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1、柯西不等式知识点所谓柯西不等式是指 : 设 ai,bi R,则 2, 等号当且仅 当= =时成立。柯西不等式证法 : 柯西不等式的一般证法有以下几种： 柯西不等式的形式化写法就是： 记两列数分别是 ai,bi ， 则有 * 2.我们令 f= 2=*x2+2*x+ 则我们知道恒有 f 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 =4*2-4* 0.于是移项得到结论。 用向量来证 .=n= n=a1b1+a2b2+anbn= 乘以 乘以 cosX.因为 cosX 小于等于 1，所以： a1b1+a2b2+anbn小于等于 a12+a22+an2) 乘以 这就证明了不等式 . 柯西不等式还有很

2、多种，这里只取两种较常用的证法 . 柯西不等式应用 : 可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用巧拆常数：例：设 a、 b、 c 为正数且各不相等。求证： 2/+2/+2/9/分析： a、b、 c 均为正数 为证结论正确只需证： 2*1/+1/+1/9 而 2=+又 9=证明： 21/+1/+1/=+1/+1/+1/=9又 a、b、 c 各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可 以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献 柯西简介 :年 8 月 21 日生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯 西是法国波旁王朝的官

3、员，在法国动荡的政治漩涡中一直担 任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正 统派，是一位虔诚的天主教徒。他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西 积分公式 . 在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧 拉的人，他一生一共著作了 789 篇论文和几本书，其中有些 还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此 他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据 说，法国科学院 会刊 创刊的时候，由于柯西的作品实在 太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的 预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，

4、所 以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。柯西在代数学、 几何学、 误差理论以及天体力学、 光学、 弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理 论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。一、一般形式) 等号成立条件： a1:b1=a2:b2= =an:bn ，或 ai 、 bi 均 为零。一般形式的证明) 2证明：等式左边 =+ 共 n2/2 项等式右边 =+ + 共 n2/2 项用均值不等式容易证明等式左边等式右边得证 二、向量形式| | | | | ，=， = 等号成立条件： 为零向量，或 =。向量形式的证明 令=，n= n=a1b1+a2b2+ +anbn=|n|cos,n= co

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