1.6 三角函数模型的简单应用

1、1.6三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用 人人教教A A版普通高中版普通高中课课程程标标准准实验教实验教科科书书数学数学（必修（必修4 4） 金鼎学校：杜 0 10 20 30 6 1014 x y 解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. 例1 如图1.6-1,某地一天从614时的温度变化 曲线近似满足函数 (1)求这一天614时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. sin()yAxb (2)从图中可以看出,从614时的图象是 函数 的半个周期 的图象， sin()yAxb 1 30 1010, 2 1 2 2 6,10.xy 3 将代入上式，解得 4 3 10

2、sin()20,6,14 84 yxx 综上，所求解析式为 一般的，所求出的函数模型只能近似刻 画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当 特别注意自变量的变化范围. A所以，b 1 30 1020 2 146 . 8 金鼎学校：杜 总结总结: minmax 2 1 xfxfA sin().yAxb minmax 2 1 xfxfb 利用利用 ，求得，求得 2 T 选择的点要认清其属选择的点要认清其属“五点法五点法”中的哪中的哪 一位置点，并能正确代人列式，求得一位置点，并能正确代人列式，求得 . 金鼎学校：杜 “第一点第一点”为：为： 0 0 x “第二点第二点”为：为： 2 0 x “第三点第

3、三点”为：为： 0 x “第四点第四点”为：为： 2 3 0 x “第五点第五点”为：为： 2 0 x 金鼎学校：杜 例2 画出函数 的图象并观察其 周期。 xysin x y 0 -2-23-3 金鼎学校：杜 解：函数图象如图所示。 从图中可以看出，函数 是以为 周期的波浪形曲线。 我们也可以这样进行验证： xysin 由于 ,sinsin)sin(xxx 所以，函数 是以为周期的函数。 xysin x y 0 -2-23-3 金鼎学校：杜 探究一：建立三角函数模型求临界值探究一：建立三角函数模型求临界值 【背景材料】【背景材料】如图，设地球表面某地正午太如图，设地球表面某地正午太 阳高度角

4、为阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值为该地的纬度值. .当地夏半年当地夏半年取正值，冬半取正值，冬半 年年取负值取负值. . 如果在北京地区（纬度数约为如果在北京地区（纬度数约为 北纬北纬4040）的一幢高为）的一幢高为h h0 0的楼房北的楼房北 面盖一新楼，要使新面盖一新楼，要使新 楼一层正午的太阳全楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮年不被前面的楼房遮 挡，两楼的距离不应挡，两楼的距离不应 小于多少？小于多少？ 太阳光太阳光 - 金鼎学校：杜 思考思考1 1：图中图中、 、这三个角这三个角 之间的关系是什之间的关系是什 么？么？ =90 . 思考思考2

5、 2：当太阳高度角为当太阳高度角为时，设高为时，设高为 h h0 0的楼房在地面上的投影长为的楼房在地面上的投影长为h h，那么，那么 、h h0 0、h h三者满足什么关系？三者满足什么关系？ h=h0 tan. 太阳光太阳光 - 金鼎学校：杜 思考思考3 3：根据地理知识，北京地区一年根据地理知识，北京地区一年 中中, ,正午太阳直射什么纬度位置时正午太阳直射什么纬度位置时, ,物体物体 的影子最短或影子最长？的影子最短或影子最长？ 太阳直射北回归线时物体的影子最太阳直射北回归线时物体的影子最 短，直射南回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最 长长. . 金鼎学校：杜 思考思考

6、4 4：如图，如图，A A、B B、C C分别为太阳直射分别为太阳直射 北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地 面上的投影点面上的投影点. .要要 使新楼一层正午使新楼一层正午 的太阳全年不被的太阳全年不被 前面的楼房遮挡，前面的楼房遮挡， 两楼的临界距离两楼的临界距离 应是图中哪两点应是图中哪两点 之间的距离？之间的距离？ -2326 02326 40 MACB h0 金鼎学校：杜 思考思考5 5：右图中右图中CC 的度数是多少？的度数是多少？MCMC 的长度如何计算？的长度如何计算？ 思考思考6 6：综上分析，要使新楼一层正午综上分析，要使新楼一层正午 的太阳

7、全年不被前面的楼房遮挡，两楼的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼 的距离不应小于多少？的距离不应小于多少？ -2326 02326 40 MACB h0 00 0 0 2 tantan26 34 hh MCh C 金鼎学校：杜 例例2.海水受日月的引力，在一定的海水受日月的引力，在一定的时时候候发发生生涨涨落的落的现现象叫潮，一象叫潮，一 般地，早潮叫潮，般地，早潮叫潮，晚晚潮叫汐潮叫汐.在通常情在通常情况况下，船在下，船在涨涨潮潮时驶进时驶进航航 道，靠近船道，靠近船坞坞；卸；卸货货后，在落潮后，在落潮时时返回海洋，下面是某港口在某返回海洋，下面是某港口在某 季季节节每天的每天的时间与时间与水

8、深的水深的关关系表：系表： 时刻时刻水深（米）水深（米）时刻时刻水深（米）水深（米）时刻时刻水深（米）水深（米） 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 （1）选选用一用一个个函函数来数来近似描述近似描述这个这个港口的水深港口的水深与时间与时间的函的函数关数关 系，系，并给并给出整点出整点时时的水深的近似的水深的近似数值数值。（精确到。（精确到0. 1） 金鼎学校：杜 （2 2）一）一条货条货船的吃水深度（船底船的吃水深度（船底与与水面的距离）水面的距离）为为 4 4米，安米，安 全全条条例例

9、规规定至少要有定至少要有1.51.5米的安全米的安全间间隙（船底隙（船底与与洋底的距离），洋底的距离）， 该该船何船何时时能能进进入港口？在港口能呆多久？入港口？在港口能呆多久？ （3 3）若某船的吃水深度）若某船的吃水深度为为4 4米，安全米，安全间间隙隙为为1.51.5米，米，该该船在船在2:002:00 开开始卸始卸货货，吃水深度以每小，吃水深度以每小时时0.30.3米的速度米的速度减减少，那少，那么该么该船在什船在什 么时间么时间必必须须停止卸停止卸货货，将将船船驶驶向向较较深的水深的水域？域？ 金鼎学校：杜 （1）以）以时间为横时间为横坐坐标标，水深，水深为纵为纵坐坐标标， 在直角坐

10、在直角坐标标系中系中画画出散点出散点图图，根据，根据图图象，象， 可以考可以考虑虑用函用函数数 来来刻刻画画水深水深与时间与时间之之间间的的对应关对应关系系. 从数从数据和据和图图象可以得出：象可以得出： sin()yAxh A=2.5,h=5,T=12, =0; 由由 ，得，得 2 12T . 6 所以，所以，这个这个港口的水深港口的水深与时间与时间的的关关系可以近似描述系可以近似描述为为： 2.5sin5 6 yx 由上述由上述关关系式易得港口在整点系式易得港口在整点时时水深的近似水深的近似值值： 解：解： 金鼎学校：杜 （2）货货船需要的安全水深船需要的安全水深 为为 4+1.5=5.5

11、 （米），所以（米），所以 当当y5.5时时就可以就可以进进港港. 令令 化化简简得得 2.5sin55.5 6 x sin0.2 6 x 由由计计算器算器计计算可得算可得0.2014,0.2014 66 xx 或 解得解得0.3848,5.6152 AB xx 因因为为 ，所以有函，所以有函数数周期性易得周期性易得0,24x 120.384812.3848, 125.615217.6152. C D x x 因此，因此，货货船可以在凌晨零船可以在凌晨零时时30分左右分左右进进港，早晨港，早晨5时时30分左右出分左右出 港；或在中午港；或在中午12时时30分左右分左右进进港，下午港，下午17时

12、时30分左右出港，每次分左右出港，每次 可以在港口停留可以在港口停留5小小时时左右。左右。 解：解： 金鼎学校：杜 解：解： （3）设设在在时时刻刻x船舶的安全水深船舶的安全水深为为y， 那那么么y=5.5-0.3(x-2) (x2),在同一坐在同一坐标标 系系内内作出作出这两个这两个函函数数的的图图象，可以看象，可以看 到在到在6时时到到7时时之之间两个间两个函函数图数图象有一象有一 个个交点交点. 通通过计过计算可得在算可得在6时时的水深的水深约为约为5米，此米，此时时船舶的安全水深船舶的安全水深约为约为 4.3米；米；6.5时时的水深的水深约为约为4.2米，此米，此时时船舶的安全水深船舶

13、的安全水深约为约为4.1米；米； 7时时的水深的水深约为约为3.8米，而船舶的安全水深米，而船舶的安全水深约为约为4米，因此米，因此为为了安了安 全，船舶最好在全，船舶最好在6.5时时之前停止卸之前停止卸货货，将将船舶船舶驶驶向向较较深的水域。深的水域。 金鼎学校：杜 课堂练习；如图是某简谐运动的图象课堂练习；如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从从O点算起点算起,到曲线上的哪一点到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复表示完成了一次往复 运动运动?如从如从A点算起呢点算

14、起呢? (3)写写出出这个简谐运动这个简谐运动的函的函数数表表达达式式. (2)(2)如果如果从从O O点算起点算起, ,到曲到曲线线上的上的D D点点, ,表示表示 完成了一次往完成了一次往复运动复运动; ;如果如果从从A A点算起点算起, ,则则 到曲到曲线线上的上的E E点点, ,表示完成了一次往表示完成了一次往复运复运 动动. . 解解:(1) :(1) 振幅振幅为为2 cm;2 cm;周期周期为为0.8 s;0.8 s;频频率率为为 4 5 (3)(3)设这个简谐运动设这个简谐运动的函的函数数表表达达式式为为 y=Asin(x+),xy=Asin(x+),x0,+),0,+), 那那

15、么么A=2;A=2;由由T=0.8,T=0.8,得得= ;= ;由由图图象知初相象知初相 =0.=0. 于是所求函于是所求函数数表表达达式是式是y=2sin/x,xy=2sin/x,x0,+).0,+). 2 5 金鼎学校：杜 作作业业； 电视电视台的不同台的不同栏栏目播出的目播出的时间时间周期是不同的，周期是不同的， 有的每天播出，有的隔天播出，有的一有的每天播出，有的隔天播出，有的一个个星星 期播出一次。期播出一次。请查阅当请查阅当地的地的电视节电视节目目预预告，告， 统计统计不同不同栏栏目的播出周期。目的播出周期。 2. 2. 请调查你请调查你所在所在区区的每天的用的每天的用电电情情况况，制定，制定 一一项项合理的合理的电电价方案。价方案。 3. 3. 一一个个城市所在的城市所在的经经度和度和纬纬度是如何影度是如何影响响日日 出和日落的出和日落的时间时间的？收集其他有的？收集其他有关数关数据，据，并并 提供理提供理论证论证据支持据支持你你的的结论结论。