北京高考题导数

1、函数北京高考题二一一导数x1. (2011年文科18)已知函数f x x k e ,(I)求f x的单调区间；(ii)求f x在区间0,1上的最小值232. (2012 年文科 18)函数 f(x) ax 1 (a 0) , g(x) x bx .(i)若曲线y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求 a, b的值；(n)当a 3，b 9时，若函数f(x) g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围.3. ( 2012 年理科 18)已知函数 f(x) ax2 1 ( a 0), g(x) x3 bx.(1)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交

2、点(1, c)处具有公共切线，求a,b的值； 当a24b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值.求a与b的值; b的取值范围.4. (2013 年文科 18 .)已知函数 f(x) = x2+ xsin x+ cos x.(1) 若曲线y= f(x)在点(a, f(a)处与直线y = b相切,(2) 若曲线y= f(x)与直线y= b有两个不同交点，求In x5. (2013年理科18 .)设L为曲线C : y= 在点(1 , 0)处的切线.求L的方程；(2)证明：除切点(1 , 0)之外，曲线C在直线L的下方.36. (2014年文科20.)已知函数f(x) 2

3、x 3x .(1 )求f(x)在区间2,1上的最大值；(2) 若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y f(x)相切，求t的取值范围；(3) 问过点A( 1,2), B(2,10), C(0,2)分别存在几条直线与曲线y f (x)相切？(只需写出结论)7.( 2014 年理科 18.)已知函数 f(x) xcosx sin x,x 0,(1)求证：f (x)0 ；sin x(n)若ab在(0,)上恒成立，求a的最大值与b的最小值x21. (2011 年文科 18)解：(1) f (x)(x k 1)ex，令 fix) 0x k1 ；所以f x在（，k 1）上递减，在（k1,）上递增；(II)当

4、 k 10,即k 1时，函数f-x在区间0,1上递增，所以f ( x) minf(0)k ;当0 k11即1 k 2时，由（i）知,函数f x在区间0,k 1上递减,（k 1,1上递增，所以 f (x)minf(k 1) ek1；当k 11,即k 2时，函数fx在区间0,1上递减，所以f(x)minf(1)(1 k)e。2. ( 2012年文科-18)解：（I）f (x)2ax, g (x)3x2 b .因为曲线y f(x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，所以 f(i) g(i)，且 f (1) g(i).即 a 11 b，且 2a 3 b 解得a 3， b 3.(n)

5、记 h(x) f (x) g(x).当 a 3, b 9时，h(x) x3 3x2 9x 1 ,h (x) 3x2 6x 9 .令 h (x)0 ,得禺 3 , X21.h(x)与h (x)在(，2上的情况如下:x(,3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)Z284Z3由此可知：当k 3时，函数h（x）在区间k,2上的最大值为h（ 3）28 ；当3 k 2时，函数h（x）在区间k,2上的最大值小于 28 .因此，k的取值范围是（，33. （2012年文科18）解：（）由1 , c为公共切点可得：f(x) ax21(a0),贝 U f (x)2 ax,k.2a,g(x)x3bx ,则f

6、2(x)=3x b , k23b ,2a 3b又 f(1) a1 ,g(1)1 b ,a 11b ,即ab，代入式可得:a 3b 3(2) Q a2 4b,设 h(x) f (x) g(x)3212x ax -ax 14则 h (x) 3x22ax爲2，令h (x)0,解得：X!a ,X242Q a 0,aa26 ,原函数在a单调递增，在a ,-单调递减，在22 6若1w a，即a a时，即a6时，最大值为h - 1 6 2a6a上单调递增时，最大值为h 21已知综上所述： a2 当a 0 , 2时，最大值为ha ；当a 44. (2012 年理科 18) 18 解：由 f(x) = x2 +

7、 xsin x+ cosx,得 f(x) = x(2 + cos x).(1)因为曲线 y= f(x)在点(a, f(a)处与直线 y= b 相切，所以 f(a) = a(2 + cos a) = 0, b= f(a). 解得 a = 0, b = f(0) = 1.令 f (x) = 0，得 x= 0.f(x)与 f(x)的情况如下：X( a, 0)0(0 ,+a )f(x)一0+f(x)1/所以函数f(x)在区间( a, 0)上单调递减，在区间(0,+8 )上单调递增，f(0) = 1是f(x)的最小值. 当bw 1时，曲线y = f(x)与直线y= b最多只有一个交点；当 b1 时，f(

8、 2b) = f(2b)4b2 2b 14b 2b 1b, f(0) = 11时，曲线y= f(x)与直线y= b有且 仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线 y= f(x)与直线y = b有两个不同交点，那么 b的取值范围是(1 ,+a ).In x5. (2013年理科18 .)设L为曲线C : y= 在点(1 , 0)处的切线.(1) 求L的方程；(2) 证明：除切点(1 , 0)之外，曲线C在直线L的下方.18 .解：(1)设 f(x)=也，则 f(x)=-一.xx所以f(1) = 1. 所以L的方程为y= x 1.(2)令g(x)= x 1 f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方

9、等价于x2 1 + In xg(x)0( x0, XM 1).g(x)满足 g(1)= 0,且 g(x) = 1 f(x)=x .当 0x1 时，x2 10, ln x0,所以 g(x)1 时，x210, ln x0，所以 g (x)0,故 g(x)单调递增.所以 g(x)g=0( xo, xm 1).c n0, 2 ,所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.7. 解： (1) 证明： fx cosx x sin x cosxxs in x, v x - f x , 0 ,即f X在0, n上单调递增，2在0,上上的最大值为f0 0，所以fx,0 .2可知，gcosx x sin x ,2,由x

10、x sin xbT时,h所以h xb 1时，n上单调递减，从而gxnbx , x 0 ,2sin xbx 0恒成立.h xn0,?h xcosx b 0 在0 , x0-，故ncosx b ,上单调递减,0, n有唯一解x0,且2上单调递增，从而h x h 00 ,2a,n从而hxgamax7th x 0 ,sin x bx 0 sin x bxb与b恒成立矛盾，综上，xx解答：解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得 f (x) =6x2- 3,或 x=?,令 f (x) =0 得，x=- f (- 2) = - 10, f (-=-：，f (1)=-bT ,故 bmin1 .1, f

11、 (x)在区间-2, 1上的最大值为(n )设过点p (1, t)的直线与曲线 y=f (x)相切于点(X0, y0),则 yo=2-3xo，且切线斜率为k=6X： - 3,切线方程为y - y0= (6-3) (x- xo), t - y0= (6箱-3) (1 - X0),即 4蓝-6爲+t+3=0,设g (x) =4x3- 6x2+t+3，贝U过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”等价于g ( x) 有3个不同的零点”./ g(x) =12x2- 12x=12x (x- 1), g (x)与g (x)变化情况如下：x(-s, 0)0(0, 1)1(1, + s)g (x)+0-0+g (x)/t+3t+1/ - g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.当g (0) =t+3切，即t 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1 时，/ g (- 1) =t - 7 v 0, g (2) =t+11 0, g (x)分别在区间-1, 0), 0, 1 )和1, 2)上恰有1个零点，由于g (x)在区间(-汽0) 和1, + g