不定积分求解方法及技巧小汇总精品

1、不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一不定积分的概念与性质定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的X，I，有F(x)=f(x)dx则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F (x),使得F (x) =f(x) (xG)简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝U(1) F (x) +C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任

2、意函数；(2) f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数 F (x) +C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 f(x)d(x),即.f(x)d(X)=F(X)+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质 1 设函数 f(x)和 g(x)存在原函数，则.f(x) - g(x)dx= . f(x)dx- . g(x)dx.性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝Ukf(x)dx=k . f(x)dx.二.换元积分法的定理如果不定

3、积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f(x):( (x).做变量代换u= (x),并注意到(x) dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量 u的积 分，于是有 g(x)dx= f : (x):( (x)dx= f(u)du.元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式f : (x) : (x)dx二 f(u)du=F(u)+C=F : (x)+C.第一类换元法是通过变量代换u= (x)，将积分 f (x): (x)dx化为 f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，

4、将积分 f(x)dx化为f:(t).在求出后一积分之后，再以 x=的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即f(x)dx= f(t)dtti(x).为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=-1(x)存在的条件，给出下面的定理。定理2设X= 是单调，可导的函数，并且( t) = 0.又设f : (t): (t)具有原函数 F (t),则 f(x)dx= f:(t)dt=F(t)+C=FH： _1(x)+C其中 (x)是 x= ( t)的反函数。三常用积分公式1基本积分公式(1)kdx=kx+C(k 是常数);u 1xxudx= +C(u = -1);u +1(3)J

5、浜=1 n x +C;x(4)dx 2 =arctanx+C;1 x2J /x? =a聞x+C;cosxdx=s in x+C;(11)(13)sin xdx=-cosx+C ;dx-2sin x(8)2csc xdx=-cotx+C;cscxcotxdx=-cscx+C;(12)(10)a x dx= e x +C;(14)dx2cos xsec xdx=tanx+C;secxta nxdx=secx+C;r x .x _e dx= e +C;shxdx=chx+C;(23) r . dx=ln X +Jx2 - a2 +C.vx -a2.凑微分基本类型积分类型换元公式第一类换元积分法二一J

6、f(ax+b)d(ax-b) (a 工 02 J f(xxdx 二丄 J* 0)5j /(沪)心心=金6 J /(In x) - Xdv = Jnx7.J芒上)v工必：=J f(ex松8 J /(sin x)-cosxdx = /(sin x)dsin xJ /(cosx)sin xdx - -J / (f os-vu- ax u-xit 4x g丄xna n - In x n ex u -sinx a = cos A(17) cotxdx=ln sinx +C;(18)f secxdx=ln secx+ tanx +C；(19)cscxdx=ln CSCXCOtx+C;(20)dxx(21)

7、=arcsin +C;(22) Ja2 _x2adxa2 x2= -lnax - a再；dxa2x2=l n(x+x2 a2 +C;| f(iaux)sex*xdx = J /(tan,v)rf tan xu =tan,vJ/(cotxX-s= - J f(cotx)d cotxft =cotx9jsin /Hxcos/rvitv利用积化和羞 公武进行变换jsin fftvsin nxdxjcosnixcQsnxdx10iJsuiMxdv用公戎r1 sin2 a- = citirAj cos xdx m 为奇数) ll-Jsinxrfx1?tfx2x = sin2 a 进行变换化为倍角的三角函

8、Jcosmxdx (卿为偶数)数降壽后再积分12 J / (arctan.v) dx = J /(arctanx)rf(arctaiix)a = Cretan xj /(arcsin x)-dx - J /(arcs i n x)rf(a resin a )tt = arcsin.v四.解不定积分的基本方法四.求不定积分的方法及技巧小汇总1利用基本公式。(这就不多说了 )2.第一类换元法。(凑微分) 设f(卩)具有原函数F(卩)。贝U.f(x) (x)dxf ：(x)d(x)=F ：(x) C其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做

9、准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:ln( x 1)In x例 1:dx x(x 十1)【解】(In(x 1)-1 nx)y1 1x x(x 1)ln( x1)_l nx12dx 二-(In(x 1) -In x)d(In(x 1) - In x) (In(x 1) Tn x) C x(x 1)211 n x , 例 2:2dx(xln x)【解】(xlnx)T Inx1 l n x ,2 dx = x(x 1)dxl n x1-C(xln x)xln x3.第二类换元法:设x =护(t)是单调、可导的函数，并且

10、=0又设f (t) (t)具有原函数,则有换元公式f(x)dx 二 f :(t)b：,(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。 用。主要有以下几种：常见的变换形式需要熟记会(1) ,a2 -x2： x = asint；(2) . x2 a2: x = ata nt；(3) x2a2： x = asect；x = a costx = a csct ；x = ashtx 二 acht(4)n. ax b： ax b 二 tax b(6)当被积函数含有x习ax2 + bx + c,有时倒代换1x 也奏效。t4.分部积分法.公式： 小.=皿-Jd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积

11、分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取 人时，通常基于以下两点考虑:(1) 降低多项式部分的系数(2) 简化被积函数的类型 举两个例子吧！3例 3： fx arccosxdx【解】观察被积函数，选取变换t二arccosx,则x3 arccosxcof tdxt(-sint)dt 二 -1 cos3 tdt 二1 -X2sint213t(sin2t -1)dsint = jtd(-sin3t sint)=131 3tsin _tsint 一(；sin t_sint)dt 口13tsin 3-ts int3hsin3-tsint -313x9.1 31 2(sin2t-1)dcost =2 13

12、costcos t C -3 92 122x (x 2) 1-x arccosx C3 3解例 4：arcs in2 xdx2 2 1arcsin xdx 二 xs in x- x2 arcsin xdx11 x222 dx = d - x2xarcsin x 亠 i 2 arcs in xd、1 - x2 =xarcsin x 2、1 - x2 arcsin x -. 1 - x22xarcsin x 2、1 -x arcs in x -2x C上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在小=小中，的选取有下面简单的规律：(1

13、) -Pm(x)， - eax,sin ax,cosax(2) =ln x,arctanx,arcsinx，二 Pm(x)(3) J =eax，=cos x,sin x(3) 会出现循环，注意选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnx arcsinx)Pm(x(aAxsinx)1)但是,当=lnx,二arcsinx时，是无法求解的。对于(3)I1情况，有两个通用公式：e*x二 eaxsinbx dx = 22 (asin bx-bcosbx) Ca +baxe2 (a cosbx bsinbx) Ca b二 eaxcosbx dx 二5.几种特殊类型函数的积分(1)有理函数的积分有

14、理函数 竺先化为多项式和真分式 F*凶之和,Q(x)Q(x)再把誇分解为若干个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂出现 I时，记得用递推公式：Ix2n -3.、一+I )n222n/2n2a2(n -1)(x2 a2)2a2(n -1)n_1例 5：X6 xj2 %xx3(x21)2解64,2c64x x -4x -2 x x3 /2丄八2x (x 1)-x3(x21)24x22x3(x21)2x4x2 223,22x 1 x (x 1) dx =1 ln(x2x2 124x2 +2 d =x3(x21)2 x x4(x2 1)1) C4x2 24 z 222x2 1Xdxx4(x

15、2 1)2dx2=x2故不定积分求得。 .12(.1)2(丄J2(门)2)222厂-2(1)21 1)d C =x2(x21) C(2)三角函数有理式的积分万能公式:2ta nsin x21 +ta n2 21 -tan2 仝 cosx21 +ta n2 2P(sin x,cosx)dx可用变换t=tan仝化为有理函数 的积分,Q(sin x, cos x)2但由于计算较烦,应尽量避免对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成沁或妙。再用待定系数cosx sin x来做。A(acosx bsinx) B(acosx bsinx)acosx bsin x(3)简单无理函数的积分般用第二类换元法中的那些变换形式像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现.x和 , 1 x 时，可令 x 二 tan21 ；同时出现、x和J -x时，可令 x =sin21 ； 同时出现.1 - x2和 arcs i