常微分方程试题及答案

1、第十二章常微分方程（A）、是非题1 任意微分方程都有通解。（X ）2 微分方程的通解中包含了它所有的解。（X ）3 .函数y 3sinx 4cosx是微分方程y y 0的解。（O ）4函数y x2 ex是微分方程y 2y y 0的解。（X ）1 25.微分方程xy In x 0的通解是y - I nx C （C为任意常数）。（O ）26. ysin y是一阶线性微分方程。（X ）7. yx y xy不是一阶线性微分方程。（O ）8. y2y 5y 0的特征方程为r2 2r 50。( O )9.矽1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。（O ）dx、填空题1. 在横线上填上方程的名称 y 3

2、 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。 xy2 x dx y x2y dy 0是可分离变量微分方程。 x y In 丫是齐次方程。dxx xy y x2 sin x是一阶线性微分方程。 y y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。2. y sin xy x cosx的通解中应含_3个独立常数。13. y e 2x 的通解是-e 2x C1x C2。414. ysin2xcosx 的通解是sin 2xcosx C1xC2。45. xy2x2y2 x3y x41是3阶微分方程。6 .微分方程y y y 6 0是阶微分方程。167.8.1丄所满足的微分方程是yx空的通解为yxCx2。9.

3、dxdy 0的通解为x10.dydx2yx 15x 1 2 ,其对应的齐次方程的通解为y C xx211.方程xy 112.3阶微分方程0的通解为y Cxe21 6 x 120x3 * 5 6 7 8的通解为yCXC2 x C 3、选择题1.微分方程xyy3 y4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B2 .微分方程x51的通解中应含的独立常数的个数为A. 3 B3.下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0的解（A . y 2x B . y x2 C .2x Dcosxa cosxC. yx asinx bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。A.

4、y 2y 0y xy 3y20C. 5y 4x 0y 2y 1010.微分方程y0满足初始条件y0 1的特解为（A ）A. ex B .exxxC . e 1 D .2 e11.在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）A.y 1 B . y x C . ysin xD . y ex12 .过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程yy x应满足的关系是A .y2x B . y2x C.y2x,y13 D.y 2x, y13 .下列彳微分方程中，可分离变量的是(B)0A .dyy eB.dyk xab y ( k,a , b是常数）dxxdxC.dysin y xD.yxy2yx

5、edx14 .方程y 2y 0 白勺通解是（C )。A .ysin x B .y 4 e2xC .yC2 xe D .xy e1dx15 .微分方程坐ydyx0满足y |x 34的特解是（A ）oA. x2 y225B3x 4y CC . x2y2C D . x2 y2716 .微分方程dy1y0的通解是y ( b ) odxxA . C B.CxC.-CD . x Cxx17 .微分方程yy0的解为（B)0A . ex B.exCxx.e eD .ex18 .下列函数中，为微分方程xdxydy 0的通解是（B ）OCx2 y 0A. x y C B . x2 y2 C C . Cx y 0

6、D19. 微分方程2ydy dx 0的通解为（A ）A.y x C B . y xC C . y x C DA.sin xcosy CB.cos ysin xCC.cosxsin y CDcosxsin yC21.y ex的通解为y(C )oA.xeB . e xC . e xC1 xC2D.e x C1x C22.按照微分方程通解定义，ysinx的通解是（A )oA.sin x C1x C2Bsin xC1C2C.sin xC1x C2Dsin xC1 C220.微分方程cosydysin xdx的通解是（D ）o四、解答题1. 验证函数y C e3x e2x（C为任意常数）是方程巴 e 2

7、x 3y的通解,dx并求出满足初始条件ylx。0的特解。2 22.求微分方程xy 1dx y1 x dy 0的通解和特解。 y Ixo 1解：C , 2x2 y211 x3.求微分方程鱼tan的通解dx x x解：sin 丫 Cx oxx y4.求微分方程y x的特解。y |x1 2解：y2 2x2 ln x 2 o5 .求微分方程y y cosx e sinx的通解解:y e sin x x C6.求微分方程 翌 sin x的通解。dx x1解：y si nx xcosxx解。7 求微分方程2解：y 3X8 求微分方程xy|2y xx解：y x3 3x9 求微分方程y解: arcta ny

8、x72y x 1至0的特解。满足初始条件x12yy满足初始条件xtan x10 .验证二元方程2y y 2x y的解11.解:12.解:13.14.解:求微分方程eex 1 ey1x2xyy2dx0, y 1 , y 3的特解。0，y 1，y 2的特解。所确定的函数为微分方程ey dy 0的通解。求鱼 y ta n x dxxycosx验证y1 cos x求微分方程ysecx ,y lx0的特解。22y Cx x In x2y 0的解，并写出该方程的通15 .求微分方程yx1-yxx e0满足初始条件y10的特解。解：y exx16.求微分方程dy2yx 1 3的通解。dxx1解: y x 1

9、2 21. 试求y x的经过点M 0,1且在此点与直线y解：y x3 x 16 2(B)、是非题1 .可分离变量微分方程不都是全微分方程。（X ）2. 若y1 x , y2 x都是y P x y Q x的特解，且y1 x与y? x线性无关,则通解可表为y xy1 x C y1 xy2 x。( O )3. 函数y e 1x e 2x是微分方程y 1 2 y 1 2y 0的解。（O ）4. 曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y x2 C（C是任意常数）。（X ）21C217.求微分方程 xdxy-dy 0满足条件y01的特解。1y1 x解：2 y3x33 y2

10、 2x? 518.求微分方程yy2y0的通解。解：y Gex C2e2x19.求微分方程y2y5y0的通解。解：y e x C1 cos2x C2 sin2x20. 求微分方程y 4y 4y 0的通解解：yC1C2X e2xx-1相切的积分曲线25 .微分方程ye2x y,满足初始条件1y|x0 0的特解为*尹1。（X ）二、填空题1 . y1 cosx 与 y2sin x是方程y y0的两个解，则该方程的通解为y G cosx C2sinx2.微分方程2y3y 0的通解为yC1e xC2e3x o3.微分方程2yy 0的通解为yC1 C 2 x e o4.微分方程e2x的通解是y 8e2x2

11、x C?x C3 o5.微分方程y的通解是yC1exC2 o6.微分方程dydx2xy的通解是y Cx2e 、选择题1.微分方程4y 4y 0的两个线性无关解是（C ）A . e2x 与 2 e2x B . e 2x与 x e 2x C . e2x 与 x e2x D . e 2x 与 4e 2x2 .下列方程中，不是全微分方程的为（C ）A. 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dyB . eydxx ey2ydyC. y x 2y dx x2dy 0y dxxdy3.下列函数中，哪个函数是微分方程t g的解（C2A . s gt B . s gt C . s12gt4.下列函数中，是

12、微分方程y 7y12y0 的解（C ）x2 C . y e3x D .2xy e5.方程 1 x2 y xy0的通解是（D ）C.y ：1一x2x3 Cx21 2xCxe 26 .微分方程y ln xdxx In ydy满足yl1 1的特解是（A ）A. In2x in2 yB.ln2x ln 2 y 1C. In2 x In2;y 0D .ln2 x ln2y 17.微分方程1x2 dy1 y2 dx0的通解是（A )。A. arctan xarctan yCB .tan x tan yCC. ln x ln yCDcot x cot yC8 .微分方程ysinx的通解是（C ）。A.y s

13、inxB.ysinxC. ysinxC1|X C2Dy sinx C1 x C 29 .方程xy y3的通解是（A )。“C C3cCcCA. y3B .y -C.y一3 D . y3xxxx四、解答题1.求微分方程y 9y24x6 cos3x 2sin3x的通解。解：y 0 xcos3xC22x2x sin x3x2.求微分方程y 7y6ysin x的通解。解：y C1e6xC2ex17 cosx5sin x743.求微分方程3x2 2xy y2dxx2 2xy dy0的通解。C解：y2 xy x2x（）、是非题1 只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。X2 .已知二阶线性齐次

14、方程 y P x y Q x y 0的一个非零解y，即可 求出它的通解。（0 ）二、填空题1 .微分方程 y 4y 5y 0的通解是 y e2x Cicosx 2sinx。2 .已知 y 1 , y x ,y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为y e2x C1 cosxC2sin x。3.微分方程2y2y ex的通解为yxe C1 cos x C2 sin x 1 。三、选择题1.微分方程1牙的通解为（x x 1A. arctanx1 arctan xx1C . arctanx C D x.arctanx2.微分方程1的通解是（3.4.5.A . y C exB . y C

15、3的解是()y 0A . y 3 11 B . yxex 1 D .31微分方程光x tanx的通解为（）A . sin CxxB . sinxCx C .xsinyCx.xsiny1Cx已知微分方程51 的一个特解为72，则此微分方程的通解是（）211C. C x 12x116.微分方程y1的一个特解应具有形式（式中a , b为常数）（）A . aex bB . axexaex bx D .axex bx四、解答题1.设y ex是微分方程xyx的一个解，求此微分方程满足条件y|x ln2 0的特解。解：代入yex到方程xyP x yx 中,得p xxxex原方程为xyxe x x yxyxe

16、 xe 1 C e，yxe 1y 1/ x In 2，y 0 二 C1e 2。eyex 1 ex 12。2 .已知 y1 xex2xe ， y2xexxe ，y3x2xxe ee x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。解：y y3 e x , y3 y2 e2x 2e x均是齐次方程的解且线性无关。Ge x C2 e2x 2e x是齐次方程的通解。当Ci 2，C2 1时，齐次方程的特解为e2xex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。 Cie x C2e2x是齐次方程的通解。由此特征方程之根为-1 , 2,故特征方程r2 r 20。相应的齐次方程为y y 2y 0故所求的二阶非齐方程为y y 2y f xyi是非齐次方程的特解代入上式得xf x 1 2x e所以y y 2y 1 2x ex为所求的微分方程。3 .已知f 0 1 ,试确定f x，使ex f x ydx f x dy 0为全微分方程，并 2求此全微分方程的通解。解：P ex f x y， Q f x，由-Q 得x yf x ex f x，即 f x f x exdx x dxe eex x C-dy 02解得u x, yx0dx01得全微分方程：ex ex x - ydx ex x故此全微分方程的通解为ex x 1 y C224 .微分方程