现代控制工程基础讲课件

1、现代控制工程基础讲1 现代控制工程基础现代控制工程基础 Fundamentals of Modern Control Engineering 谭跃刚谭跃刚 武汉理工大学机电工程学院武汉理工大学机电工程学院 现代控制工程基础讲2 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 主要参考文献：主要参考文献： （1）刘豹刘豹 主编：现代控制理论（第主编：现代控制理论（第2版）版）. （北京）机械工业出版社，（北京）机械工业出版社，2000年年 （2）郭雷）郭雷 主编：控制理论导论主编：控制理论导论. （北京）科学出版社，（北京）科学出版社，2005年年 （3）绪方胜彦）绪方胜彦 著，卢伯英著，卢伯英

2、 等译：现代控制工程（第等译：现代控制工程（第3版）版）.（北京）电子工业出（北京）电子工业出 版社，版社，2000年年 （4）Richard C.Dorf, Robert H.Bishop: Modern Control Systems. Published by Pearson Education Inc.,2001(科学出版社，英文影印版，科学出版社，英文影印版，2002年年) （5） Graham C.Goodwin, Stefan F.Graebe, Mario E.Salgado: Control System Design. Published by Pearson Educat

3、ion Inc.,2001(清华大学出版社，英文清华大学出版社，英文 影印版，影印版，2002年年) （6）韩京清）韩京清 等著：线性系统理论代数基础等著：线性系统理论代数基础.（沈阳）辽宁科学技术出版社，（沈阳）辽宁科学技术出版社，1987年年 （7）须田信英）须田信英 等著，曹长修等著，曹长修 译：自动控制中的矩阵理论译：自动控制中的矩阵理论. 科学出版社，科学出版社，1979年年 现代控制工程基础讲3 1.1.引言引言 2.2.线性系统理论线性系统理论 ( (状态空间分析法、可控性和可观性、状态空间分析法、可控性和可观性、 稳定性、反馈控制与状态观测器等稳定性、反馈控制与状态观测器等)

4、) 3.3.最优控制与应用最优控制与应用 4.4.最优估计理论与应用最优估计理论与应用 5.5.自适应控制与应用自适应控制与应用 6.6.鲁棒控制与应用鲁棒控制与应用 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲4 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 1.1 1.1 何为控制何为控制 对系统或对象施加作用或限制，使其达到或保持某种规定或要求的运对系统或对象施加作用或限制，使其达到或保持某种规定或要求的运 动状态。施加作用或限制的本质就是对系统的调节，其依据是给定任务动状态。施加作用或限制的本质就是对系统的调节，其依据是给定任务 目标和系统变化。因此，控制就是为

5、了实现任务目标给系统或对象的调目标和系统变化。因此，控制就是为了实现任务目标给系统或对象的调 节作用。这种调节作用是由系统或对象自身完成时，就是自动控制。节作用。这种调节作用是由系统或对象自身完成时，就是自动控制。 控制的基本要素：控制的基本要素： （1）控制对象或系统。要了解对象的性质，需建立或辨识系统模型）控制对象或系统。要了解对象的性质，需建立或辨识系统模型 （2）控制方法。确定适当的调节作用）控制方法。确定适当的调节作用 （3）反馈。检验和协调控制作用）反馈。检验和协调控制作用 控制理论控制理论基于这三个要素的综合，分析设计控制系统的原理和方法基于这三个要素的综合，分析设计控制系统的原

6、理和方法 1.1.引言引言 现代控制工程基础讲5 自动控制自动控制(Automation Control)(Automation Control) 在没有人直接参与的情况下，利用外加的在没有人直接参与的情况下，利用外加的 设备或装置设备或装置( (称为控制装置或控制器称为控制装置或控制器) )，使机，使机 器、设备或生产过程器、设备或生产过程( (称为被控对象称为被控对象) )的某个的某个 工作状态或参数工作状态或参数( (称为被控量称为被控量) )自动地按照预自动地按照预 定的规律运行。定的规律运行。 自动控制理论自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学 现现 代代 控控 制制 工工 程

7、程 基基 础础 现代控制工程基础讲6 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 控制的分类控制的分类 （1）按分析设计方法分：线性控制和非线性控制）按分析设计方法分：线性控制和非线性控制 （2）按参考输入信号分：常值控制和随动控制）按参考输入信号分：常值控制和随动控制 （3）按控制信号种类分：连续控制和离散控制（数字控制）按控制信号种类分：连续控制和离散控制（数字控制） （4）按控制方式分：开环控制和闭环控制）按控制方式分：开环控制和闭环控制 控制的基本要求控制的基本要求 （1）稳定性。这是控制系统正常工作的必要条件）稳定性。这是控制系统正常工作的必要条件 （2）响应特性。包括动态响应特

8、性和静态响应特性）响应特性。包括动态响应特性和静态响应特性 （3）可靠性和鲁棒性。对干扰和变化有很强的抑制作用和适应能力）可靠性和鲁棒性。对干扰和变化有很强的抑制作用和适应能力 （4）可控性和可观性。这是反馈控制的充要条件）可控性和可观性。这是反馈控制的充要条件 现代控制工程基础讲7 1.2 1.2 控制理论的基本分析设计方法控制理论的基本分析设计方法 传统控制理论（经典控制理论、现代控制理论）对问题处理的基本方传统控制理论（经典控制理论、现代控制理论）对问题处理的基本方 法和思路是：法和思路是：建立对象的数学模型，依此分析其性能是否满足控制性能建立对象的数学模型，依此分析其性能是否满足控制性

9、能 要求，不满足或某部分不满足时，就用某种方法进行修正补偿或进行综要求，不满足或某部分不满足时，就用某种方法进行修正补偿或进行综 合设计。合设计。 经典控制理论经典控制理论现代控制理论现代控制理论 研究对象研究对象单输入单输入/单输出系统单输出系统(SISO)多输入多输入/多数出系统多数出系统(MIMO) 描述方式描述方式传递函数（频率特性函数）传递函数（频率特性函数）状态方程（动态方程）状态方程（动态方程） 数学工具数学工具积分变换积分变换(拉普拉斯变换拉普拉斯变换)线性代数、矩阵论线性代数、矩阵论 分析方法分析方法频域法、根轨迹法频域法、根轨迹法时域法（状态空间法）时域法（状态空间法） 设

10、计方法设计方法 图形法、试凑法图形法、试凑法 (PID控制和校正装置控制和校正装置) 解析法解析法 (状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈) 共同点共同点基于对象模型的分析设计基于对象模型的分析设计 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲8 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 1.3 1.3 控制理论的产生与发展控制理论的产生与发展 按照控制系统分析设计方法和要求的不同，控制理论存按照控制系统分析设计方法和要求的不同，控制理论存 在经典控制理论和现代控制理论之分。一般来说，在经典控制理论和现代控制理论之分。一般来说，1960年年 代以前形成的控制理论属于

11、经典控制理论，其后形成的是代以前形成的控制理论属于经典控制理论，其后形成的是 现代控制理论。现代控制理论。 控制理论的产生和发展，主要源于控制理论的产生和发展，主要源于“(负负)反馈反馈”的概念。的概念。 “(负负)反馈反馈”的精髓是的精髓是“利用误差，纠正误差利用误差，纠正误差”，这就是，这就是 说反馈可以补偿任何原因引起的误差。因此，应用说反馈可以补偿任何原因引起的误差。因此，应用(负负)反反 馈可使系统在不确定性存在条件下达到要求的性能目标，馈可使系统在不确定性存在条件下达到要求的性能目标， 但是反馈又引出了系统的稳定性和响应特性等问题，对这但是反馈又引出了系统的稳定性和响应特性等问题，

12、对这 些问题的研究就成了控制理论的主要内容。些问题的研究就成了控制理论的主要内容。 现代控制工程基础讲9 控制理论所追寻的目标是控制理论所追寻的目标是“最优控制最优控制”，其概念是在，其概念是在 有限时间内实现性能函数极值化。这个问题的定量描有限时间内实现性能函数极值化。这个问题的定量描 述和求解就形成了现代控制理论的主要内容。述和求解就形成了现代控制理论的主要内容。 请参阅：中科院自动化所 王庆林：自动控制理论的早期发展历史. 自动 化博览，1996，No.5:22-25 () 反馈控制反馈控制和和最优控制最优控制是控制理论中两个独立又是控制理论中两个独立又 相互联系的主题。相互联系的主题。

13、 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲10 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 1.3.1 1.3.1 经典控制理论的产生和发展经典控制理论的产生和发展 经典控制理论也称为古典控制理论，其发展历史虽然经典控制理论也称为古典控制理论，其发展历史虽然从目从目 前公认的第一篇理论文章：前公认的第一篇理论文章：J.C.Maxwell在在1868年发表的年发表的 “论调节器论调节器(On Governors)”算起已有一百多年，但是控制的算起已有一百多年，但是控制的 思想和技术至少有几千年的历史。思想和技术至少有几千年的历史。 具有反馈控制原理的控制装置在古代就

14、有，其典型例子当具有反馈控制原理的控制装置在古代就有，其典型例子当 属古代的一种计时器属古代的一种计时器水钟水钟(在中国称为在中国称为“刻漏刻漏”或或“漏漏 壶壶”)。公元前三世纪的古埃及，亚历山大里亚城的。公元前三世纪的古埃及，亚历山大里亚城的 Ctesibius首先在水钟的受水壶中使用浮子，这个浮子的作用首先在水钟的受水壶中使用浮子，这个浮子的作用 就是节制注入的水，这种节制方式就包含了负反馈的思想。就是节制注入的水，这种节制方式就包含了负反馈的思想。 现代控制工程基础讲11 公元公元235年年(三国时期三国时期)的的 指南车，具有开环控制的指南车，具有开环控制的 思想思想 1086年年-

15、1090年年(北宋北宋)在开封建成的在开封建成的 “水运仪象台水运仪象台(天文钟天文钟)”，其动力装，其动力装 置就利用了由定水位漏壶流出的水置就利用了由定水位漏壶流出的水 加以控制，具有负反馈思想。加以控制，具有负反馈思想。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲12 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 18世纪，随着人们对动力的需求，各种动力装置成世纪，随着人们对动力的需求，各种动力装置成 为人们研究或关注的重点。为人们研究或关注的重点。 1750年，在风车中出现了具有反馈控制作用的年，在风车中出现了具有反馈控制作用的“扇扇 尾尾”装置。在这一时期蒸

16、汽机也取得突破发展，装置。在这一时期蒸汽机也取得突破发展，1765年年 俄国人发明了蒸汽机锅炉的水位自动调节器，俄国人发明了蒸汽机锅炉的水位自动调节器，1788年詹年詹 姆斯姆斯瓦特发明了蒸汽机的飞球调节器，这是反馈调节瓦特发明了蒸汽机的飞球调节器，这是反馈调节 器的一种最成功应用，使得蒸汽机工作速度更加均匀，器的一种最成功应用，使得蒸汽机工作速度更加均匀， 从而使蒸汽机得到了推广应用。但是，瓦特是一位实干从而使蒸汽机得到了推广应用。但是，瓦特是一位实干 家，他没有对调节器进行理论分析，后来的家，他没有对调节器进行理论分析，后来的 J.C.Maxwell应用微分方程分析了这个调节器的稳定问应用

17、微分方程分析了这个调节器的稳定问 题，从而开始了对反馈控制问题的理论研究。题，从而开始了对反馈控制问题的理论研究。 现代控制工程基础讲13 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 1. 1868年马克斯韦尔（马克斯韦尔（J.C.Maxwell）解决了蒸汽机调速系统中出现的 剧烈振荡的不稳定问题，提出了简单的稳定性代数判据。 2. 1895年劳斯（劳斯（Routh）与赫尔维茨（赫尔维茨（Hurwitz）把马克斯韦尔的思想 扩展到高阶微分方程描述的更复杂的系统中,各自提出了两个著名的 稳定性判据劳斯判据劳斯判据和赫尔维茨判据赫尔维茨判据。基本上满足了二十世纪初 期控制工程师的需要。 3.

18、1932年尼奎斯特（尼奎斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应频率响应 法法，为具有高质量的动态品质和静态准确度的军用控制系统提供了 所需的分析工具。 从19世纪中叶开始，反馈控制思想和方法经过几个重 要突破和发展，到20世纪中叶逐渐形成了经典控制理论的 体系。 现代控制工程基础讲14 4. 1942年H.Harris引入了传递函数概念，1948年伊万斯伊万斯 （W.R.Ewans）提出了复数域内研究系统的根轨迹法根轨迹法。 5. 1948年美国数学家维纳（维纳（N.Weiner）出版了控制控制 论论关于在动物和机器中控制与通讯的科学关于在动物和机器中控制与通讯的科学，为 控

19、制理论这门学科奠定了基础。 6. 我国著名科学家钱学森钱学森将控制理论应用于工程实 践，并于1954年出版了工程控制论工程控制论。 经典控制理论的主要特点：经典控制理论的主要特点： (1)单变量线性定常系统是主要研究对象 (2)频率法是研究控制系统动态特性的主要方法 (3)各种图表(Nichles图、Bode图、Nyquist曲线、根轨迹曲线、Roth表等) 是控制系统分析和综合的主要工具 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲15 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 从从20世纪世纪40年代到年代到50年代末，经典控制理论的发展与应年代末，经典控制理论

20、的发展与应 用使整个世界的科学技术水平出现了巨大的飞跃，几乎在用使整个世界的科学技术水平出现了巨大的飞跃，几乎在 工业、农业、交通运输及国防建设的各个领域都广泛地应工业、农业、交通运输及国防建设的各个领域都广泛地应 用了自动控制技术。用了自动控制技术。 钱学森曾从生产力，特别是技术革命的进程分析了控制钱学森曾从生产力，特别是技术革命的进程分析了控制 论的产生和发展，他认为论的产生和发展，他认为“我们可以毫不含糊地说，从科我们可以毫不含糊地说，从科 学理论的角度来看，学理论的角度来看，20世纪上半叶的三大伟绩是相对论、世纪上半叶的三大伟绩是相对论、 量子论和控制论，也许可以称它们为三项科学革命，

21、是人量子论和控制论，也许可以称它们为三项科学革命，是人 类认识客观世界的三大飞跃类认识客观世界的三大飞跃”。 现代控制工程基础讲16 1.3.2 1.3.2 现代控制理论的产生和发展现代控制理论的产生和发展 从从20世纪世纪50年代末开始，随着科学技术的发展和生产年代末开始，随着科学技术的发展和生产 实际的进一步需要，出现了多输入实际的进一步需要，出现了多输入/多输出控制系统、多输出控制系统、 非线性控制系统和时变控制系统的分析与设计问题。非线性控制系统和时变控制系统的分析与设计问题。 与此同时，近代数学的形成和数字计算机的出现为现与此同时，近代数学的形成和数字计算机的出现为现 代控制理论的建

22、立和发展准备了两个重要的条件。近代代控制理论的建立和发展准备了两个重要的条件。近代 数学为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；数字数学为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；数字 计算机为现代控制理论发展提供了分析和应用的平台。计算机为现代控制理论发展提供了分析和应用的平台。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲17 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 1. 50年代后期，贝尔曼（贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析 法，在1957年年提出了动态规则。 2. 1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理 论，1960年在控制系统的研

23、究中成功地应用了状态空间 法，并提出了可控性和可观测性的新概念。 3. 1961年Pontriagin（俄国人）提出了极小（大）值原理。 现代控制理论发展历程中的几个主要标志：现代控制理论发展历程中的几个主要标志： 现代控制工程基础讲18 4. 罗森布洛克罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯欧文斯（D.H.Owens） 和麦克法伦麦克法伦（G.J.MacFarlane）研究了适用于计算机辅 助控制系统设计的 现代频域法理论，将经典控制理论 传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函 数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建 立统一的线性系统理论奠定了基础。 5. 20世

24、纪70年代奥斯特隆姆奥斯特隆姆（瑞典）和朗道朗道（法国， L.D.Landau）在自适应控制理论自适应控制理论和应用方面作出了贡 献。此后，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统系统辨识、最优控制、离散时间系统 和自适应控制自适应控制获得了迅速发展。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲19 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 6. 从20世纪70年代末开始，控制理论向着“大系统理论”、 “智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发展： l 大大 系系 统统 理理 论：论：以控制论和信息论的观点，研究各种 大系统的结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问

25、题的技术基础理论。 l 智能控制理论：智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信 息传递过程的规律，研究具有某些拟人智能 的工程控制 与信息处理系统的理论。 l 复杂系统理论：复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的 范筹，以解决复杂系统的控制为目标。 现代控制工程基础讲20 现代控制理论形成的标志： (1)用于多输入/多输出系统表述的状态空间法 (2)Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划 (3)随机系统理论中的Kalman滤波技术 现代控制理论的主要特点： (1)以多变量系统(线性和非线性)为研究对象 (2)以时域法(特别是状态空间法)为主要研究方法 (3)以

26、近代数学为主要分析手段 (4)以计算机为主要分析、设计工具 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲21 系统的复杂性：系统的复杂性：模型和参数的时变性、信息的不完模型和参数的时变性、信息的不完 整性、行为的不确定性、离散事件和连续事件的混整性、行为的不确定性、离散事件和连续事件的混 杂性、动力学的高度非线性、状态变量的高维性和杂性、动力学的高度非线性、状态变量的高维性和 分布性、各子系统之间的强耦合性分布性、各子系统之间的强耦合性 现代控制理论研究的主要问题：现代控制理论研究的主要问题： 高性能、高精度的多变量参数系统的最优控制 现现 代代 控控 制制 工工 程程

27、基基 础础 现代控制工程基础讲22 现代控制理论已经形成的分支：现代控制理论已经形成的分支： 最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制、预测控制、最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制、预测控制、 鲁棒控制、预见控制等。鲁棒控制、预见控制等。 最优控制最优控制线性二次型调节和跟踪。线性二次型调节和跟踪。 系统辨识系统辨识以系统输入输出数据来确定其模型的过程。以系统输入输出数据来确定其模型的过程。 自适应控制自适应控制以系统自动辨识为基础，自动调整控制规律以系统自动辨识为基础，自动调整控制规律 控制系统的发展趋势是控制系统的发展趋势是多层次多任务和高精确高速响应多层次多任务和高精确

28、高速响应，这也使得，这也使得 控制系统越加复杂化。因此，产生了控制系统的复杂性与控制方法的有控制系统越加复杂化。因此，产生了控制系统的复杂性与控制方法的有 效性这一问题。效性这一问题。 控制系统复杂性的主要表现是：控制系统复杂性的主要表现是：非线性、时变性、不确定性、高维非线性、时变性、不确定性、高维 性、分布性、耦合性等。性、分布性、耦合性等。控制系统的复杂性所引出的突出问题是：控制系统的复杂性所引出的突出问题是：难以难以 准确建立系统模型。准确建立系统模型。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲23 对此，人们从二个方面展开研究： （1）提高系统的鲁棒性）提高

29、系统的鲁棒性(Robust)。衡量控制系统鲁棒性的一个重要指标是。衡量控制系统鲁棒性的一个重要指标是 “灵敏度灵敏度”，它表示系统（参数）变化引起的系统模型的相对变化。这灵，它表示系统（参数）变化引起的系统模型的相对变化。这灵 敏度的绝对值越小就意味着系统模型对系统（参数）的变化越不敏感。敏度的绝对值越小就意味着系统模型对系统（参数）的变化越不敏感。 主要方法是基于频率域的分析方法，即在设计中增加一项灵敏度减小主要方法是基于频率域的分析方法，即在设计中增加一项灵敏度减小 的要求。进一步发展形成了的要求。进一步发展形成了H控制。控制。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程

30、基础讲24 （2）智能控制）智能控制 传统控制方法虽然解决了生产生活中的许多实际控制问题，但传统控制方法虽然解决了生产生活中的许多实际控制问题，但 是仍然还存在不少的问题和实际应用的困难。这些问题和困难的主是仍然还存在不少的问题和实际应用的困难。这些问题和困难的主 要表现就是：要表现就是：基于对象（系统）模型的控制方法与其不确定性的矛基于对象（系统）模型的控制方法与其不确定性的矛 盾。盾。 智能控制是以人工智能的推理、启发、学习等为基础的拟人的智能控制是以人工智能的推理、启发、学习等为基础的拟人的 一种控制方法，其基本思想是立足于控制器的分析和设计，而不论一种控制方法，其基本思想是立足于控制器

31、的分析和设计，而不论 对象（系统）是已知还是未知。因此，这是一种基于控制器模型的对象（系统）是已知还是未知。因此，这是一种基于控制器模型的 控制方法。控制方法。 从控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由从控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由 机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲25 1.4 1.4 经典控制理论与现代控制理论的主要特点经典控制理论与现代控制理论的主要特点 经典控制理论和现代控制理论虽然各自有不同的发

32、展背景和理论体经典控制理论和现代控制理论虽然各自有不同的发展背景和理论体 系，但是二者的联系十分紧密，在应用上不存在谁一定优于谁的问题。系，但是二者的联系十分紧密，在应用上不存在谁一定优于谁的问题。 它们的主要特点是它们的主要特点是: : 经典控制理论的主要特点经典控制理论的主要特点现代控制理论的主要特点现代控制理论的主要特点 优优 点点 （1）易于获得系统的频率特性，其性能参）易于获得系统的频率特性，其性能参 数的可比性强数的可比性强 （2）可用解析式表达系统的特性参数与性）可用解析式表达系统的特性参数与性 能指标之间的关系能指标之间的关系 （3）图形法分析设计的目标性强，易于掌）图形法分析

33、设计的目标性强，易于掌 握握 优优 点点 （1）适于多变量）适于多变量(线性和非线性线性和非线性)系统系统 （2）时域分析法的直观性强，有的时域参）时域分析法的直观性强，有的时域参 数可直接反映系统的性能数可直接反映系统的性能 （3）可以获得系统设计的最优解或最优参）可以获得系统设计的最优解或最优参 数值数值 （4）确立了系统的可控性和可观性）确立了系统的可控性和可观性 缺缺 点点 （1）局限于线性定常的单输入单输出系统）局限于线性定常的单输入单输出系统 （2）图形分析设计法依赖于使用者的）图形分析设计法依赖于使用者的 经验，不易获得系统的最优控制经验，不易获得系统的最优控制 （3）试凑法设计

34、的直观性较弱）试凑法设计的直观性较弱 缺缺 点点 （1）系统的鲁棒性较弱）系统的鲁棒性较弱 （2）主要限于线性系统）主要限于线性系统 （3）控制目标单一）控制目标单一 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲26 数学基础数学基础矩阵矩阵 矩阵矩阵的定义：以实数、复数、函数或算子等为元素组成的的定义：以实数、复数、函数或算子等为元素组成的n行行m列的列的 矩矩 形阵列，称之为形阵列，称之为n m矩阵。一般表示为矩阵。一般表示为 nmn m mn ij aa aa aA 1 111 向量：向量：只有一列或一行的矩阵，分别称为列向量和行向量。具有只有一列或一行的矩阵，分别

35、称为列向量和行向量。具有n个元个元 素的列向量和行向量，分别称为素的列向量和行向量，分别称为n维列向量和行向量。维列向量和行向量。 方阵：方阵：行数和列数相同的矩阵，称为方阵或行数和列数相同的矩阵，称为方阵或n阶矩阵。此时，元素阶矩阵。此时，元素aii称称 为为n阶矩阵的主对角线元素。阶矩阵的主对角线元素。 对角线矩阵：对角线矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为零的方阵，称为对角除主对角线元素外，其余元素都为零的方阵，称为对角 线矩阵，一般记为线矩阵，一般记为 nn nn a a a aadiagA 00 0 0 00 22 11 11 一、基本概念一、基本概念 现现 代代 控控 制制 工工

36、程程 基基 础础 现代控制工程基础讲27 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 单位矩阵：单位矩阵：主对角线上元素都为主对角线上元素都为1的的对角线矩阵对角线矩阵，称为单位矩阵，称为单位矩阵。 矩阵的行列式：矩阵的行列式：每一个每一个n阶矩阵阶矩阵都存在一个对应的行列式，这个行列式都存在一个对应的行列式，这个行列式 称为矩阵的行列式，或称为矩阵的行列式，或n阶行列式。一般记为阶行列式。一般记为 nnn n aa aa AA 1 111 det 例：二阶行列式和三阶行列式分别是 21122211 2221 1211 detaaaa aa aa AA102)3(14 12 34 1221

37、33113223312213122331133221332211 333231 232221 131211 detaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa AA 27)5(2127)7(27) 1(13)5(2713)7(212) 1(7 1277 212 1357 现代控制工程基础讲28 u从从n阶行列式阶行列式detA中任取中任取k行行k列列(1kn)，由这，由这k行行k列交点处的元列交点处的元 素构成的素构成的k阶行列式，称为行列式阶行列式，称为行列式detA的的k阶子式阶子式，一般记为，一般记为Mk。特。特 别地，当别地，当k=1时，子式时，子式Mk就是行列式就是行

38、列式detA中的一个元素中的一个元素aij。若所取。若所取k 行行k列是行列式列是行列式detA中行数序号与列数序号相同的中行数序号与列数序号相同的k行行k列，则构成的列，则构成的 k阶子式称为行列式的阶子式称为行列式的主子式主子式。 u行列式行列式detA划去划去k行行k列后得到的列后得到的(n-k)阶行列式，称为阶行列式，称为k阶子式阶子式Mk 的的余子式余子式，一般记为，一般记为Nk；元素；元素aij的余子式记为的余子式记为Nij。下式为子式。下式为子式Mk 的的 代数余子式代数余子式。 k ji k NA k q q k q q 11 ) 1( ij ji ij NA ) 1( 元素a

39、ij的代数余子式 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲29 u在在n阶行列式阶行列式detA中任取中任取k(1 k n)行（或列），那么这行（或列），那么这k个行个行 （或列）中所有的（或列）中所有的k阶子式阶子式Mk与其各自的代数余子式与其各自的代数余子式Ak的乘积之和的乘积之和 等于该行列式等于该行列式detA，即，即 kk AMAAdet un阶行列式阶行列式detA的某一行（或列）中各元素与其代数余子式的某一行（或列）中各元素与其代数余子式Aij的的 乘积之和等于该行列式乘积之和等于该行列式detA，即，即 ), 1(det 1 niAaAA n j ij

40、ij 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲30 例： 3351 1102 4315 2113 det AA 2阶子式 24 51 15 2 M 3351 1102 4315 2113 det AA 2阶主子式 1 10 31 2 M 2阶余子式 1 11 21 2 N 24 51 15 2 M 的代数余子式1) 1() 1() 1( 2 )21()42( 2 NA a32的代数余子式 8 331 435 213 ) 1( 23 32 A 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲31 detA的前二行中的所有2阶子式 2 43 21 , 6

41、 41 21 , 4 31 11 2 45 23 , 4 35 13 , 8 15 13 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 MMM MMM detA的前二行中的所有2阶代数余子式 10 51 02 ) 1(, 5 31 12 ) 1(, 5 31 12 ) 1( 5 35 10 ) 1(, 5 35 10 ) 1(, 0 33 11 ) 1( )43()21 (6 2 )42()21 (5 2 )32()21 (4 2 )41 ()21 (3 2 )31 ()21 (2 2 )21 ()21 (1 2 AAA AAA 40)10()2()5()6()5(45)2(5408det

42、6 1 22 i ii AMAA 行列式detA就为 3351 1102 4315 2113 det A 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲32 行列式的性质行列式的性质 常数常数k与行列式与行列式detA中某一行中某一行(或列或列)的各元素相乘等于该常数与行列式相乘。即的各元素相乘等于该常数与行列式相乘。即 因此，对于因此，对于nn矩阵矩阵A，有，有 如果行列式中任意两行如果行列式中任意两行(或两列或两列)互换，则行列式只改变符号互换，则行列式只改变符号。因此，当行列式。因此，当行列式 中有两行中有两行(或两列或两列)的所有元素对应相同时，则该行列式为零；当行

43、列式中有两的所有元素对应相同时，则该行列式为零；当行列式中有两 行行(或两列或两列)的所有元素对应成一个比例，则该行列式为零。的所有元素对应成一个比例，则该行列式为零。 如果行列式中某一行如果行列式中某一行(或一列或一列)的所有元素都为零，则该行列式为零的所有元素都为零，则该行列式为零。 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(或某一列或某一列)的各元素加上另一行的各元素加上另一行(或另一列或另一列)的常数倍，该的常数倍，该 行列式保持不变行列式保持不变。 两个两个nn矩阵矩阵A、B相乘的行列式等于各自行列式的乘积。即相乘的行列式等于各自行列式的乘积。即 AkkAorAkkA nn det)de

44、t( nnnjn nj nnnjn nj nnn ini n nnn ini n aaa aaa k akaa akaa or aa aa aa k aa kaka aa 1 1111 1 1111 1 1 111 1 1 111 BABA 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲33 奇异矩阵和非奇异矩阵：如果方阵如果方阵A所对应的行列式为零，就称这所对应的行列式为零，就称这 个方阵个方阵A为奇异矩阵；否则，称为非奇异矩阵。为奇异矩阵；否则，称为非奇异矩阵。 转置矩阵：nm矩阵矩阵A的行与列交换得到的的行与列交换得到的mn矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A的的 转置矩阵，一

45、般记为转置矩阵，一般记为AT。因此，。因此，A=(AT)T。 对称矩阵：如果方阵满足如果方阵满足A=AT，则称方阵，则称方阵A为对称矩阵。为对称矩阵。 反号对称矩阵：如果方阵如果方阵A满足满足A=-AT，则称方阵，则称方阵A为反号对称矩阵。为反号对称矩阵。 共轭矩阵：如果矩阵如果矩阵A的元素用它们的共轭数代替，所构成的矩阵的元素用它们的共轭数代替，所构成的矩阵 称为矩阵称为矩阵A的共轭矩阵，一般记为的共轭矩阵，一般记为 。转置矩阵的共轭矩阵，称为。转置矩阵的共轭矩阵，称为 共轭转置矩阵，一般记为共轭转置矩阵，一般记为A* A 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 特殊矩阵特殊矩阵 现

46、代控制工程基础讲34 正定矩阵：正定矩阵：方阵方阵A的所有主子行列式都为正数，则方阵的所有主子行列式都为正数，则方阵A称为正定矩阵。称为正定矩阵。 正交矩阵：正交矩阵：若方阵若方阵A满足满足AAT=ATA=I(单位矩阵单位矩阵)，则称方阵，则称方阵A是正交矩阵。是正交矩阵。 逆矩阵：逆矩阵：对于方阵对于方阵A，若存在方阵，若存在方阵B满足满足AB=BA=I，则，则B是方阵是方阵A的逆矩的逆矩 阵，一般记为阵，一般记为A-1=B，即有，即有 AA-1=A-1A=I。对于正交矩阵有。对于正交矩阵有AT=A-1 伴随矩阵：伴随矩阵：用矩阵用矩阵A中各元素的代数余子式中各元素的代数余子式Aij代替该元

47、素所构成的矩阵的代替该元素所构成的矩阵的 转置矩阵，称为矩阵转置矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵，一般记为的伴随矩阵，一般记为adjA。 正规矩阵正规矩阵: 一个复矩阵和它的共轭转置的乘积可以交换次序，也就是乘积一个复矩阵和它的共轭转置的乘积可以交换次序，也就是乘积 结果和次序没有关系，称这个矩阵是正规矩阵结果和次序没有关系，称这个矩阵是正规矩阵(normal matrix) 正则矩阵正则矩阵: 由正交的特征向量构成的矩阵称为正则矩阵由正交的特征向量构成的矩阵称为正则矩阵(regular matrix) 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲35 二、矩阵的基本运算 若有

48、矩阵若有矩阵A=(aij)、B=(bij)、C=(cij)，且，且k为常数，则有为常数，则有 AB=(aijbij)，即矩阵的代数和是一个矩阵，其元素是原矩阵对即矩阵的代数和是一个矩阵，其元素是原矩阵对 应元素之间的代数和。应元素之间的代数和。 kA=(kaij)，即常数与矩阵的乘积是一个矩阵，其元素是常数与原即常数与矩阵的乘积是一个矩阵，其元素是常数与原 矩阵中所有元素的乘积。矩阵中所有元素的乘积。 矩阵的矩阵的秩秩：若矩阵：若矩阵A的某个的某个mm子矩阵子矩阵M的行列式不为零，而其的行列式不为零，而其 他每个他每个rr子矩阵子矩阵(rm+1)的行列式都为零，则称矩阵的行列式都为零，则称矩阵

49、A的秩为的秩为m， 记为记为rankA=m。矩阵的秩是矩阵中线性独立行。矩阵的秩是矩阵中线性独立行(列列)向量数目的最大向量数目的最大 值。值。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲36 ), 1;, 1()( 1 mjnibacCAB p l ljilij 矩阵的乘法：矩阵相乘只有前一矩阵的列数与后一矩阵的矩阵的乘法：矩阵相乘只有前一矩阵的列数与后一矩阵的 行数相同时才有意义，即行数相同时才有意义，即 矩阵乘法适用于结合律和分配律：矩阵乘法适用于结合律和分配律： (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC。 但是，一般情况下有但是，一般情况下有ABBA。

50、矩阵的代数和与乘积的转置：矩阵的代数和与乘积的转置： (AB)T=ATBT，(AB)T=BTAT，(AT)T=A 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲37 对于方阵对于方阵A，若，若|A|0，则则A-1存在，且有存在，且有A-1=adjA/|A| 例： 301 213 021 A 017 301 213 021 det A 721 237 463 13 21 ) 1( 23 01 ) 1( 21 02 ) 1( 01 21 ) 1( 31 01 ) 1( 30 02 ) 1( 01 13 ) 1( 31 23 ) 1( 30 21 ) 1( 332313 3222

51、12 312111 T adjA IAadjAA 100 010 001 17 1700 0170 0017 721 237 463 301 213 021 )( 721 237 463 17 1 1 A adjA A (A-1)-1=A，(A-1)T=(AT)-1 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲38 三、矩阵变换 矩阵矩阵A的下列变换，称为的下列变换，称为A的初等变换的初等变换： (1) A的任意两行或两列互换；的任意两行或两列互换； (2)用非用非 零数乘零数乘A的一行或一列；的一行或一列； (3)用一个数乘用一个数乘A的一行的一行(一列一列)加到另一行

52、加到另一行(另一列另一列)上。上。 若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换成为矩阵经过有限次初等变换成为矩阵B，则称矩阵，则称矩阵A和矩阵和矩阵B等价，一般记等价，一般记 为为A B。 满秩矩阵可以由同型的单位矩阵经过有限次的初等变换得到满秩矩阵可以由同型的单位矩阵经过有限次的初等变换得到。因此，满秩。因此，满秩 矩阵乘以矩阵矩阵乘以矩阵A，就等价于对矩阵，就等价于对矩阵A进行初等变换。用满秩矩阵左进行初等变换。用满秩矩阵左(或右或右)乘乘 矩阵矩阵A就等价于对矩阵就等价于对矩阵A作有限次的行作有限次的行(或列或列)初等变换。初等变换。 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩。这说明：一个矩阵

53、。这说明：一个矩阵A乘以一个满秩矩阵后得到的乘以一个满秩矩阵后得到的 矩阵与矩阵矩阵与矩阵A的秩相同。因此，对于两个同型的具有相同秩的矩阵的秩相同。因此，对于两个同型的具有相同秩的矩阵A、B， 必存在满秩矩阵必存在满秩矩阵P和和Q，使得，使得B=PAQ。 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得，使得P-1AP=B，则矩阵，则矩阵A与矩阵与矩阵B相似，记为相似，记为AB。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲39 四、矩阵的特征多项式和特征值 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，行列式，行列式|sI-A|是关于变量是关于变量s的的n次多项式，称为矩阵次多项式，称为矩阵A 的

54、的特征多项式特征多项式。对应的代数方程。对应的代数方程|sI-A|=0就称为矩阵就称为矩阵A的的特征方程特征方程， 其根称为矩阵其根称为矩阵A的的特征值特征值。 若若n阶矩阵阶矩阵A具有互不相同的特征值具有互不相同的特征值s1, ,sn，就必存在满秩矩阵，就必存在满秩矩阵P(如正如正 则矩阵则矩阵)使得使得P-1AP为对角线矩阵，即为对角线矩阵，即P-1AP=diag(s1, ,sn); 如果如果n阶矩阵阶矩阵 A中包含有相同的特征值，就必存在满秩矩阵中包含有相同的特征值，就必存在满秩矩阵P使使P-1AP成为约当标准成为约当标准 型矩阵。型矩阵。 设设n阶矩阵阶矩阵A=(aij)，其，其n个特

55、征值为个特征值为s1, ,sn，那么有，那么有 若若n阶矩阵阶矩阵A的一个特征值为的一个特征值为i(i=1, ,n)，则对应的特征向量，则对应的特征向量Pi (列列 向量向量)满足满足Pii=APi (i=1, ,n)。将。将n个特征向量构成的矩阵个特征向量构成的矩阵P称为称为特征特征 矩阵矩阵，且满足，且满足P-1AP=diag(1 2 n)，或为，或为P=AP。 Asss aaass n nnn 21 22111 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲40 五、线性方程组的解 (1) 定常线性代数方程组的矩阵形式为：定常线性代数方程组的矩阵形式为： AX=C 其

56、中其中ARm n ， ，XRn ，CRm。矩阵矩阵A称为方程组的系数矩阵，矩阵称为方程组的系数矩阵，矩阵 B=A C称为方程组的增广矩阵。该方程组解的情况是：称为方程组的增广矩阵。该方程组解的情况是： (1)当当rank(A)=rank(B)=n时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解 (2)当当rank(A)rank(B)时，方程组无解时，方程组无解 (3)当当rank(A)=rank(B)n时，方程组有无穷多解时，方程组有无穷多解 特别地特别地 在在m=n，且，且|A|0时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。 当当C=0，即齐次方程组，即齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充

57、分必要条件是rank(A)n。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲41 u线性方程线性方程AX=C（ARm n； ；CRm ）在）在mn和和rand(A)=m时，有时，有 无穷多个解，其中的最小范数解为无穷多个解，其中的最小范数解为 X=AT(AAT)-1C 欧氏范数定义为：欧氏范数定义为：|X|=(XTX)1/2 u线性方程线性方程AX=C（ARm n； ；CRm ）在）在nm和和rand(A)=n时，方程时，方程 的最小二乘解为的最小二乘解为 X= (AAT)-1ATC 最小二乘解就是最小二乘解就是(AX-C)的欧氏范数。的欧氏范数。 现现 代代 控控 制制 工工 程程 基基 础础 现代控制工程基础讲42 例：求x+2y+3z=1平面上距离坐标原点最短的点的坐 标和最短距离的大小。 解： x+2y+3z=1 1321 z y x A=1 2 3, C=1X=AT(AAT)-1C=1/14 2/14 3/14T 27. 0 14 3 14 2 14 1 2/1 222 X 现现 代代 控控