4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计-人教A版高中数学必修第一册

1、【新教材】 4.1.1 n 次方根与分数指数幂 教学设计（人教 a 版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指 数幂，说明了扩张指数范围的必要性。课程目标1. 理解 n 次方根、根式的概念与分数指数幂的概念2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。数学学科素养1. 数学抽象：n 次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2. 逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3. 数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.

2、数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。重点：（1）根式概念的理解；（2） 分数指数幂的理解；（3） 掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。一、 情景导入1 1我们已经知道1 1 1 , ( ) 2 , ( ) 3 ,2 2 21 1 1 1 , , , ( )是正整数指数幂，它们的值分别为 2 4 8 .那么， 26000 10000 1000005730 , ( ) 5730 , ( ) 57302 2的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.

3、下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此， 需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本 104-106 页，思考并完成以下问题(1) n 次方根是怎样定义的？(2) 根式的定义是什么？它有哪些性质？(3) 有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4) 根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5) 如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1n 次方根定义一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且

4、nn*a0x0x 仅有一个值，记n 是奇数a0x0为na个数n 是偶数a0a0x 有两个值，且互为相反数， 记为 n ax 不存在2根式(1)定义：式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 (2)性质：(n1，且 nn*)nnn n a , n为奇数 ( a) a . a a , n为偶数.3分数指数幂的意义正分数指数幂m规定：a1mnn am(a0，m，nn*，且 n1)4有理 数指 数分数指负分数指数幂规定：anamn1nam幂 的运 算数幂0 的分数指数幂0，r，sq)(a0，m，nn*，且 n1)0 的正分数指数幂等于 0 , 0 的负分数指数幂 没有意义性

5、质(1)aras ars(a(2)(ar)s ars(a0，r，sq)(3)(ab)r a r b r(a0，b0，rq)四、典例分析、举一反三题型一根式的化简(求值)例 1 求下列各式的值(1)3( -8)3(2) ( -10)2(3)4(3 -p)4(4) ( a - b )2【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )n 时,n*22nn*nn*2224(- )-3关键是明确是否有意义,只要有意义,则( )n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 的正负,再结合

6、 n 的奇偶性给出正确结果.跟踪训练一1.化简中 an(1) (x)(x，nn6 )；(2) 4a1 4a1 a .【答案】见解析【解析】 (1)x，x0.n当 n 为偶数时， (x)|x|x；n当 n 为奇数时， (x)x.x，n为偶数，nn ，综上可知， (x)x，n为奇数，nn .1(2)a ，12a0，26 4a6 6 34a1 (2a1) (12a) 12a.题型二分数指数幂的简单计算问题例 2 求值【答案】见解析16 3 2 3 2 27 【解析】 ( ) 4 =( ) 4 =( )-3 =81 3 3 828 3=(23)232=2 3=2 2 =4解题技巧：(分数指数幂的运算技

7、巧)1. 对于既含有分数指数幂 ,又含有根式的式子 ,一般把根式统一化成分数指数幂的形式 ,以便于计算.如果根 式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2. 对于计算题的结果 ,不强求统一用什么形式来表示 ,但结果不能同时含有根号和分数指数 ,也不能既含有 分母又含有负指数.跟踪训练二1.计算- -0-3-22013x(1) ; (2)0.00【答案】见解析-; (3) ; (4)(2a+1) ; (5) - .【解析】(1)- -.(2)0.00-=(0.2 =0.2 = =5 =25.(3)-.-(4)(2a+1) =-无意义- .- - -(5) - - = - =- .题型三根式与

8、分数指数幂的互化例 3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a0）【答案】见解析【解析】2a 2 3a 2 =a 2 a3=a2 +2 83 =a 3a3a = a a13= a434 1=( a 3 ) 2 =a23解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1） 根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子（2） 在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 跟踪训练三1下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )a x(x)12(x0)6 1b. y2 y (y0)34cx 3 4【答案】c(x0)1 3dx x(x0) 3611131x x

9、x-0.75-0.5【解析】 xx13 4 x (x3) 4124116 3(x0)； y2 (y)2 y (y0)； - 3 13(x0)；x 3 (x0)题型四利用分数指数幂的运算性质化简求值例 4 计算:0.06- -+16 + -.【答案】【解析】原式=(0.43 -1+(-2)-4+(24 +(0.12 =0.4-1-1+ +0.1= .解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1) 进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的 顺序(2) 在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算(3) 对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示跟踪训练四1.计算: +2-2-(0.01);2 .化简:- - - -(a0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+=1+ .(2)原式= - -=-=- -.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计4.1.1 n 次