工程数学(线性代数)学位课程考纲

1、工程数学（线性代数）专业名称：机械设计制造及其自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理、自动化(计算机控制与管理)、计算机科学与技术、土木工程（道路与桥梁）、交通工程、测绘工程、电子科学与技术等。课程名称：工程数学（线性代数）开课学期：第1学期考核办法：笔试，闭卷先修课程：高等数学教材：教 学 用 书类别主要教材主要参考书1主要参考书2名称工程数学线性代数线性代数辅导线性代数附册学习辅导与习题选解编者同济大学应用数学系李永乐、周耀耀同济大学应用数学系出版社高等教育出版社国家行政学院出版社高等教育出版社出版年月2005.112004.82003.8版次411（一）教学大纲一、课程的性质和目的本课

2、程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生在熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法的基础上，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。二、课程内容和教学要求（对概念与结论的要求分知道、了解、理解三个层次，对方法的要求分会、掌握、熟练掌握三个层次。）1、行列式考试内容：排列及其逆序数，行列式的概念及其性质，行列式按行（列）展开，行列式的乘法定理，cramer法则。考试要求：(1) 理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；(2) 知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的

3、逆序数；(3) 了解阶行列式的定义；(4) 掌握行列式的基本性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；(5) 掌握低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；(6) 理解cramer法则，会用cramer法则求方程组的解。2、矩阵考试内容：矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，分块矩阵及其运算规律。考试要求：(1) 理解矩阵的概念；(2) 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置，理解相关的运算性质；(3) 理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； (4) 理解矩

4、阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；(5) 了解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算逆矩阵的方法；(6) 了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。3、gauss消元法与矩阵的初等变换考试内容：gauss消元法，矩阵的初等行（列）变换，矩阵的等价标准形，初等矩阵，用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，矩阵的秩的概念及刻画方法，用矩阵的秩判断线性方程组的相容性并讨论解的情况考试要求：(1) 理解gauss消元法与矩阵的初等行变换的关系；(2) 理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；(3) 了解矩阵的等价标准形，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的

5、关系；(4) 了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；(5) 理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；(6) 熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。4、向量组的线性相关性考试内容：向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量组的线性相关、线性无关的概念，向量组的等价，向量组的最大线性无关组与秩，向量组的秩与矩阵的秩的关系，齐次线性方程组有非零解的充要条件，齐次线性方程组的基础解系的概念、求法及性质，非齐次线性方程组有解的充要条件，非齐次线性方程组的解的结构，通解的求法考试要求：(1) 理解向

6、量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；(2) 理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；(3) 理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；(4) 理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；(5)理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；(6) 理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法。5、相似

7、矩阵和二次型考试内容：向量的内积、长度及正交性，标准正交基，schimidt正交化方法，正交矩阵的概念及性质，矩阵的特征值、特征向量和特征多项式，矩阵的相似性概念及两矩阵相似的必要条件，矩阵相似于对角阵的充要条件及相关计算，实对称矩阵的性质，用正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵，二次型及二次型的矩阵，二次型的标准形，矩阵间的合同关系，用可逆线性变换和正交变换化二次型为标准形，惯性定理，正定性的概念和判别方法。考试要求：(1) 理解向量的内积、长度及正交性，掌握schimidt正交化方法；(2) 理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；(3) 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握其求法，理解相关性

8、质；(4) 理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；(5) 熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；(6) 掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；(7) 掌握二次型的矩阵的求法，理解矩阵间的合同关系；(8) 理解二次型的标准形的概念，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；(9) 理解惯性定理；(10) 理解正定性概念，掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。三、建议学时分配章节教学内容教学时数1.1-1.42 、3阶行列式，n阶行列式的定义31.5n阶行列式的性质31.6行

9、列式按行（列）展开，行列式的计算31.7cramer法则12.1-2.2矩阵的概念，矩阵的运算32.3-2.4伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵43.1-3.2矩阵的初等变换，初等矩阵，利用初等变换求逆阵33.3-3.4矩阵的秩，线性方程组的求解44.1-4.2n维向量的概念，线性表示，线性相关性34.3向量组的秩34.4线性方程组的解35.1内积，正交矩阵25.2特征值与特征向量35.2-5.3相似矩阵，相似对角化问题45.4实对称矩阵35.5-5.6实二次型及其标准形，惯性定理，25.7二次型的正定性1总学时48（二）考试大纲一、考试要求1、行列式要求：了解行列式的定义，熟悉行列式的性质，并能熟练

10、地利用这些性质计算行列式的值。(1) 了解n阶行列式的定义；(2) 掌握行列式的性质；(3) 掌握行列式按一行（列）展开定理；(4) 了解行列式乘法定理；(5) 了解上（下）三角形行列式及vandermonde行列式结果；(6) 熟练掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算方法；(7) 会利用行列式的性质，将给定行列式化成三角形行列式，或利用行列式按一行（列）展开定理，将高阶行列式化成较低阶的行列式，以计算一些简单的n阶行式。2、矩阵要求：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵的概念，熟练掌握矩阵可逆性的判断及逆矩阵的计算方法。(1) 理解矩阵的概念；(2) 了解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上

11、（下）三角矩阵、对称矩阵的概念及它们的运算性质；(3) 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及它们的运算规律；(4) 了解矩阵的方幂及矩阵的多项式的概念；(5) 理解可逆矩阵的概念，熟练掌握用行列式判断矩阵可逆性的方法；(6) 掌握伴随矩阵的计算及其性质；(7) 熟练掌握用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵的方法；(8) 会利用逆矩阵解一些简单的矩阵方程；(9) 了解分块矩阵的概念及其运算，了解按行、按列分块的矩阵、分成四块的矩阵以及分块对角阵的运算特点；(10) 了解分成四块的矩阵以及分块对角阵的逆矩阵的特点。3、矩阵的初等变换要求：理解矩阵的初等变换的概念，掌握初等变换与矩阵的乘法之间的关系，熟练

12、掌握用初等变换计算矩阵的秩、可逆矩阵的逆矩阵以及求解线性方程组的办法。(1) 理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；(2) 熟练掌握用初等变换求解线性方程组的办法；(3) 了解矩阵的k阶子式的概念；(4) 理解矩阵的秩与其非零子式的最高阶数之间的关系；(5) 熟练掌握用初等变换计算矩阵的秩的办法；(6) 了解矩阵的可逆性与其秩的关系；(7) 了解矩阵的等价标准形的概念，理解两矩阵等价的充分必要条件；(8) 理解初等矩阵的概念；理解初等变换与矩阵的乘法之间的关系；(9) 熟练掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法；(10) 会用初等变换求解简单矩阵方程。4、向量组的线性相关性要求：理解向量组

13、的线性相关性的概念，掌握判断方法；了解向量组的极大无关组及其秩的概念，会进行相关的计算；了解向量组的秩与矩阵的秩的关系；熟练掌握用秩的概念刻划线性方程组的解的方法，理解关于线性方程组的解的结构的有关结果。(1) 理解n维向量的概念及它们间的线性运算；(2) 理解向量组的线性相关、线性无关的定义；(3) 熟练掌握通过解线性方程组判断向量组的线性相关性的方法；(4) 理解向量组的线性相关性的重要结论；(5) 了解一个向量组可由另一个向量组线性表示，以及两个向量组等价的概念；(6) 理解向量组的极大无关组以及向量组的秩的概念；(7) 熟练掌握求向量组的秩的方法，会求一些简单的向量组的极大无关组；(8

14、) 理解向量组的秩与向量组的线性相关性之间的关系；(9) 了解向量组的秩与矩阵的秩间的关系；(10) 了解经运算后的矩阵的秩与原矩阵的秩之间的关系。5、线性方程组要求：理解线性方程组的解与解之间的关系；熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法；熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法。(1) 理解cramer法则，熟练掌握用cramer法则求线性方程组的解的办法；(2) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件；(3) 理解非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解的充要条件；(4) 理解齐次线性方程组的解与解之间的关系；(5) 理解齐次线性方程组的基础解系的概念，理解基础解系中向量的个数的计算；(6)

15、 熟练掌握齐次线性方程组的基础解系及其通解的求法；(7) 理解非齐次线性方程组的解与其相应的齐次线性方程组的解之间的关系，并熟练掌握其通解的求法；(8) 会通过解线性方程组解决一些简单的数学问题及实际问题。6、相似矩阵和二次型要求：熟悉矩阵的特征值、特征向量的概念；熟练掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及相关的计算方法。(1) 理解矩阵的特征值、特征向量的概念；(2) 熟练掌握矩阵的特征值、特征向量的计算方法；(3) 理解有关矩阵的特征值、特征向量的重要结论；(4) 理解相似矩阵的概念；(5) 理解两个矩阵相似的必要条件，并会以此作相应的判断和计算；(6) 理解矩阵相似于对角阵的充分必要条件；(7) 当给定矩阵相似于对角阵时，熟练掌握计算相应的对角阵及相应的相似变换矩阵的方法，并会利用这些矩阵间的关系计算矩阵的方幂及多项式；(8) 理解向量的内积、长度及正交性，掌握schimidt正交化方法；(9) 掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；(10) 掌握二次型的矩阵的求法，理解二次型的标准形的概念，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；(11) 理解惯性定理；(12) 理解正定性概念，掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。二、考试范围