关于罗尔定理有关问题的证明方法

1、罗尔定理的应用题：1.设函数 f(x)在a,b上二阶可导，且 f(a)二 f(b) =0 , f (a) f (b)0.又 g(x)在(a,b)内二阶可导，且g(x)式O,g“(x)(b)式0，证明：韭乏(a,b)，使得f 二f(g)g(A证明：构造辅助函数F(x) =f (x)g(x) f(x)g (x)。由于g(x)在(a,b)内二阶可导，且g(x) = O,所以g(x)在(a, b)上恒正或恒负，不妨假设 g(x) .0,-x(a, b).由于 f (a) f(b) 0，不妨假设 f (a) 0, f (b) 0,则 F(a)二f (a)g(a) 0, F(b) = f (b)g(b)

2、. 0 因为f (a) 0二lim f(x) 一 f (a)0， f (b) 0= lim丄型 0，由极限的保号性，xt+x_a7 - x_b存在人(a,a 、),使得 f (xjf (a) =0，存在 x2 (b-、,b),使得 f (x?) ： f(b) = 0.显然有为：X2 (因为可以取足够小).在闭区间x上应用区间套定理，可得(论兀)，使得f (xj = 0f(X。)乞0事实上，取为兀二aj,f(aj 二 f(x,) 0,f (bj = fg) ：0，将区间七二等分，取其中之一的子区间为 旧2,，它满足f (a?) 0, f (b2： 0，按照这种规则一直取下去，就得到一个闭区间套a

3、n,bn，0- =与色 0(n：)，由闭区间套定理，存在 讽任，x2)使得lim an = x0二lim bn，由极限的保号性知nnCf(X。)= f (lim an) =lim f) -0， f (x) = f (lim bn)二 lim f(bn)乞0，故 f (x) = 0，再由拉格朗日定理得f ( n)二 一0, n (an,bn)，且limx0，bn-anF”m一 f ( n)二 f Qm n) = f (冷)0 (极限保号性)从而 F(X。)=(X)g(X0)乞0 ,i) 若 F(x。)：0，因为 F(a) 0,由零点定理得i (a,x)，使 F( J = 0，又因为F(b) 0,

4、由零点定理得 2 (x0,b)，使F( 2) =0，最后在i, 2上对函数F(x)应用罗尔定理，即存在(a, b),使得F)=0，从而得到f 牡)=f(r) g( ) = g().ii) 若F(x)=O，因为F(x)在a,b上连续，且F(a) 0, F(b) 0 ,由连续函数的最值定理，必(a,b)，使得F( )= min F(x)，即F(x)在a,b内部取到最小值，由费马定理得F ( )=0 ,x 竟a,b因而得到 1X2 =丄O.证毕！ge g(E)点评：在证明形如存在某一中值 e (a, b)，使其满足方程 护f (x), f (x)=0 ”，这一类问题中，基本的思路：1)构造辅助函数 F(x), x a,b，(借助微分运算的方法，k值法等)；2)验证F(x)满足罗尔定理的三个条件，若满足，则存在(a,b)，使得F ( )=0，命题得到证明。一般罗尔定理的前两个条件往往容易满足，端点值相等这个条件有时不易满足，此时就要通过题设条件，找到一个子区间 xi,X2a,b，使其满足F(Xi)=F(X2)，然后在闭区间xix上应用罗尔定理。若利用题设条件不易找到子区间xi,x2 a,b，那么证明的思路就要转向去寻