五年级奥数教师解析版含答案14.约数与倍数

1、a b cy ww一个整数的约数个数与约数和的计算方法 ,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系 ,分数的最小公倍 数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用1.数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360 分解质因数:360=222335=23325；360 的约数可以且只能是 2 3 5 ,(其中 a,b,c 均是整数,且 a 为 03,6 为 02,c 为 01)因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)(2+1)(1+1)=24 我们先只改动关于质因数 3 的约数,可以

2、是 l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有 360 约数的和为(1+3+32)2 5 ；我们再来确定关于质因数 2 的约数,可以是 l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有 360 约数的和为 (1+3+32)(1+2+22+23)5 ；最 后 确 定 关 于 质 因 数 5 的 约 数 , 可 以 是 1,5, 它 们 的 和 为 (1+5), 所 以 所 有 360 的 约 数 的 和 为 (1+3+32)(1+2+22+23)(1+5)于是,我们计算出值:13156=1170所以,360 所有约数的和为 1170评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的

3、求法.下面我们给出一般结论：i.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积 . 如 :1400 严格分解质因数后为 23527, 所以它的约数有(3+1)(2+1)(1 +1)=432=24 个.(包括 1 和它自身).约数的和是在严格分解质因数后,将 m 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积如： 21000=233537,所以 21000 所有约数的和为(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=748802.一个数是 5 个 2,3 个 3,6 个 5,1 个 7 的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这

4、些两位数的约数中,最 大的是多少?【分析与解】 设这个数为 a,有 a=2533567,99=3311,98=277,97 均不是 a 的约数,而 96=253为 a 的约数,所以 96 为其最大的两位数约数3.写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的 乘积.如:1400 严格分解质因数后为 23527,所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24 个.(包括 1 和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1 后均是奇数

5、,所 得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除 0 外)有奇数个约 数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数由以上分析知,我们所求的为 360630 之间有多少个完全平方数?18 18=324,19 19=361,2525=625,2626=676, 所 以 在 360 630 之 间 的 完 全 平 方 数 为 192,202,212,222,232,242,252即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,6254.今有语文课本 42 册,数学课本 112 册,自然课本 70 册,平均分

6、成若干堆,每堆中这 3 种课本的数量分别相等. 那么最多可分多少堆?【分析与解】 显然堆数是 42 的约数 , 是 112 的约数 ,是 70 的约数 . 即为 42,112,70 的公约数 , 有 (42,112,70)=14所以,最多可以分成 14 堆5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件,第二道工序每名工人每小 时可完成 10 个零件,第三道工序每名工人每小时可完成 15 个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多 少名工人?【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别 有 a、b、c 个工人

7、,有 6a=10b=15c=k,那么 k 的最小值为 6,10,15 的最小公倍数,即6,10,15=30所以 a=5,b=3,c=2,则三道工序最少共需要 5+3+2=10 名工人6.有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同向,从 同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚?【分析与解】 设在 x 分钟后 3 人再次相聚,甲走了 120x 米,乙走了 loox 米,丙走了 70x 米,他们 3 人之间 的路程差均是跑道长度的整数倍即 120x-100x,120x-70x,loo

8、x-70x 均是 300 的倍数,那么 300 就是 20x,50x,30x 的公约数有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lox,所以 x=30即在 30 分钟后,3 人又可以相聚7.3 条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3= =61+x 2+y 2+n 人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长1 1 3 1千米,中圈跑道长 千米,外圈跑道长 千米.甲每小时跑 3 千米,乙每 5 4 8 2小时跑 4 千米,丙每小时跑 5 千米.问他们同时出发,几小时后,3 人第一次同时回到出发

9、点?【分析与解】 甲跑完一圈需1 1 2 1 1 3 33 = 小时,乙跑一圈需 4 = 小时,丙跑一圈需 5 = 则他们同 5 2 35 4 16 8 402 1 3时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为 , , 的倍数,即它们的公倍数35 16 40而2 1 3, ,35 16 40=2,1,3 6(35,16,4 ) 1.所以,6 小时后,3 人第一次同时回到出发点.评注 :求一组分数的最小公倍数 ,先将这些分数化为最简分数 ,将分子的最小公倍数作为新分数的分子 ,将 分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最

10、简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的 最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是 6 最小公倍数是 90.如果甲数是 18,那么乙数是多少？【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小 公倍数的乘积为 690=540，则乙数为 54018=309.a,b 两数都仅含有质因数 3 和 5,它们的最大公约数是 75.已知数 a 有 12 个约数，数 b 有 10 个约数，那么 a,b 两数的和等于多少?【分析与解】 方法一:由题意知 a 可以写成 352a，b 可以写成 3526,

11、其中 a、b 为整数且只含质因 子 3、5.即 a:3 5 ,b=31+m5 ,其中 x、y、m、n 均为自然数(可以为 0)由 a 有 12 个约数,所以(1+x)+1 (2+y)+1=(2+x)(3+y)=12，x =2 x =1 x =0 所以 , 或 y =0 y =1 y =4.对应 a 为 31+252=675,31+152+1=1125,或 31+052+4=46875；由 b 有 10 个约数,所以(1+m)+1(2+n)+l=(2+m)(3+n):10,所以 m =0n =2.对应 b 为 31+052+2=1875只有(675,1875)=75,所以 a=675,b=187

12、5那么 a,b 两数的和为 675+1875=2550方法二:由题中条件知 a、b 中有一个数质因数中出现了两次 5,多于一次 3,那么,先假设它出现了 n 次 3, 则约数有:(2+1)(n+1)：3(n+1)个12 与 10 其中只有 12 是 3 的倍数,所以 3(n+1)=12,易知 n=3,这个数是 a，即 a=3352=675那 么 b 的 质 数 中 出 现 了 一 次 3, 多 于 两 次 5, 则 出 现 了 m 次 5, 则 有 :(1+1)(m+1)=2(m+1)=10 ， m=4.b=354=1875那么 a,b 两数的和为 675+1875=2550有 10.有两个自

13、然数,它们的和等于 297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693.这两个自然数的差等于多 少?【分析与解】 设这两数为 a,b,记 a=(a,b)q1,b=(a,b)q2它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297它们的最大公约数与最小公倍数的和为：a,b+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.综合、知(a,b)是 297,693 的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是 99,33,1l,9,3,1第一种情况 :(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+

14、1)=7,即 qlq2=6=23,无满足条件的 ql,q2；第二种情况 :(a,b)=33, 则 (q1+q2)=9,(q1q2+1)=21, 即 q1q2=20=225, 则 ql=5,q2=4 时 满 足,a=(a,b)q1=335=165,b=(a,b)q2=334=132,则 a-b=165-132=33；第三种情况 :(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即 qq2=62=231,无满足条件的 q1,q2； 一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的 q1q2所以,这个两个自然数的差为 3311.两个不同自然数的和是 60，它们的最大公约数与

15、最小公倍数的和也是 60.问这样的自然数共有多少组? 【分析与解】 设这两数为 a,b,记 a=(a,b)q1,b=(a,b)q2它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60它们的最大公约数与最小公倍数的和为：a,b+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1联立、有(ql+q2)=(q1q2+1),即 ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以 ql=1 或 q2=1即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记 a=kb(k 为非零整数)，a+b=kb+b =60(a,b)+a,b=b+a

16、=b+kb=60,即(k+1)b=60确定，则 k 确定，则 kb 即 a 确定60 的约数有 2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60 这 11 个，b 可以等于 2，3，4，5，6，1012，15， 20，30 这 10 个数，除了 60，因为如果 6=60，则(k+1)=1，而 k 为非零整数对应的 a、b 有 10 组可能的值，即这样的自然数有 10 组进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20), (30,30)评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数

17、与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系12.3 个连续的自然数的最小公倍数是 9828,那么这 3 个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积则当 a,a+1,a+2 中有 2 个偶数时,a(a+1)(a+2)=98282，当 a,a+1,a+2 中有 1 个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828对 9828 分解质因数:9828=22333713,我们注意,13 是其最大的质因数,验证不存在 3 个连续的( )自然数的积为 9828则这三个自然数的

18、积只能是 98282,此时这三个数中存在两个偶数,有 98282=222333 713132=26,有 26,27,28 三个数的积为 98282,所以这三个连续的自然数为 26,27,28,其中有两个偶数,满 足题意所以,这三个数的和为 26+27+28=81评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即0,b=ab记这 3 个连续的自然数为 a,a+1,a+2有a,a+1,a+2=a,a+1,a+1,a+2=a,a+1,a+1,a+2=a(a+1)，(a+1)(a+2)=(a+1) a,a+2因为 a,a+2 同奇同偶，当 a,a+2 均是偶数时,a,a+2 的

19、最大公约数为 2,则它们的最小公倍数为当 a,a+2 均是奇数时,a,a+2 互质,则它们的最小公倍数为 a(a+2)a (a+2) 2；所以(a+1)a,a+2= a (a+2)a +1 a为偶数 2(a+1)a(a+2)a为奇数.即a,a+1,a+2为 a(a+1)(a+2)或a (a+1)(a+2)2若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数 中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积13.甲、乙两数的最小公倍数是 90，乙、丙两数的最小公倍数是 105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲 数是多少?【分析与解】 对 90

20、分解质因数:90=2335.因为 5 126,所以 5 甲,即甲中不含因数 5,于是乙必含因数 5因为 2 105,所以 2 乙,即乙中不含因数 2,于是甲必含 22因为 9 105,所以 9 乙,即乙最多含有一个因数 3第一种情况 :当乙只含一个因数 3 时,乙=35=15,由甲,乙=90=2325,则甲=232=18；第一种情况 :当乙不含因数 3 时,乙=5,由甲,乙=90=2325,则甲=232=18，综上所需,甲为 18评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值 如 a=233527,b=23325711,则 a、b 的最小公倍数含有质因子 2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有 3 个,3 个,2 个,1 个,1 个,即a,b=23335271114.abc 是 3 个整数.a,b,c 的最大公