余弦定理学习知识点情况总结和同步练习进步

1、余弦定理教师：郭庆友(1) 语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.(2) 公式表达1、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bccos ,b2a2c22accos2 2 2 cab 2abcosC .余弦定理证明如上图所示， ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到:将等式同乘以c得到：亍_ .rc - flccos() + fcccos(a)运用同样的方式可以得到：a =+ flfccos(y)= beccs+ afccosfy)将两式相加：a2 +b2 -壮匚os( + flfccos()+ becos(a) + abcos(y)a2 4-

2、h2 occos (|J)+bccos (a) + (alrcos(y)+tabcos(y) + ft2 = c2 十 2afrcos(y)亍 7 j匚亠=fl 4-t -2fffccQ5yJ向量证明= (AC-AB)-(At-AB)aAEC中* AB = r 5C = tf- AC = 阴2二此血幘f =|xt|2 +圍2心尿 |b|? =|/ft|2 + |Afe|2-2 圈 |At|cosAa2 3-fc2 + c2-2bccosA2、余弦定理的推论：COSb2 c2 a2,cos2bca2 c2 b2,cosCa2 b2 c22ac2ab3、设a、b、c是 C的角 、C的对边，则：若

3、a2 b2 c2，则C 90o ；oo若a b c ,则C 90 ；若a b c ,则C 90 .注：此法可以进行三角形形状的判定：主要判定最大角的余弦值的正负号，若最大角的余弦 值为负数，也即最大角为钝角，所以此三角形为钝角三角形；若最大角的余弦值为0,也即最大角为直角，所以此三角形为直角三角形； 若最大角的余弦值为 正数，也即最大角为 锐角， 所以此三角形为锐角三角形；4、余弦定理的适用范围余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题：已知三角形两边及夹角求第三边；是已知三个边求角的问题 若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。注：在两边一对角

4、 的三角问题中，也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边；余弦定理的应用要比正弦定理范围广泛。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1 在 ABC 中，已知 a 2.3，C . 6. 2，B 600，求 b 及 A;解析：（i） b2 a2 c2 2accosB= （2、,3）2 C，6 ,2）2 2 2、3（ .6 ,2） COS 450=12（-6 ,2）2 4、3（、3 1）= 8求厶ABCri .b 2已知 ABC 中，a : b : c= 2 :6 ： （ 3+ 1）,余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cos A,2 2 2b c a2bc（2三）2 （用 2

5、）2 （2、3）22 22 血 V2）12,解法二： sin A sinB2 3 sin4502、2又 62 2.4 1.4 3.8, 2 3 v 2 1.8 3.6,a v C，即 0 v A v 900,思路点拨：由题目可获取以下主要信息：已知三边比例;册变式;训求三角形的三内角.1 在ABCS，已知定理求出三个角，b= 6 + 2吕,c= 4翻, 求角A, B, C.解析：在厶ABC中，由余弦定理得，a2 + b2 c2 2 J6 2 6 + 2yj3 2 - 4晶 2cosC= 2ab 2X 2 6X 6+ 2 3=24 3+ 1=x!24 23+ 1 2 . C= 45 sin C

6、= .题后感悟此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦， 再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理，求出第三个角（一般地，先求最小角，再求最大角）解题过程v a ： b : c = 2 : 6 : ( 3 + 1), 令 a= 2k, b= 6k, c = ( 3+ 1)k.由余弦定理，有b2 + c2 a2 = 6+3 + 2-4 止 cos A= 2bc = 2 6 x 3+ 1 = 2， A= 45.a2 + c2 b2_ 4+ p3 + 1 2 6_ 1cos B= 2ac= 2 x 2X 3+

7、1 = 2， B= 60. C= 180 A B = 180 45 60 = 75.方法二：由bvc, B= 30 bcsin 30知本题有两解.由正弦定理，得sin C= csi： B = 解题过程方法一：由余弦定理：b2= a2 + c2 2accos B得 2 = a2 + 32 2Xax 3Xcos 30 a? 3 对3a + 6= 0题后感悟可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解 a = 3 或 a = 2冷3法，从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法d方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方=2运时解方由正弦定法求出sin A = a!b的长=这|

8、可免去判慚取舍的麻烦.方法二直 接运用正弦定理,，先求角再求边. 3X 2= ?C= 60 或 120.当 C= 60时，A= 90例 3:由勾股定理a= b + c= 2 3.当C= 120时，A = 30 ABC为等腰三角形. a= 3.sin A=asin Ct ac,. AC, A= 30 B= 180 (A+ C) = 180 (30 + 45) = 105.已知：在厶ABC中，b = 3 c= 3, B= 30解此三角形.j (由余弦定理亦方穆求“一(曲余弦定理的推论求仏2 3Xasin C3+ 3.方法二：在 ABC中由正弦定理得sin B=西严二6X 22 3 -1=2,因为

9、b?feZVBC 中，若 b2sin 2C c2sin 2B 2bccosBcosC，试判断三角形的形 所以c_ 3 + 3.方法二：将已知等式变形为2 2 2 22、-即有 b2 + c2 bj (a q 2 )2 _ c2边角之间的关系：b Sin 2(?atc sin2Ba2 + b2 c2 =b，4 分b (1 cos C) + c (1 cos B)= 2bccos Bcos C, 2 分 思路点拨：由题目可获取以下主要信息：222a + b c 22 a + c b 2的7、i b的形Jab确定三角形bccOSPcosC ;即 b2 + c2 =也可先由余弦定理将边转化为角,a然后

10、由三角恒等式进行化简，得出结论;4a角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确 定三角形形状.即b2 + c2 = a2, 10分 ABC为直角三角形.12分a b c规范作答方法一：由 snA=sibB=siiTC=2R，则条件转化为 4R2 si n2C si n2B+ 4R2 sin2C sin2B= 8R2 sinB sin C cos B cos C,又 sin B sin C工 0, sin B sin C= cos B cos C, 6 分即 cos(B + C) = 0.8 分又 0B+ C180, B+ C = 90 10 分 A = 90故厶ABC为直角三角形.12

11、分题后感悟判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已 知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三 角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状4 .在ABC 中，(a + b + c)(b + c a) = 3bc，且 sin A = 2sin Bcos C，试确定厶 ABC的形状.解析：因为(a+ b+ c)(b + c a) = 3bc，所以 a2 = b2 + c2 bc,又由余弦定理有 a2= b2+ c2 2bccos A,1所以 cos A=

12、2，即 A= 60又因为 sin A= sin(B+ C) = sin Bcos C + cos Bsin C，且 sin A= 2sin Bcos C，所以 sin Bcos C = cos Bsin C，即卩 sin(B C) = 0，所以 B1 .余弦定理与勾股定理之间的联系=C，又于余弦定理,c所以aB+CftaboAGfeo。!CB=90。，贝c2 a2 b2，此即为勾0股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况. 故厶ABC为等边三角形.(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具.o在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.

13、余弦定理也为求三角形的有关量 (如面积、外接圆、内切圆等 )提供了工具，它 可以用来判定三角形的形状， 证明三角形中的有关等式， 在一定程度上， 它比正 弦定理的应用更加广泛特别提醒 在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理 中涉及的是边长的平方， 求得结果常有两解， 因此，解题时需特别注意三角形三 边长度所应满足的基本条件2解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1) 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角， 用三角形的内角和 定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数(2) 已知三角形的

14、两角和任一边，解三角形 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时， 可由正弦定理求另一边， 再 由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求第三边 . 若所给边不是已知 角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边(3) 已知两边和它们的夹角，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边， 再用正弦定理或余弦定理求另一 角，最后用三角形内角和定理求第三个角(4)已知三角形的三边，解三角形此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角， 再用正弦定理或余弦定理求出 误区警示I另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角.要解三角形，必须已知三角形的一边的长若已知条

15、件中一条边的长也不给出,以是任意的，且此无法求解钝角三角形, C为钝角.由余弦定理得角.a2+ b2 c2 k2 4k 12由余弦定理得cos C=20b-=药+0,k2【4因12k + 4，即k2，又由不是边之和大于第三边，得k + (k+ 2) k+ 4， k2，由可知 2k6.a2 + b2 c2 k2 4k 12 C0S C= 2ab 二 2k k + 2 0.k2 4k 120，解得2k0，故由知0kba且厶ABC为钝角三角形， C为钝1.1.2余弦定理同步练习、选择题1 .在ABC 中,a2 c2b2 ab，则角。为（A. 30B. 60C. 45或 135D. 1202 .在 ABC中，已知AE，C0SB,AC边上的中线BD= 5，贝U sin A的值为（A.17B. 701214D.143 .在 ABC中,(a bC)(ba)3bc,并