初中经典几何证明练习题

1、初中几何证明题经典题1、已知:如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点,求证:CD =GF.（初二）2、已知：如图，P是正方形 ABCD内部的一点，/ PAD =Z PDA =15。求证： PBC是正三角形.（初二）1已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点）（1）求证：AH = 2OM ;（2）若/ BAC = 60,求证：AH = AO .（初二）,O为外心，且OM丄BC于M .A3、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD = BC , M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F.求证：/ DEN = Z F.经典题（二）2、设MN是圆0外一条直线，过 0作OA

2、丄MN于A，自A引圆的两条割线交圆 0于B、C及D、E, 连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP = AQ .3、如图，分别以 ABC的AB和AC为一边，在 ABC的外侧作正方形 ABFG和正方形 ACDE，点0是DF 的中点，0P丄BC求证：BC=20P （初二）证明：分别过 F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是 L、M、N/ 0F=0D , DN / 0P / FL PN=PL 0P是梯形DFLN的中位线 DN+FL=20PT ABFG是正方形/ ABM+ / FBL=90 又/ BFL+ / FBL=90 / ABM= / BFL又/ FLB= / BMA=90

3、 , BF=AB BFL ABM FL=BM同理 AMC CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=20P经典题（二）1 如图，四边形 ABCD为正方形，DE / AC , AE = AC , AE与CD相交于F.7）求证：CE = CF.（初二）证明：连接 BD交AC于0。过点E作EG丄AC于G/ ABCD是正方形 BD 丄 AC 又 EG 丄 AC BD / EG 又 DE / AC ODEG是平行四边形又/ COD=90 ODEG是矩形111 EG=OD= BD= AC= AE222 / EAG=30 / AC=AE / ACE= / AEC=75 又/ AFD=90

4、 -15 =75 / CFE= / AFD=75 = / AEC CE=CF2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE / AC,且CE= CA，直线EC交DA延长线于F. 求证：AE = AF .（初二）证明：连接BD，过点E作EG丄AC于G/ ABCD是正方形 BD 丄 AC,又 EG 丄 AC BD / EG 又 DE / AC ODEG是平行四边形又/ COD=90 ODEG是矩形111 EG =OD = BD= AC= CE222 / GCE=30 / AC=EC-/ FAC- / ACF-/ FAC- / GCE在厶 AFC 中/ F =180 1 / CAE= / CEA= / G

5、CE=152=180 =180 / F=Z CEA AE=AF-135 -30 =15 FH丄CD于HAP 丄 FP/ APB+ / FPG=90 / APB+ / BAP=90 / FPG= / BAP又/ FGP= / PBA3、设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点，PF丄AP , CF平分/ DCE . 求证：PA= PF.（初二）证明：过点F作FG丄CE于G , CD丄CG HCGF是矩形/ HCF= / GCF FH=FG HCGF是正方形 CG=GF设 AB= x,z： y= （x-y+z）: x 化简得（x-y） y= （x-y） z /x-y 丰 0 .y=z即 BP=F

6、G ABP 也厶 PGF FG: PB=PG : AB4、如图，PC切圆O于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D . 求证：AB = DC , BC = AD .（初三）证明：过点 E作EK / BD，分别交 AC、AF于M、K，取EF的中点H ,连接 OH、MH、EC/ EH=FH OH 丄 EF, / PHO=90 又 PC丄OC, / POC=90 P、C、H、O四点共圆 / HCO= / HPO EM=KM/ EK / BD又 EK / BD，/ HPO= / HEK/ HCM= / HEM H、C、E、M四点共圆/ ECM= / EHM又/ ECM

7、= / EFA/ EHM= / EFA HM / AC OB AO OD EM AM - KM OB=OD又 AO=CO四边形ABCD的对角线互相平分 ABCD是平行四边形:.AB=DC , BC=AD/ EH=FH经典题（四）1已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA= 3, 求/ APB的度数.（初二）解：将 ABP绕点B顺时针方向旋转 60得厶BCQ，连接 则厶BPQ是正三角形 / BQP=60 , PQ=PB=3在厶 PQC 中，PQ=4, CQ=AP=3 , PC=5 PQC是直角三角形 / PQC=90 / BQC= / BQP+ / PQC=60 +90 =150 /

8、APB= / BQC=150 H2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA = Z PDA . 求证：/ PAB = Z PCB .（初二） 证明：过点P作AD的平行线，过点 两平行线相交于点 E,连接BE/ PE / AD , AE / PD ADPE是平行四边形 PE=AD , 又ABCD是平行四边形 AD=BC； PE=BCC又 PE / AD , AD / BC PE / BC BCPE是平行四边形/ BEP= / PCB ADPE是平行四边形又/ ADP= / ABP/ AEP= / ABP A、E、B、P四点共圆/ BEP= / PAB/ PAB= / PCB3、设AB

9、CD为圆内接凸四边形，求证： AB CD + AD BC = AC BD .（初三）证明：在 BD上去一点 E,使/ BCE= / ACD CD =CD CAD= / CBD BEC ADC BE BCAD 一 AC AD BC=BE AC/ BCE= / ACD/ BCE+ / ACE= / ACD+ / ACE即/ BCA= / ECDT BC=BC, BAC= / BDC BAC EDC AB ACDE CD AB CD=DE ACI +得 AB CD+AD BC =DE AC+BE AC ；=(DE+BE ) ACI=BD AC4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一

10、点，AE与CF相交于P,且AE = CF.求证：/ DPA =Z DPC .(初二)证明：过点 D作DG丄AE于G ,作DH丄FC于H , Sade =2AE DG , Sdc=2fC DH又 Saade=Safdc=*Scabcd AE DG=FC DH又 AE=CF DG=DH点D在/ APC的角平分线上/ DPA =Z DPC经典题（五）1设P是边长为1的正 ABC内任一点，L = PA + PB+ PC,求证： 3 Z AGP/ APD Z ADP AD PA又 BD+PD PBCG+PG PC + +得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+A

11、G=AB+AC PA+PB+PC=L/ AB=AC=1 AL v 2由(1)( 2)可知：.3 w Lv 2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA + PB+ PC的最小值.解：将ABCP绕点B顺时针旋转60得厶BEF，连接PE,则厶BPE是正三角形 PE=PB PA + PB + PC=PA+PE+EF要使 PA + PB+ PC最小，贝U PA、PE、EF应该在一条直线上(如图)此时 AF=PA+PE+EF过点F作FG丄AB的延长线于 G则/ GBF=180 -Z ABF=180 -150 =30 GF, BG=证明：将厶ABP绕点B顺时针旋转90得厶BCQ，连接PQ

12、则厶BPQ是等腰直角三角形，2 PQ=2 PB= . 2 x 2a=2,2 a又 QC=AP=a QP2+QC2=(2、2 a)2+a2=9a2=PC2 PQC是直角三角形/ BQC=1352 2 2 BC2=BQ2+CQ2-2BQ CQ cos/ BQC2 2=PB +PA -2PB PAcos135 2 2=4a +a -2 x 2ax ax(-子）解得 BC= , 5 2”2a正方形的边长为-5 2a4、如图， ABC 中，/ ABC = / ACB = 80, D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA = 30,/ EBA =20，求/ BED的度数.解：在AB上取一点F,使/

13、BCF=60 , CF交BE于G,连接EF、DG/ ABC=80 ，/ ABE=20 ，/ EBC=60 ，又/ BCG=60 BCG是正三角形 BG=BC/ ACB=80 ，/ BCG=60 / FCA=20 / EBA= / FCA又/ A= / A , AB=AC ABE 也ACF AE=AF1 /AFE= / AEF=2 (180 -/ A) =80 又/ ABC=80 = / AFE EF / BC / EFG= / BCG=60 EFG 是等边三角形 EF=EG , / FEG= / EGF= / EFG=60 / ACB=80 ，/ DCA=30 / BCD=50 / BDC=1

14、80 -/ BCD- / ABC=180 -50 -80 =50 / BCD= / BDC BC=BD 前已证 BG=BC BD=BG1/ BGD= / BDG=2 (180 -/ ABE ) =80 / FGD=180 -/ BGD- / EGF=180 -80 -60 =40又/ DFG=180 -/ AFE- / EFG=180 -80 -60 =40 / FGD= / DFG DF=DG 又 EF=EG , DE=DE EFD EGD / BED= / FED=-/ FEG=-x 60 =302 25、如图， ABC内接于O O,且AB为O O的直径，/ ACB的平分线交O O于点D，

15、过点D作O O的切 线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AE丄CD于点E,过点B作BF丄CD于点F，若AC=6 , BC=8 , 求线段PD的长。n解：/ ACD= / BCD AD=Bd - AD=BD/ AB 为O O 的直径ADB=90 ABD是等腰直角三角形/ ACB=90 , AC=6 , BC=8 AB=102 AD=AB cos/ DAB=10 X 二=5、22又 AE 丄 CD , / ACD=45 J2 ACE 是等腰直角三角形 CE=AE=AC cos/ CAE=6 X =3 . 22在 ADE 中，DE2=AD 2-AE 2 DE2= (5 J2 2 - (32)2 =

16、 32 DE= 4逅 CD=CE+DE=3 , 2 + 42 = 7, 2/ PDA= / PCD，/ P=Z P PDA s PCDPDPCADCD5 一 7-一.2l2557V-7575” m 35- PC= PD , PA= PD / PC=PA+AC PD= PD+6 解得 PD=575741证明：过点G作GH丄AB于H，连接OE/ EG 丄 CO , EF 丄 AB/ EGO=90。，/ EFO=90 / EGO+ / EFO=180 E、G、O、F四点共圆/ GEO= / HFG/ EGO= / FHG=90 EGOs FHGEO = GOFG = HG/ GH 丄 AB , CD

17、 丄 AB GH / CD GO COHG CD EO COFG CD/ EO=CO CD=GF2证明：作正三角形 ADM，连接MP/ MAD=60。，/ PAD=15 / MAP= / MAD+ / PAD=75 / BAD=90。，/ PAD=15 / BAP= / BAD- / PAD=90 -15 =75 / BAP= / MAP/ MA=BA , AP=AP MAP BAP/ BPA= / MPA , MP=BP同理/ CPD= / MPD , MP=CP/ PAD = Z PDA = 15 PA=PD，/ BAP= / CDP=75 / BA=CD BAP CDP/ BPA= Z

18、CPDvZ BPA= Z MPA , Z CPD= Z MPD Z MPA= Z MPD=75 Z BPC=360 -75 X 4=60 / MP=BP , MP=CP BP=CPBPC 是正三角形3证明：连接AC,取AC的中点G连接NG、MG/ CN=DN，CG=DG1 GN / AD , GN= AD2 Z DEN= Z GNM/ AM=BM , AG=CG1 GM / BC, GM= BC2 Z F= Z GMN/ AD=BC GN=GM Z GMN= Z GNM Z DEN= Z F1证明：(1)延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG丄AD于G/ OG 丄 AF AG=FGv AB =Ab Z F= Z ACB又AD丄BC, BE丄AC Z BHD+ Z