线性代数试题及答案(综合测试题)

1、线性代数试题及答案（综合测试 题） 综合测试题 线性代数（经管类）综合试题一 （课程代码4184 ） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 aii ai2 ai3 2aii 3a“ ai2 ai3 1.设 D= a21 a22 a23 =M工 0 则 Di= 2a21 3a2i a22 a23 a31 a32 a33 2a3i 3a31 a32 a33 () A. - 2MB.2MC. - 6MD.6M 2设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C

2、,则 A应满足 () A. A 工0B. A = O C.|A|= 0D. |A|M0 3设A, B均为n阶方阵，则(). A. |A+AB|=0,贝S |A|=0 或|E+B|=0B.(A+B)2二A2+2AB+B2 C.当 AB=O 时，有 A=O 或 B=OD.(AB)-1 = B-1A-1 a 4二阶矩阵A b ,|A|=1, 则 A-1 = () c d d b db a ba b A. B. C. D. c a c a c dcd 5.设两个向量组 Ls 与L t，则下列说法正确 A. 若两向量组等价，则s = t . ) L t) j1. j2,js，则下列成立的是( A. r与

3、s未必相等 B. r + s = m B. 若两向量组等价，则r( L s)= r( D.若 r( L s)= r(Lt)，则两向量组等价. 6.向量组 L s线性相关的充分必要条件是() A. L S中至少有一个零向量 B. L s中至少有两个向量对应分量成比例 C. L S中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. s 可由 Ls-1线性表示 C.若s = t,则两向量组等价 7.设向量组 1)2 j j m 有两个极大无关组 i1， i2，ir C. r = s D. r + s m 8. 对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是(). A. Ax = o有解时，Ax

4、 = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 2x-| x2 x30 9. 设方程组X2 kX3 0有非零解，则k =(). x-1x20 A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10. n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(). A. |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTC C. 负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 四阶行列式D中第3列元素依

5、次为-1, 2, 0, 1,它们的余子 式的值依次为5, 3, -7, 4,贝S D = . 12若方阵A满足A2 = A,且A毛，则|A|=. 1 13若A为3阶方阵，且|A| -，则|2A|= . 14设矩阵A 2126的秩为2,则t = 15设向量=(6, 8, 0),=(4, 3 5)，则(，)= 16. 设n元齐次线性方程组Ax = o, r(A)= r 4矩阵A的秩r（A）=1, ,是齐次线性方程组 Ax=o 的 二个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 (). A., B ., C., D ., 6向量!(1, 2, 3), 2(2, 2, 2), 3(3, 0, k)线性相关

6、 则（）. A. k =-4B . k = 4 C . k =-3 D . k =3 7设U1, U2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个解， 若 c1u1 C2U2是其 导出组Ax=o的解，则有 (). A. C1+C2 =1B. C1= C2 C . C1+ C2 = 0 D . C1= 2C2 8设A为n（n2阶方阵，且A2=E，则必有 () A . A的行列式等于1 B . A的秩等于 n C . A的逆矩阵等于E D . A的特征值均为1 9.设三阶矩阵 A的特征值为 2, 1, 1 ,则 A-1的特征值为 (). A . 1,2B . 2, 1, 1 C.丄,1 D . 丄,1, 1

7、 2 2 10二次型讯/必必）X 2x； 3x；是 (). A .正定的B.半正定的 C .负定的 D . 不定的 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 1 1 11.3 14=. 8 9 5 12设A为三阶方阵，且|A|=4,则|2A|= 110110 13设 A=002, B =022,则AtB= 002003 14设 A = 1 2 3 5 15.向量(1, 2, 5)表示为向量组!(1, 0, 0), 2(0, 1, 0), 3(0, 0, 1)的线性组合式为 3x1 16如果方程组3X1 X2 5x2 4x2 X

8、3 2X30有非零解，则k二 kx3 17设向量 (1, 0, 2)与 (a,1,1)正交，贝卩a二 0,写出矩阵A对应的二次型 (X1,X2,X3) 19已知矩阵A与对角矩阵A= 0 0相似，则A18. 已知实对称矩阵 A=- 2 = 1 20设实二次型f(x1,X3,X3,X4)的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正 惯性指数为3,则其规范形为 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分) xyyy 21计算行列式D yxyy 的值. yyxy yyyx 1 23设矩阵A 2 3k 1 2k 3，求k的值，使A的秩r(A)分别等于 1 0 1 2 1 ,B= 0 2 3 2 1 22设矩阵

9、A= 2 i 2，求矩阵A-1B . 1 1, 2, 3. 1 1 1 2 1 24.求向量组1, 2 2 3 3 4 4的秩和一个极 1 3 7 10 1 4 13 20 大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示 x1 2x2 2x3 3x40 25.求线性方程组 2xi 3x2 X3 2x4 0的基础解系，并用基础解 x1 3x2 5x3 7x40 系表示其通解. 1 26.已知矩阵A 1 1 1 1，求正交矩阵P和对角矩阵A,使 1 P AP= A. 四、证明题 （本大题共 6分） 27.设向量组 2,., s线性无关，证明：向量组 1 线性代数(经管类)综合试题三 (课程代

10、码4184 ) 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1当()成立时，n(n 2)阶行列式的值为零. A. 行列式主对角线上的元素全为零 B. 行列式中有 豊卫个元素等于零 C. 行列式至少有一个(n 1)阶子式为零 D. 行列式所有(n 1)阶子式全为零 2已知A, B,C均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足 ABC = E， 则 下 列 结 论 必 然 成 立 的 是 (). A. ACB = EB. BCA=E C. CBA = E D. BAC=E 3设A，B

11、均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 (). 1,1 2 ,123厂,12s也线性无关. -1 -1 -1 A. (AB) =A B -1 -1-1 B. (A+B) =A +B C. (AB)t=AtBt D. I(AB)1| 4. 下列矩阵不是初等矩阵的是 0 1 1 0 A. B. 1 0 0 1 5. 设1, 2，6是4维向量组，则 A. 线性无关 B. 至少有两个向量成比例 1 0 1 (). 0 C. D. 0 2 2 1 1, 2,. ., 6 (). C. 只有一个向量能由其余向量线性表示 D. 至少有两个向量可由其余向量线性表示 6. 设A为m冷 矩阵，且m0 B. A的每一

12、个元素都大于零 C. r A n D. A的正惯性指数为n 10设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B),则 A. A与B相似 B. A与B合同 C. A与B等价 D.|A|=|B| 二、填空题(本大题共 10小题，每小题2分，共20分)请在每 小题的空格中填上正确答案 错填、不填均无分。 11.行列式 1 1 1 1 2 0 2 2 3 3 0 3 4 4 4 0 12设A为三阶矩阵, |A|=-2，将矩阵A按列分块为 (A, A2, A3)，其中 Aj (j 1,2,3)是 A 的第 j 列, (A3 2A3A2, A)则|B|= 13已知矩阵方程AX = B，其中A= 1 0 1 2

13、 1 ，B= 1 1，则 X= 0 14.已知向量组 1 (k , 1 , 1),2 (1,k,1),3 (1 , 1, k)的秩为 2, 15.向量(1,2, 1,3)的长度 | | = 3(1,0,0)下的坐 16.向量(2, 1,3)在基!(1,1,1), 2(1,1,0), 标为 17设1, 2, 3是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A 的秩 r(A)=. 101 18设 0是三阶矩阵A020的特征值，则a = 10a 19. 若 f (x1,x2, x) x： 2xfxf 2x1x2 4nx3 6x2x3是正定二次 型，则满足. 20设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,矩阵

14、B二A2+2A,则|B|= 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分) 300 21设三阶矩阵A=110，E为三阶单位矩阵. 123 求：(1)矩阵 A-2E 及|A-2E|; (2)(A 2E) 1. 22已 知向量组!(1,2,2), 2(2,4,4), 3(1,0,3), 4(0,4, 2) 求：(1)向量组的秩； (2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性 无关组线性表示. x1 2x2 2x32论 2 23.讨论a为何值时，线性方程组X2X3 X4 1有解? x1 x2x3 3论 a x1 x2x3 5论1 当方程组有解时，求出方程组的通解 24.已知向量组

15、i (1,1,2),2 (2,a,4), 3( 1,1,a)，讨论该向 量组的线性相关性 1 1 0 25. 已知矩阵A= 4 3 0 , 1 0 2 (1) 求矩阵A的特征值与特征向量； (2) 判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应 的对角形矩阵A. 26. 设二次型 f (x,x2, x3) x2 4x1x2 4x1x3 2x； 4x2x3 x3 (1) 将二次型化为标准形； (2) 求二次型的秩和正惯性指数. 四、证明题(本大题共6分) 27已知A是n阶方阵，且(A E)2 0 ,证明矩阵A可逆，并 求A 2 1 2 A.B. . 线性代数(经管类)综合试题四 (课程代

16、码4184 ) 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1 25 1三阶行列式1320，则a =() 2 5a A. 2B. 3C. 2D. -3 2设A,B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是() A. (A+B)(A- B) = A1 0 1 0 1 - B2B. (AB)-1 = B-1A-1 C. 若 AB= O,贝S A=O 或 B=O D. |AB| = |A| |B| 1 1 0 1 3.设 A,B,AB-BA二() C. 0 1 1 2 D. 0 1 0

17、 112 11 2 4.设矩阵A22 t的秩为2,则 33 6 (). A.t 4 B.t = -4 C. t是任意实数D.以上都不对 5.设向量(1,0,1,2),(1,0,1,0)，则 23 A.(1,0, 5, 4 )B.(1,0,-5, 4) C.(-1, 0, 5, 4)D.(1, 0, 5, - 6) 6.向量组1(1, 1,1), 2 (2, k,0), 3(1,2,0)线性相关，贝U (). A. k =- 4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 2 7设ui, U2是非齐次线性方程组 Ax = b的两个解, 若 C1U1+C2U2 也 是方程组Ax = b的解，

18、则 A. C1+C2 =1 B. C1= C2 C. Ci+ C2 = 0 D. C1= 2c2 B. D. 8. 设m n矩阵A的秩r(A) = n- 3(n3),是齐次线性方程组 Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=o的基础解系为() A. C. 9. 设三阶矩阵A的特征值为1,1, 2,则2A+E的特征值为 A. 3 , 5 B. 1, 2C.1, 1, 2D. 3, 3, 5 10. n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是（）. A.|A 0B.存在n阶矩阵P,使得A=PtP C.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分

19、）请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 a 1 b 11.1 0 2 . 0 2 0 12.设A为三阶方 阵，且|A|=2，A*是其伴随矩阵，则|2A*| 1 0 0 1 13.设矩阵 A0 2 0，则(A) 1二 2 00 3 14.设(1,0, 2), （2,1, 0），则内积（ ,)=- 15若向量3不能由 1, 2线性表示, 且 r( 1, 2)=2， 则 r( 1, 2, 3)= . 为 2x2 3x4 3 16.设线性方程 组 2x1 5x2 2X3 4x4 4有 解，则 x1 3x2 2X3 X4 t 17. 方程组为2x2 3x3 4x4 0的基础解系含有解向量

20、的个数 是. 18设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1,2,则|B|= 1 0 2 19.设二次型的矩阵A 0 2 1,则二次型 f（XX2，X3） . 20. 用正交变换将二次型彳以心兀）xtAx化为标准形为 yf 5y； y；，则矩阵A的最小特征值为 . 二、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54分） xy0.00 0 xy.00 21计算n阶行列式D 00 x.00 I 000.xy y00.0 x 22.解矩阵方程: 23.验证 i (1,1, 1), 2(0,2,1), 3(1,1,1)是 R3 的一个基，并求 向量 (1,3, 2)在此基下的坐标 24. 设向量组1, 2,

21、 3线性无关，令 试确定向量组 1, 2, 3的线性相关性. X1 X2 3X3 X4 0 25.求线性方程组 3X1 X2 3X3 5X40 的基础解系，并表示 X1 5x2 27X3 17x40 其通解. 26.求矩阵A111的特征值和全部特征向量 2 是任一三 四、证明题（本大题共6分） 7设1,2,3是三维向量组，证明：1, 2, 3线性无关的充分必要条件 维向量都可由它线性表示 线性代数（经管类）综合试题五 （课程代码4184） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

22、选均无分。 k 11 1行列式1 k 1 2 1 1 0,则 k = (). A. 1 B. 4 C. -1 或 4 D. -1 2. 设A,B ,C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是(). A.若 AB二AC，贝卩 B=CB. (A-C)2 = A2-2AC+C2 C. ABC= BCAD. |ABC| = |A| |B| |C| 3. 设A, B均为n阶方阵，则等式(A+B)(A- B) = A2- B2成立的 必要条件是 (). A. A =E B. B =O C .A=B D. AB = BA a11 a12 a13 a11 a12 a13 4若P a21 a22 a23 2a21 2

23、a22 2a23 ,则初等矩 阵 P=() a31 a32 a33 a31 a32 a33 0 1 0 0 1 0 A. 1 0 0 B. 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 C. 0 2 0 D. 0 1 2 0 0 1 0 0 1 5.设向量 (1, 1, 2, 3), (1, 0, 1, 0)则3 2 (). A. (-1, 3, 8 ,9 ) B. (1, 3,8, 9) C.(- 1,0, 8 ,6) D.(- 1, 3, 9, 8) 6.下列结论正确的是（）. A.若存在一组数ki, k2,km,使得 ik2 2km m o成 立，则向量组1, 2，m线性相

24、关. B. 当 kl = k2 =km=O 时，ki 1 k2 2 km m o，则向量组 1 , 2,m线性无关. C. 若向量1, 2, 3线性相关，则1, 2, 3, 4线性相关 D. 若向量1, 2, 3线性无关，则1, 2, 3, 4线性无关 7. 设U1, U2是非齐次线性方程组 Ax = b的两个解，若Gu计C2U2 是其导出组Ax = o的解，则（）. A. C1+ C2 = 0 B. C1= C2C. C1= 2c2D. c什C2 =1 8. 线性方程组 Ax=o只有零解的充分必要条件是 （）. A. A的行向量组线性无关B. A的行向量组线性相关 C. A的列向量组线性无关

25、D. A的列向量组线性相关 9.设A 2 3 ，则A2的特征值为 () 0 2 A. 1 2 2 B. 1 2 2 C. 1 2 4 D. 1 2 4 10.设二次型f（X1,X2, x3,X4）的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正 惯性指数为3,则二次型的规范形为（） A2222厂2222 a.屮y2y3y4b.*y?wy4 222 2222 c.出y2y3d.y百衣 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11行列式 12设A为三阶方阵，|A|=2,贝S |2A-1| = 13设 A0 1 3 ,B 20 5 1 31，贝 2A

26、+B= 32 2 14设 A1 2 ,B 2 1，则(AB)-1二 0 1 1 1 15.向量 (2, 1, 3）的单位化向量为 in i2)， ir 16设向量组 2,，m的两个极大无关组分别是 和 j1? j2,，jt， r和t的关系是 1 1 1 17.设向量组0 , ,1 , ,2的秩为2,则t 2 4 t 18. 设向量（1, 2,2,0）与 （k,1,0, 2）正交，则 k =. 19. 已知二次型 f（x）儿2 6x22 4x32 4x2 4x1x3 8x2x3，写出 二次型f的矩阵A=. 20. 设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0,则A的秩r（A）= 三、计算题（本大题共6小

27、题，每小题9分，共54分） 1 0a1 21.计算行列式D 01b1 11c1 11d0 13 0 22.已知矩阵A= 210，且A+X二XA，求X. 0 0 2 1 2 1 23.设 A= 3 2 a 5 6 3 24.已知线性方程组 1 1，已知r（A）=2，求a, b的值. b x1x2a1 X2 X3a2, (1)问常数a1, a2, as满足什么 xsX1as 条件时，方程组有解？ （2 ）当方程组有无穷多解时，求出其通解（用它 的一个特解和导出组的基础解系表示）. 1 25. 设实对称矩阵A= 0 1 0 1 11 ,求正交矩阵Q, 1 2 使得 Q-1AQ= A 其中，A是对角矩

28、阵. 26.设二次型 f (x!,x2,x3) X2 2x2 5x3 2ax1x2 2x2x3是正定二 次型，求a的取值范围. 四、证明题（本大题共6分） 27.设向量组1, 2，m线性无关， 能由1, 2，m线性表示.证明：向量组 1可由1, 2,., m线性表示，而2不 1, 2，m, 12线性无关 综合测试答案 综合试题一参考答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B C C D D D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 11. -15；12. 0；13. 4；14. t

29、=-3;15. 0；16. n-r ； 0 17.(1, 1,2)；18. 1, 1, 4; 2 19.2 0 1；20.1, 2, 3. 1 二、计算题(本大题共 1 x 111 1 x 1 1 1 1 1 x 11 x x 0 0 1 11 y 1 1 1 1 y 1 1 111 y 0 0 y y 每小题9分, 共 54 分) 6小题, 21.解: 1 x 1 0 0 x 0 0 0 1 1 0 0 xy 1 1 0 0 0 0 1 y 1 0 0 y 0 0 0 1 1 0 0 1 1 xy 1 2 1 1 1 2 3 . 6 1 1 1 2 2 =x2y2. 22.解：令A= ,B=

30、 因为(AE)二 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 6 1 2 所以 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 6 1 2 由 AX = B，得：X=A-1B= 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 6 1 2 23解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换: 1 1 1 4 1 1 1 4 T 1 1 3 2 0 0 2 6 (123 4) 2 1 3 5 0 3 1 3 3 1 5 6 0 4 2 6 1 1 1 4 1 1 1 4 1 0 0 7 0 0 2 6 0 1 1 3 0 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 2 6 0 0 0

31、 0 0 0 0 0 所以，r( 1, 2, 3,4) =3,极大无关组为 1 , 2 , 3； 4 7 ! 3 24.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换: 2 1 1 1 1 1 2 1 42 A 1 2 1 4 2053 73 1 7 4 11 a053 7 a 2 1 2 1 4 2 05 3 7 3 . 0 0 0 0 a 5 若方程组有解， 则 r(A) r(A)，故 a=5. 当a=5时， 继续施以初等行变换得： 1 0 1 6 4 5 5 5 A 0 1 3 7 3 3 ，原方程组的同解方程组为: 5 5 5 0 0 0 0 0 6 一 5 7 XX 15 3 4-53 X4

32、,x3, x4为自由未知量，令X3=X4=0,得原方程 X2 5 -x3 5 3 4 5X4 5 组的一个特解： 3 5 . 0 0 1 6 X!-X3 -X4 与导出组冋解的方程组为：55 ,X3，X4为自由未知 373 4 X2-X3-X4 55 量，令 :分别取0 ,，得到导出组的基础解系： 1 1 6 5 5 3 5 7 ，5 ，所以，方程组的全部解为： 1 0 0 1 4 1 6 5 5 5 v 3 5 3 q 5 0，其中，C1 , C2为任意常数. 5 0 1 0 0 0 1 25. 解：矩阵A的特征多项式为： 所以，A的特征值为:122,31. 对于122，求齐次线性方程组(2

33、E A)x o的基础解系, 0 0 0 1 0 1 2E A 101 1 0 1 0 00 ，得基础解系：1 , 0 0 0 0 0 1 从而矩阵A的对应于特征值122的全部特征向量为: 01 q 1c, 0c1,c2不全为零. 01 矩阵A的对应于特征值 3 1的全部特征向量为: 0 c 1(c 0). 1 010 1 ， 0 ， 1 011 2 0 0 0 2 0. 0 0 1 对于3 1，求齐次线性方程组(E A)x o的基础解系, 1 0 0 1 0 0 0 E A 1 1 1 0 1 1，得基础解糸. 1，从而 1 0 0 0 0 0 1 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量 0

34、1 0 所以，A相似于对角矩阵，且P 10 1, 26.解：f (x1,x2,x3) xf 2x； x； 4x1x2 0 1 1 x2 4儿区 X3) 4(X2 X3)2 4(X2 X3)2 + 2X x 【3 4x2X3 = (x1 2x2 2X3)2 2x2 4X2X3 5x| = (x1 2x2 2xJ2 2(x； 2X2X3 X3) 3xf 4x1x3 4x2x3 二 ：（儿 2x2 2X3)2 2(X2 X3)2 3x；. y1 X1 2X2 2X3 X1 y1 2y2 令y2 X2 X3 即X2 y2 y3 , y3 X3 X3 得二次型的标准形为：yj 2y2 3y32. 四、证

35、明题（本题6分） 1 1 0 1 1 0 27证：因为 1 1 0 0 2 0 20,所以1，2，3线性无关 1 1 1 0 0 1 （方法多样），所以向量组1,2,3是R3空间中的一个基 综合试题二参考答案 11. 512. 32 15. 1 1 0 CA 13.1 1 0 2 1 14. 52 0 4 10 16. -1 17. 2 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D C B B D A 二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分） 18. f (x1,x2,x3) x； 2x2

36、3x； x1x23%3 19. E 2222 20. yi y2 出 y4 二、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） x x 3y 3y y x y y y y 21.解：原式二 x 3y y x y x 3y y y x 1 y 1 y y y (x 3y) 1 x y y 1 y x y 1 y y x y y (x 3y) 3 (x 3y)(x y) 22.解：方法1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 (AE) 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 2 2 3 0 0 1 0 4 3 2 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 4 3 1 0 1 1

37、 1 1 0 0 1 0 5 3 1 0 0 1 6 4 1 0 0 1 6 41 4 3 1 得：A 1 5 3 1 . 6 4 1 4 3 1 1 1 2 9 所以， A 1 B 5 3 1 0 2 3 10 . 64121413 方法2 1 1 0 |A|= 1211 223 |A| 1a 0 2k 2 3k 3 006 3k 3k2 0 k 1 k 1 00 (k 2)( k 1) 4 3 1 1 1 2 9 所以，A 1B 5 3 1 0 2 3 10 6 4 1 2 1 4 13 6 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 方法3 (AB)1 2 1 0 2 0 1 1 1 3 2

38、 2 3 2 1 0 0 1 4 13 1 1 0 1 1 1 0 0 2 9 0 1 0 3 10 0 1 0 3 10 0 0 1 4 13 0 0 1 4 13 2 9 A 1B 3 10 4 13 23.解：对矩阵A施行初等变换: 1 2 3k 1 23k A1 2k 3 0 2k 2 3k 3 k 2 3 0 2k 23 3k2 1 2 3k 1 23k 12 3 当k=1时，A 0 0 0，矩阵A的秩r(A)=1; 0 0 0 1 2 6 当 k= -2 时，A0 33，矩阵A的秩r(A)=2; 0 0 0 12 3k 当k工1且k工2时，A 011 ，矩阵A的秩r(A)=3. 0

39、 0 1 24.解：将所给列向量构成矩阵 A，然后实施初等行变换: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 4 0 1 2 2 ( 1 2 3 4) 1 3 7 10 0 2 6 8 1 4 13 20 0 3 12 18 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 0 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 0 2 0 0 2 4 0 0 1 2 0 0 1 2， 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 所以， 向量组的秩 r( 1, 2，3 4) 3，向量组的一个极大无关组为: 1 , 2 , 3 , 且有4 2 2 2 2 3 25. 解: 对方程组的系数矩阵(或增广矩阵)

40、作初等行变换： 1 2 2 3 1 2 2 3 122 3 A 2 3 1 2 0 1 3 4 0 13 4 1 3 5 7 0 13 4 0 0 0 0 10 45 0 13 4 0 0 0 0 与原方程组同解的方程组为：Xl 4X3 5X4，其中X3, X4为自由未 x2 3x3 4X4 知量. x31 0 令X4分别取0，1得基础解系：V1 V2 方程组的通解为：c1v1 c2v2 C2 0 （C1 , C2为任意常数） 26. 解：矩阵A的特征多项式为: I E A| 得矩阵A的所有特征值为：1 对于120 ,求方程组 1 1 1 1 1 1 2(3), 1 1 1 2 0, 3 3.

41、 (0E A)x o 的基础解糸. Q 111000，得基础解系为1 1110 0 0 1 , 2 0 0 1 将此线性无关的特征向量正交化，得： 1 1 1 1 2 逅 76 1 11 , 2再标准化，得：1 1 鬣1 2 1 76 0 彳 1 0 2 111111 1 1 对于 3 3解方程组（3E A）x o. 2 1 1 1 0 1 Q 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0 方程组的基础解系为 V3 将其单位化，得： 3 1 73 . 1 73 1 逅 1 馬 1 馬 令 P=( 1，2, 3) 1 石 1 76 1 73， 0 2 亦 1 73 则P是正交矩阵， I-1 且

42、 P AP= A. 四、证明题（本大题共 6分） 27.证：令 k1 1 k2( 1 2 ) k3 (1 2 3) .ks( 整理得： (k1k2.ks) 1 (k2 k3. ks) 2 . 1 A= 1 (k 1 s 因为1，2，s线性无关，所以 s) ks) ks s k1 0 k2 0 ks1 0 ks 0 k1 k2 . ks 1 ks 0 k2 k3 .ks 0 ，解得: ks 1 ks 0 ks 0 1512，123,，12 s线性无关. 综合试题三参考答案 所以，向量组的秩r( 1, 2, 3, 4)2 ； 、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 题号 1 2

43、3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B D C D D D C 、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） 11l 11.2412.613.14.-215. J5 1 2 16.(3,-4,3)17.118.119.520.360 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分) 3 0 0 2 0 0 1 0 0 21.解：（1） A-2E二 1 1 0 0 2 0 1 1 0 1 2 3 0 0 2 1 2 1 I A-2E |= :-1； 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 (2)Q 11 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 2 1 0 0

44、 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 (A 2E)1 1 1 0 . 1 2 1 22.解：（1）将所给向量按列构成矩阵 A，然后实施初等行变换: 12 10 2 404 2 4 32 12 10 0 024 0 0 1 2 12 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0 (2)向量组的一个极大无关组为: 且有22 1, X2 X3 4x4 X4 X3,X4为自由未知量. 23解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换: 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 A 1 1 1 3 a 0

45、 1 1 1 a 2 1 1 1 5 1 0 3 3 3 3 1 2 2 2 2 1 0 0 4 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 若方程组有解， 则 r(A) r(A) 2, 从而a=1. 当a=1时，原方程组的通解方程组为: 令X3 X4 0 ,得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T. 导出组的同解方程组为: X1 4x4 X2 X3 X4 X3M4为自由未知量. X3 X4 令；4分别取0,0 得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T 所以，方程

46、组的通解为: (0, 1, 0, 0)T+C1(0, 1, 1,0)T+C2(-4, 1,0, 1)T，其 1 2 1 1 2 1 24.解：因为 1 a 1 0 a 22 2 4 a 08a 2 (a 2)(a 6). 中，C1， C2为任意常数. 当a=2或a=-6时，向量组相性相关; 当a2且a6时，向量组线性无关 25解：矩阵A的特征多项式为: I E A| 4 1 0 ( 2)( 2 1) 所以，A的特征值为：12 1, 3 2 . 对于121，求齐次线性方程组(E A)x o的基础解系, 2 1 0 1 0 1 1 E A4 2 0 0 1 2，得基础解糸. 2 ,从而 1 0 1

47、 0 0 0 1 1 矩阵A的对应于特征值12 1的全部特征向量为：c 2 , (CM0) 1 对于32，求齐次线性方程组(2E A)x o的基础解系， 3 1 0 1 0 0 0 2E A4 1 0 010，得础解糸. 0，从而 1 0 0 0 0 0 1 0 矩阵A的对应于特征值32的全部特征向量为：c 0 (c 0). 1 因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以， A不 能相似于对角矩阵. 26.解：(1)利用配方法，将二次型化为标准形: 2 f(X1，X2，X3) X1 2x2 2x3 2x2 4X2X3 3x3 2 X12%区 X3) (X2 X3)2 (X2 X3)2 2x

48、2 4x2x3 3x； yi XiX2X3 Xi yiy2 令y2 X2X3 ，即 X2 y2y3， y3 X3 X3 y3 得二次型的标准形为： 2 yi 2 y2 5y32. =(Xi X2 X3)(X2X3)5X3 . (Xi X2 X3)2X；2X2X34X3 (Xi X； X3)2 (X； 2X2X3 x3) 5x3 (2)由上述标准形知：二次型的秩为 3,正惯性指数为2. 四、证明题(本大题共6分) 27证：由(A E)20,得：A2+2A= -E，从而 A(A +2E)= -E,A(-A-2E)= E 所以A可逆，且A 1 A 2E . 综合试题四参考答案 、单项选择题(本大题共

49、10小题，每小题2分，共20 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A A B A C D D 二、填空题（本大题共 10小题, 每小题 2分，共20分） 11.2b-4a；12. 32； 2 13. 0 0 0 2 3 14. 2；15. 3； 16. 1 17. 3; 18.-2; 2 19. X1 2X22 2 X3 4x1X3 2X2X3; 20. -1 二、计算题（本大题共 6小题， 每小题 9分，共54分） 21.解: X y .0 y 0 .0 0 X .0 八n1 X y (1) y 0 0 .X 0 0 .y 按第一列展开, 得: 原式二X

50、方法1 n X 1)n 22.解: 1 1 1 0 11 所以，A 1111 2 21 故，X A 1B = 解法2 |A|= 所以，X A 1B = 23.解: 因为 所以 3是R3的一个基; 令k1 1 k3 对此方程组的增广矩阵施以初等行变换: 3 2 2 , 卫 2 得：k13,k22,k3 2 5 所以 3- 24 .解：令匕！k2 2k3 3o,即 ki(13)k2(2 2 2 3)k3(2 i 5 23 3)0 , (ki 2k2 3k3)3 o. 整理得：(k1 2k3) 1(2k2 5k3) 2 2k30 因为1, 2, 3线性无关，所以2k2 5k3 0 ,而此方程组有非零

51、 ki 2 k2 3k30 解，所以向量组1, 2, 3线性相关 25解：对系数矩阵施行初等行变换： 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 A 3 1 3 5 0 2 12 8 0 1 6 4 1 5 27 17 0 4 24 16 0 0 0 0 1033 0164， 0 000 原方程组的同解方程组为: Xi3x3 3x4 t ，其中X3, X4为自由未知 X 6x3 4x4 x10 令x4分别取0, 1得基础解系：v1 V2 方程组的通解为: C2 0 （C1 , C2为任意常数） 26.解：矩阵A的特征多项式为: 2 0 0 E A 111(2)3, 113 所以A的特征值为

52、!232. 对于1232，解方程组（2E A)x o，由于 0 0 0 1 1 1 (2E A)1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 可得方程组的基础解系为 1 (1,1,0)T， 2 ( 1,0,1几 故A的对应于特征值 2的全部特征向量为 C 1 C2 2 (C1 ,C2 不全 为零） 四、证明题（本大题共6分） 27.证：必要性 若 3线性无关，设是任意一个三维向量，则 充分 ,线性相关，故可由 3线性表示. j性 若任意一个三维向量都可由 3线性表示，则单位向量组 1, 2, 3可由1,2,3线性表示，从而1,2,3与1, 2, 3等价, 所以 r( 1, 2 , 3) = r( 1, 2,