.7 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的 水平面上。有一质量为m的 质点沿此半球面滑下。设质 点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角 为 ，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与 球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时 之值。 解解 : 当m沿半圆球M下滑时，M将 以V向所示正方向的反向运动。 以M、m组成系统为研究对象， 系统水平方向不受外力，动量 守恒，即 x mvMV m相对于地固连的坐标系 的绝对速度 xy O 牵相绝对 VV V V u 理论物理导论习题及解答 相 V 为m

8、相对M的运动速度 牵相绝对 VV V V au Vuvxcos 竖直方向 故水平方向 在下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒： 22 MV 2 1 2 1 coscos 绝 mvmgamga 2 绝 v 22 yx vv = 把代入 2 绝 v = cos2 22 uVVu sinuvy u 理论物理导论习题及解答 把代入 2 cos1 coscos2 Mm m a a g 理论物理导论习题及解答 3.4 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？ 如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 理论物理导论习题及解答 理论物理导论习题及解答 3.1半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上

9、. 一均质棒斜靠在碗 缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全长 为 c rc 22 24 证证: : 研究对象为棒, 建立直角坐标系 并受力分析如图. 均质棒受到碗的弹力分别为 ， 棒 自身重力为G。棒与水平方向的夹角 为 。设棒的长度为 。 1 N, 2 N l 由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的合外力为零。 沿过A点且与z轴平行的合力矩为0。即： 0sin2cos 21 NNFx 0cos2sin 21 GNNFy 0cos 2 2 l GcNM i 理论物理导论习题及解答 由式得： 2 2 cos 1cos22 c l ,cos2cr r c 2 cos

10、 c rc l 22 24 又由于 即 将代入得： 理论物理导论习题及解答 3.4 3.4 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上， 此两球同时又支持一个等重的均质球，求角 及角 之间的 关系。 Ox轴竖直向下，相同的球A、B、 C互切，B、C切于D点。设球的重力大 小为G，半径为r，则对A、B、C三个球 构成的系统来说，在x轴方向的合力应 为零。即： 解：解： 0cos23 TGFx 对于C球，它相对于过D点与z轴平行的 轴的合力矩等于零。即： 0sinsin GrTrM D D 可得：tan3tan 理论物理导论习题及解答 5.2 为什么在拉格朗日方程中，为什么在拉格朗日方程中，

11、不包含约束反作用力？又不包含约束反作用力？又 广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量 的量纲定出另一个量的量纲的量纲定出另一个量的量纲? Q 答答: 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而虚功原理只适 用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力， 故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系， 不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的 观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动 能，故不含约束反作用力. 广义坐标是确定质点系完整的独立坐标，它不一定是 长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积等. 广义

12、力 名为力，实际上不一定有力的量纲，可以是力也可以是力 矩或其他物理量，如压强、场强等等。 理论物理导论习题及解答 若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义 坐标不变，则广义力的数值等于外力的功。 据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲. 有功的量纲， 由 知， 11 ns ii i FrQqW Qq 若是 长度，则 一定是力，若是 力矩，则 一定 是角度 q Q q Q 理论物理导论习题及解答 5.1) 试用虚功原理解3.1题. 3.13.1半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒 斜靠在碗缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长 度为c, 试证棒的全

13、长为 c rc 22 24 理论物理导论习题及解答 解解: : 杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由 杆与水平方向夹角 所唯一确定。杆的自由度为1，由平 衡条件： 0 1 i n i i rFw 即0 C ymg 变换方程sin 2 2sinsin 2 sincos2 l r l ryc 故)cos 2 2cos( l ryc 代回式即 0cos 2 1 cos2 lr 理论物理导论习题及解答 因 在约束下是任意的，要使上式成立必须有： 0cos 2 2cos l r cos 2cos4r l 又由于 r c 2 cos 故 2 22 2 2 2 1cos22cos r rc 代回

14、式得 c rc l 22 24 理论物理导论习题及解答 3.4 3.4 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上， 此两球同时又支持一个等重的均质球，求角 及角 之间的 关系。 5.2) 5.2) 试用虚功原理解3.4题. 1 l 2 r 理论物理导论习题及解答 1 l 2 r 解解: : 三球受理想约束，球的位置可以由 确定，自由度 数为1，故: sinsin2 1 rlrx 0 sinsin2 3 2 x rlrx cos2cos cos cos 3 2 1 rarly rly rly 得 sin2sin sin sin 3 2 1 rrly rly rly 理论物理导论习题及解答

15、0 1 i n i i rF 0sin2sinsinsin 0 332211 rrlrlrl yPyPyP 由虚功原理 故 因 在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须 0sin2sin3 rrl sin3 sin2 rl r 故 又由coscos2 1 rlrx 得： cos cos2 rl r tan3tan故: 理论物理导论习题及解答 4.10 4.10 质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可 沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速 绕圈上某 点O转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。 5.6) 5.6)试用拉氏方程解试用拉氏方程解4.10.4.10. 理论物理导论习题及

16、解答 解解: : (1)平面运动，一个自由度. (3)因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程 (2)选广义坐标为 ，广义速度q q 只受约束力。0 1 1 QrFW i n i i 广义力. 0 1 Q 代入得： 0 TT dt d Q q T q T dt d 理论物理导论习题及解答 在极坐标系下： 2222222 2 2 2 2222 2 cos4 2 cos4 2 1 ) 2 ( ) 2 cos2( ) 2 cos2( 2 1 )( 2 1 2 1 aaam dt td a dt ad m rrmmvT 故 0sin 2 0sinsinsin 22222 mamamama 理论物理

17、导论习题及解答 5.9设质量为设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为的质点，受重力作用，被约束在半顶角为 的的 圆锥面内运动。试以圆锥面内运动。试以r, 为广义坐标，由拉格朗日方程求此为广义坐标，由拉格朗日方程求此 质点的运动微分方程。质点的运动微分方程。 解解: （1）按题意为保守力系，质点 被约束在圆锥面内运动，故自有 度数为2. （2）选广义坐标rq 1 2 q （3）在柱坐标系中： 2222 2 1 zrrmT cotrz 22222 cot 2 1 rrrmT 理论物理导论习题及解答 以以O-xyO-xy面为零势能面，则：面为零势能面，则： cotmgrV 拉氏函数拉氏函数 22222 cot 2 1 rrrmVTL cotmgr - （4） 代入保守系拉氏方程得代入保守系拉氏方程得 0cossinsin 22