从特殊到一般的精彩-文档资料

1、从特殊到一般的精彩一、循环结构在一些算法中 ,经常会出现从某处开始 ,按照一定的条件反 复执行某些步骤的情况 ,这就是循环结构。反复执行的步骤成为 循环,它包含两种基本的循环结构 :当型循环结构和直到型循环 结构。这是人教A版对循环结构的介绍。课本上首先选取了从 1+2+3+4+100做为循环结构的引入，下面就这个循环结构谈 谈自己的教学设计。通常,我们会这样计算 :step 11+2=3step 2 3+3=6step36+4=10step410+5=15step?99? 4950+100=5050观察上述算法会发现 :1 、上一步的结果会在下一步中用到 , 所以我们要储存每一步的结果 ;2

2、、每一步的操作步骤是差不多的 也就是说包含重复操作的步骤。我们的问题马上来了 , 你能概括出重复操作的步骤是什么吗 采用从特殊到一般的策略 ,不难发现这样的结果 :第 i 步为第 (i-1)步的结果+(i+1)=第i步的结果。i-1,i,i+1,这实际上是三个变量,有点多,不好处理。能减少变量吗 ?引导学生看课本上的 设计 , 它的第一步是这样的 ,0+1=1, 你能发现这样做的好处吗 ?这 样处理之后，重复操作的步骤马上变成了 :第(i-1)步的结果+i= 第 i 步的结果 , 变量一下子变成了两个 , 初战告捷。我们需要一个变量来储存每一步的结果 , 这个变量好比一个 仓库,把1到100都

3、累积到里面去。用s表示,这样重复操作的步 骤可以精简一下 , 第 i 步为 s(i-1)+i=s(i), 又因为 s(i-1) 和 s(i) 是性质相同的仓库 , 我们转换为同一个变量 s, 结合赋值语句的结 构, 我们得到 , 第 i 步应该是 :s=s+i. 其中 s 刚开始应该为 0(没存 东西),i为1。前面的s为新的仓库，后面的s为旧的仓库。?循环结构是有限的运动 , 它需要有限次的重复执行某些操 作。首先要动起来 , 我们需要一个发动机。回到我们初战得到的 结果,s=s+i,i需要不断地变化才能实现把1到100放到仓库里,变化的方式就是逐次加 1, 我们用 i=i+1 来发动循环结

4、构 , 用条件 结构进行有限的界定。二、三角函数的周期首先周期的定义是这样的。对于函数 f(x), 如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周 期。根据定义 , 我们马上得到 f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x),即2T也是函数的周期，同理kT(k为正整数)均为函数的周期。继 续猜想 ,-T 是不是函数的周期 ?我们有 f(x-T)=f(x-T+T)=f(x), 所以-T也是函数的周期，结合上面的研究，我们有kT(k为非零整 数)均为函数的周期。下面进入Y=Asin( 3

5、 x+ )+k周期的研究,这里我们要强调 整体的思想 , 因为周期的定义要求当自变量增加一个周期时 , 函 数值重复出现 , 而函数值是由 3 x+ 这个整体的取值来决定的。 先从特殊的入手 , 如 Y=sin2x, 根据前面的探索我们知道有 sin(2x+2)=sin2x, 根据周期的定义 , 我们要看自变量增加了多少 2x+2=2(x+), 所以 x 增加了, 即周期为 .再举两个类似的例子之后 我们来看一般的情况 , 令 3 x+ =t, 所以 Y=Asint+k, 最小正周期 为 2, 即 Asin(t+2)+k=Asint+k, 我们需要知道的是自变量增加了 多少,t+2= 3 x+

6、 +2=3 (x+2 n / 3 )+,即自变量增加了 2 n / 3 ,所 以周期为2n / 3。这样，问题的坡度就降下来了 .我们需要突出 强调的是整体的思想 , 特别在后面很多三角型函数的单调性、值 域等问题的研究中 , 整体的思想是重要的。既然三角函数呈周期性变化 , 所以我们研究三角函数问题的 思路就是先研究函数在一个周期的性质 , 再加上周期的整数倍拓 展到整个定义域。 例如单调性 , 三角不等式 , 周期函数解析式的书 写, 我们都要思想先行 , 研究好一个周期中的性质 , 先研究好“特 殊” , 再推广到一般。三、等差数列的前 n 项和我们首先从著名的数学家高斯引入 , 他在算

7、从 1 加到 100的时候,发现了这样一个规律，1+100=2+99= =100+1,于是他这 样来计算从 1 加到100,(1+100)+(2+99)+(3+98)+ +(50+51)=101x50=5050.接着我们先问一下 , 你会算从 1 加到 300吗?大部分学生会想 到这样计算 :(1+300)+(2+299)+(3+298)+ +(150+151)=301x150,从1 加到 199呢?可能不少学生会思考一会儿 , 得出这样的结论;(1+199)+(2+198)+ +(99+101)+100=99x200+100;继续提问 : 从 1 加到 n 呢?很多学生心里开始默念:(1+

8、n)+(2+n- 1)+,什么时候停止呢？不好写，因为n可能是奇数也可能是偶数。 这个时候我们需要对我们的算法进行改 进, 能不能不用写出中间项就可以计算出来？这个时候再去看课本 , 就能体会到倒序相加的妙处。实质性的思考才刚刚开始 , 先把刚学到的倒序相加法计算一 下上面的几个题目 , 体会一下它的思维的便捷性。然后我们可以 提出这样的问题 : 什么样的求和问题可以用倒序相加？结合刚才做过的题目思考一下。还是先来看从 1 加到 100, 高斯发现了第一项和最后一项的 和 , 第二项和倒数第二项的和 , , 第 50 项和倒数第 50 项的 和相等。还有从 1 加到 n, 我们可以归纳出这样的结论 , 第 k 项和 倒数第 k 项的和均相等 (k 取正整数 ) 。从而我们得到结论 : 当第 k 项和倒数第 k 项的和均相等 (k 取 正整数 ) 的时候 , 我们可以用倒序相加 , 然后接下来 , 等差数列求和公式的导出就水到渠成了以上是我