数列、推理与证明

1、专题检测（三）数列、推理与证明（本卷满分150分，考试用时120分钟）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ）1.已知等差数列an中，a7+ a9= 16, a4 = 1,贝U ai2的值是B. 30A. 15C. 31D. 64解析 由等差数列的性质得a7+ a9= a4+恥,因为 a7 + a9= 16, a4= 1,所以a12= 15.故选A.答案 A2.在数列an中,a= 2,an+ 1 =1 + an1 ana2 010等于用心爱心专心20B.A. 2C.D. 31 1 1解析 由条件可得：a1= 2, a2= 3,

2、a3= -, a4= 3, a5= 2, a6= 3,，所以1数列an是以4为周期的周期数列，所以a2 010 = a2= -.故选B.3答案 B3. （2011 东营模拟）等差数列的前n项和为S,已知a1= 13, S= S1，当$最大时，n的值是A. 5C. 7解析由 S= S1，得 a4+ a5 +B.6D.8+ an = 0,根据等差数列的性质，可得a7 + as = 0,根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70, asv 0,故n = 7时$最大.故选 C.答案CS3 1S4.设S是等差数列an的前n项和，若3=；，则M等于S3S2C.8D.93a I 3dis_解析 由等

3、差数列的求和公式，可得 甘G 二“ =o，可得31 = 2d且dM0,所以w =S6 6a+ 15d 3Si26ai+ 15d 27d3 丄12ai+ 66d = 90d = 10，故A.答案 A5.已知等比数列an的前n项和Sn=t5n215则实数t的值为A. 4B. 54C.5解析 - a1= S = 1 1, a2= S2 S1 = 4 ,55533= S S = 4t ,由an是等比数列，知显然t m0,解得t = 5.答案 B6.(2011皖南八校联考）观察下图:则第（）行的各数之和等于 2 009 :A. 2 010B.2 009C. 1 006D.1 005解析由题设图知，第一行

4、各数和为1;9= 32;25= 52;49= 72;，第二行各数和为第三行各数和为第四行各数和为第n行各数和为（2n 1）2,令 2n 1 = 2 009，解得 n= 1 005.答案 Da, a1 = 2，又 bn= log 2an，且7. （2011 武汉重点中学1月联考）已知正项等比数列数列bn的前7项和T7最大,T7工T6,且卡工韦，则数列an的公比q的取值范围是1 1 1 1A. 28 910 V qv 26B. 2飞 v qv 2一71 1 1 1C. qv 2飞或 q 2万D. q 26 或 qv 27解析 / bn= log 2an,而 an是以a1 = 2为首项，q为公比的等

5、比数列，n 1/ bn = log 2an = log 2aq = 1 + ( n 1)log 2q.-bn+1 bn 一 log 2q. - - bn疋等差数列，由于前7项之和Tr最大，且T7丰T6,1 + 6log 2q 0,11所以有*解得7 v log e v *,1 + 7log 2qv 0,6711即 2 v qv 2 .故选 B.答案 B&已知数列A： a1, a2,，an(0 w a1 v a? an, n3)具有性质P：对任意j (1 2, an+1 an= (an 1)20,数列an是递增数列,-a2 oio a3 2，a2 010 1 1,11v 2v 2.a2 010

6、一 1丄2/口 111由 an+1 = an an+ 1 得一=-,anan 1 an + 1 11 1 1 故 _ + _ + + 一 a1a2土+1a2 010 1a1 1 a2 010 一 1=2 (1,2)，因此选 C.a2 010 I答案 C12.已知等比数列an中，a2= 1，则其前3项的和S3的取值范围是A. ( s, 1B. ( s, 1) U (1 ,+s)C. 3 ,+s)D. ( s, 1 U 3 ,+s)解析等比数列an中，a2= 1,什 、1q詁3, $=a1+a2+a3=a2q+1+q =1+q+ q.1当公比 q0 时，S3= 1 + q+ q 1 + 2 当公比

7、qv 0时，S3= 1 q寸）q= 1,q s ( s, 1 U 3 ,+s).答案 D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分.把答案填在题中的横线上13. 观察下列等式:1 = 11 + 2 = 31+2+3=61 + 2 + 3 + 4= 1()1 + 2 + 3+ 1 + 5= 15P= I13 + 23 = 92 + 2 + 33 = 361 + 23_1_3 + 4 10013 + 23 + 33 + 43 + 53=225可以推测：13+ 23+ 33+ n3 =(n N+,用含有n的代数式表示).解析第二列等式右端分别是1X 1,3 x 3,6 x 6,10 x 10

8、,15 x 15,与第一列等式右端比1较即可得，13+ 23+ 33+ n3= (1 + 2+ 3 + + n) J n2(n+1)2.41故填-n2( n+ 1)2.122答案 4n(n+1)14. (2011 广东)已知an是递增等比数列，a2= 2, a4- a3= 4，则此数列的公比q =、a2=2,2解析 由 a2= 2, a4 a3= 4 得方程组*2? q q 2= 0,a?q a2q = 4解得q= 2或q= 1.又an是递增等比数列，故 q= 2.答案 215. 在公差为d(d 0)的等差数列an中，若S是数列an的前n项和，则数列S。 S。,S。 S0, S0 S30也成等

9、差数列，且公差为100d.类比上述结论，相应地在公比为q(qz 1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有 .答案 ，也成等比数列，且公比为q100|10 I20|3016. 经计算发现下列正确不等式：、2 + 18 2.10, 4.5 + 15.5 V 2.10, , 3 +丫 2 +.17 7 2 2.10,，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a, b成立的条件不等式：.解析当a+ b= 20时，有 a+ bW2 10, a, b (0 ,).给出的三个式子的右边都是2 . 10,左边都是两个根式相加，两个被开方数都是正数且和为20 ,又，10+10= 2 , 10,所以

10、根据上述规律可以写出一个对正实数a, b成立的条件不等式:当 a + b= 20 时，有 a + b0解得q= 2, d= 2.故所求的通项公式为an= 2n 1, bn= 3X2n1.18. （12分）（2011 江西师大附中模拟 ）已知等比数列an的公比q 1,4 . 2是a1和a4 的等比中项，a2和as的等差中项为6,若数列bn满足b = log 2驸n N+）.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和S.解析（1）因为4 ,2是a1和a4的等比中项，所以 a1 a4= （4 冒2） 2= 32.从而可知a2 a3= 32.因为6是a2和a3的等差中项，所以 a2+

11、a3= 12.因为q 1,所以a3 a2.ra2= 4,联立，解得*a3= 8.所以 q=|2=2,a1=2.故数列an的通项公式为an= 2n. 因为 bn= log 2an( n N+)，所以 abn= n 2【所以 S= 1 2+ 2 2 2+ 3 2 3+ (n 1)2 n1+ n 2n.23nn+12S= 12+ 22+ (n 1)2+ n2.一得，一 S= 2 + 22+ 23+ 2n n2n+11 2n+ 1所以 S = 2 2+ n，2n+ 119. （12分）已知等差数列an满足：a3= 7, a5 + a?= 26. an的前n项和为S.求an及S；令bn =1an 1(n

12、 Nk)，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d,由于 a3= 7, a5+ a?= 26,所以 ai + 2d= 7,2 ai + 10d= 26,解得 ai = 3, d = 2.由于nan= ai+ (n 1)d, S =ai+ an2所以 an= 2n+ 1, S= n(n+ 2).因为an= 2n+ 1,所以 a2 1 = 4n( n+1),因此bn=4n1n+1故 Tn= b1 + b2+ + bn1 1 1 1 1 1=412+ 23+ nn+1=丄1丄=n_4v n+1 =4 n+1 ,所以数列 bn的前n项和Tn= n+.2 220. (12分)已知椭圆

13、C：彩+古=1(ab0)具有性质：若 M N是椭圆上关于原点O 对称的两点，点 P是椭圆上任意一点，当直线 PM PN的斜率都存在，并记为 kpM, kpN时，那2 2么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值， 试写出双曲线a= 1(a 0, b0)具有类似 特性的性质并加以证明.2 2解析 可以通过类比得：若 M N是双曲线X2y2= 1(a0, b0)上关于原点 0对称的a b两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM PN的斜率都存在，并记为kPM, kPN时，那么kPM与kpN之积是与点P的位置无关的定值.证明设点Mm n)，则N( m, n),又设点P的坐标为P(x, y), 则

14、kPM= , kPN= y+,x mx + m22注意到m w= 1,a b2 2x y点P( x, y)在双曲线孑一-2 = 1上，故 y2 = b ? 1 ，n = b 孕一1 ,2 2y n代入 kPM kPN = 2可得:x mb22202 x mb2kpM kPN=xm=評常数),即kpM kpN是与点P的位置无关的定值.21. (12分)(2011 湖南)某企业在第1年初购买一台价值为 120万元的设备 M M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初 M的价值比上年初减少 10万元；从第7年开始，每年初 M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式;a

15、1 + a2 + + an亠设A =若A大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新.证明：须在第9年初对M更新.解析 当nW6时，数列an是首项为120,公差为10的等差数列,an= 12010( n1) = 130 10n；当n6时，数列an是以a6为首项，舟为公比的等比数列， 又a6= 70,所以an = 70XM的价值an的表达式为因此，第n年初,nW 6,n7. 证明 设S表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当 1W nW6 时，S= 120n 5n( n 1), A= 120 5(n 1) = 125 5n;当n7时，由于Se= 570,3故 Sn= S6

16、+ (a? + as + + an) = 570+70x 4X 4x |1 =780 210XA=780 210X易知A是递减数列,780-210x 扌 * 2 *又A=47=8264 80，780-210x 33A=797696V 80,2an4所以bn+ 3是首项为13,公比为4的等比数列,21n 1bn+ 3= 3X4 ，bn= 4n 1 2 3(2) ai= 1, a2= c 1,由 a2 ai 得 c 2.用数学归纳法证明：当C 2 时，an V an+ 1.(i)当 n= 1 时,1 、 a2= c a1,命题成立;a1(ii)假设当 n= k(k 1, k N+)时，akvak+1,则当n= k+ 1时,11ak+2 = c c = ak+1.ak+1akC 2 时，an V an+ 1.当c 2时，令ac+、C2 42 ，所以须在第9年初对M更新.122. (14 分)(2011 洛阳模拟)已知数列an中，a1= 1, an+1= c 一 an(1)设c