专题04命题定理定义（四大题型）

专题04命题、定理、定义【题型归纳目录】题型一：命题的概念题型二：命题真假的判断题型三：命题的结构形式题型四：根据命题的真假求参数【知识点梳理】知识点一：命题1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题．3、分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句命题的结构：（1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．（2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．知识点二：定理、定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．【典例例题】题型一：命题的概念例1．（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（

）A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【答案】D【解析】命题是能判断真假的陈述句，由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，②④无法判断真假，故不是命题，①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D例2．（2023·高一课时练习）给出下列语句：①．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合中的元素．其中是命题的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，①不能判断真假，不是命题；③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；④是祈使句，不是命题；⑤是感叹句，不是命题．故选：A例3．（2023·江苏·高一专题练习）下列语句为命题的是（

）A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等【答案】D【解析】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D变式1．（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（）A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思【答案】A【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题；对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题；对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.故选：A.变式2．（2023·江苏·高一专题练习）下列语句是命题的是（

）（1）；（2）画线段；（3）；（4）A．（1），（2） B．（3），（4） C．（2），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）【答案】B【解析】由可以判断真假的陈述句为命题，可知（1）、（2）不能判断真假，（3）、（4）判断为假，所以（3）、（4）是假命题；故选：B变式3．（2023·高一单元测试）下列语句中不是命题的有（

）①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【解析】能判断真假的陈述句是命题，由此可知：①④没有的范围，故不能判断真假，故①④不是命题；②是疑问句，故不是命题；③是陈述句，且错误，故是命题；故选：C.题型二：命题真假的判断例4．（2023·高一课时练习）下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程的判别式大于0;④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于③，方程的判别式为，故正确，对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于⑤，,故正确;故选：C．例5．（2023·广西贺州·高一校考阶段练习）下列命题中假命题的个数是（

）（1）有四个实数解（2）设a，b，c是实数，若二次方程无实根，则ac≥0（3）若，则x≠2A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误；在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确；在（3）中若，则且，即x≠2成立，故（3）正确；故选：C.例6．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）下列命题中，真命题的是（

）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【解析】对于A,如图,四边形中,,但对角线互相垂直,所以A错误;对于B,菱形的对角线互相垂直且平分,所以B错误;对于C,等腰梯形的对角线相等,所以C错误;对于D,根据平行四边形的判定定理,对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以D正确.故选:D.变式4．（2023·江苏连云港·高一统考期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意；假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题；综上，只有命题乙为假命题，符合题意.故选：B.变式5．（2023·江苏扬州·高一期末）下列命题中的真命题是（

）A． B．集合中最小的数是1C．的解集可表示为 D．【答案】A【解析】显然成立，故A正确；集合中最小的数是0，故B错误；根据集合元素的互异性可知C错误；当或时，显然不成立，故D错误.故选：A题型三：命题的结构形式例7．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．（1）6是12和18的公约数；（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；（3）平行四边形的对角线互相平分．【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数．（2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根．（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分.例8．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；（3）两个无理数的和是无理数；（4）乘积为正数的两个数同号；（5）两个奇数的和是偶数；（6）矩形的四个角相等；（7）等腰三角形的两个底角相等；（8）直径所对的圆周角是直角.【解析】（1）在平面内，若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行；（2）若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行；（3）若两个数是无理数，则它们的和是无理数；（4）若两个数的乘积为正数，则这两个数同号；（5）若两个数是奇数，则它们的和是偶数；（6）若一个四边形为矩形，则它的四个角相等；（7）若一个三角形为等腰三角形，则它的两个底角相等；（8）若圆的弦为直径，则它所对的圆周角是直角.例9．（2023·高一课时练习）写出下列命题的条件与结论.（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.【解析】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：两个三角形全等结论：这两个三角形的对应高相等（2）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等结论：这两个三角形全等（3）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：一个四边形是菱形结论：这个四边形的四边相等（4）由题意，根据命题的“若，则”形式条件：两条直线被一组平行线所截结论：所得的对应线段成比例变式6．（2023·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）绝对值相等的数也相等；（2）矩形的对角线相等；（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；（4）两角分别相等的两个三角形相似.【解析】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式：若两个数的绝对值相等，则它们也相等；（2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式：若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等；（3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式：若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等；（4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似．题型四：根据命题的真假求参数例10．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．【解析】∵

命题为真命题，∴

或又命题为假命题，∴

或，∴

或．所以实数的取值范围为．例11．（2023·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考阶段练习）已知，：关于的方程有实数根.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围.【解析】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即，∴若q为真命题，实数a的取值范围为：.（2）∵为真命题，为假命题，∴，解得.∴.例12．（2023·全国·高一专题练习）给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根；（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围；（3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立，当时，满足题意，当时，则，解得：，综上所述：；（2）若为真命题，即关于的方程有实数根，则，解得：，若p与q都是假命题，则，解得：，若p与q中至少有一个为真命题，则；（3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则或，解得：或，综上所述：.变式7．（2023·江苏·高一专题练习）命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是______________.【答案】或【解析】当命题为真命题时，可得，即.所以当命题为假命题时，可得或.故答案为：或变式8．（2023·上海·高一开学考试）若和或都是假命题，则的范围是__________【答案】【解析】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案为：变式9．（2023·江苏·高一专题练习）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是_________.【答案】且.【解析】解析由题意知,解得：且.故答案为：且.变式10．（2023·高一课时练习）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为______【答案】，【解析】-假设成立，则，当时，，此时、是不相等的正数，故命题为真命题的一组，的值为：，故答案为：，【过关测试】一、单选题1．（2023·重庆·高一校考期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，故选：D.2．（2023·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）关于的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号．如果有且只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】若和是该方程的根，则两根同号，所以乙丙丁不可能同时为真命题，即甲是真命题；因为该方程两根之和为，则和不可能同时是该方程的根，所以乙丙中有一个假命题，丁为真命题；若甲乙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，此时方程为，符合题意；若甲丙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，此时两根同号，不符合题意，所以可知丙为假命题.故选：C3．（2023·高一课时练习）下列四个命题中，其中真命题的个数为（

）①与0非常接近的全体实数能构成集合；

②表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；

④任何一个非空集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；②，正确；③空集是任何非空集合的真子集，错误；④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.故选：C4．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题是假命题的有（

）A．若，那么 B．若，那么C．若，那么 D．若，那么【答案】A【解析】对于A，若，那么x可能不属于B，故A错误；对于B，若，则x是集合A和B的公共元素，那么，故B正确；对于C，若，那么，故C正确；对于D，若，那么，故D正确．故选：A．5．（2023·河南濮阳·高一范县第一中学校考阶段练习）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】因为，，则AC选项错误；，或，故B对，D错.故选：B.6．（2023·高一课时练习）已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】①若，满足，但，故①错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，正确；⑤若则，故错误．故选：C．7．（2023·高一单元测试）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；

乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；

丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（

）.A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁【答案】C【解析】∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖，乙不获奖.故选：C8．（2023·重庆万州·高一校考阶段练习）给定下列命题：①“若，则方程”有实数根②若，，则③对角线相等的四边形是矩形④若，则，中至少有一个为0其中真命题的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】①中，故为真命题；②由不等式的性质知，，，则显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④若，则或，则，中至少有一个为0，为真命题.所以①②④是真命题，故选：B二、多选题9．（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）下列命题是真命题的为（

）A．{x∈N|x3+1=0}不是空集B．若a<0，则|a|>0C．相似三角形的对应角相等D．若整数m是偶数，则m是合数【答案】BC【解析】对于选项A，x∈N，x3≥0，所以{x∈N|x3+1=0}是空集，为假命题，故选项A错误；对于选项B，若a<0，则|a|>0，为真命题，故选项B正确；对于选项C，相似三角形的对应角相等，为真命题，故选项C正确；对于选项D，2为偶数，但是2是质数，故选项D错误；故选：BC.10．（2023·江苏·高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（

）A．命题“若互为相反数，则”B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C．命题“若，则有实根”D．命题“若是正整数，则都是正整数”【答案】ABC【解析】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误.故选：ABC11．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题为真命题的是（

）A．集合有两个子集B．若，则C．集合里面有6个元素D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为【答案】AD【解析】A：，则有2个子集，正确；B：当，则，故错误；C：的自然数元素有，而，共有无数个元素，错误；D：若点坐标为，第二象限的点有，第四象限的点有，故第二、四象限的点的集合可以表示为，正确.故选：AD12．（2023·山东·高一统考期中）下列命题中，是真命题的是（

）A．，B．存在一个四边形，其内角和不等于360°C．，D．至少有一个实数，使【答案】ACD【解析】逐一分析各个选项，即可求得答案.对于A：，故A为真命题；对于B：对于平面内任意的四边形，其内角和都为360°，故B为假命题；对于C：，解得x=-1或x=-2，故C为真命题；对于D：，解得x=-1，故D为真命题.故选：ACD三、填空题13．（2023·高一课时练习）下列四个命题，其中真命题是______．（填序号）①若，则x，y互为相反数；

②面积相等的三角形全等；③若，则有实数解；

④若，则．【答案】①③【解析】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题；面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题；若，则，故有实数解，则③为真命题；若，则，故④为假命题.故答案为：①③.14．（2023·高一课时练习）下列命题：①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根；②如果，那么除以的余数是或；③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数；④已知a，，若，则.其中是假命题的序号为___________.【答案】③④【解析】对于①，方程为一元二次方程，；当时，若，则，方程有实根；①正确；对于②，若，则，则除以的余数是；若，则，则除以的余数是；综上所述：如果，那么除以的余数是或，②正确；对于③，若，，，则是的倍数，但此时均不是的倍数，③错误；对于④，若，则，④错误.故答案为：③④.15．（2023·高一课时练习）若a、b、c、d是实数，则下列是真命题的是______.（填所有真命题的序号）①如果，且，那么；②若果，那么或；③如果，那么；④如果，那么，其中n是正整数.【答案】①【解析】如果，且，那么由推不出或，如由推不出，如时由推不出，如时故答案为：①16．（2023·上海·高一专题练习）判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________.【答案】真命题【解析】若为奇数，可设，则，此时为奇数，合乎题意；若为偶数，可设，则，此时为偶数，不合乎题意.综上所述，已知，若是奇数，则是奇数，原命题为真命题.故答案为：真命题.四、解答题17．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，是任意实数，则；(2)若，是实数且，则；(3)若，则有两个不相等的实数根；(4)若有两个不相等的实数根，则实数．【答案】(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)假命题【分析】利用特殊值判断（1），根据完全平方数的非负性判断（2），根据一元二次方程根的判别式求出方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，即可判断（3）（4）；（1）当时，故命题“若，是任意实数，则；”为假命题；（2）因为，是实数所以，，又，所以所以，故命题为真命题；（3）若方程有两个不相等的实数根，则，解得，所以当时方程有两个不相等的实数根，故命题“若，则有两个不相等的实数根；”为真命题；（4）若方程有两个不相等的实数根，则，解得，故命题“若有两个不相等的实数根，则实数．”为假命题；18．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列命题的真假，并说明理由.(1)如果，那么x与y同号或x､y中至少一个为零；(2)若x，，，，则，.【解析】(1)因为，所以，所以，所以，所以与同号，或、中至少一个为零，故命题为真命题；(2)因为x