10.6 静电场中的导体和电介质

1、主要研究主要研究 （1）电场对导体和电介质的作用；电场对导体和电介质的作用； （2）导体和电介质对电场的影响；导体和电介质对电场的影响； 电场电场 物质物质 10-7 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 从导电性来讲，物质可分为三类：从导电性来讲，物质可分为三类： 导体、半导体和绝缘体。导体、半导体和绝缘体。 导体导体：有能自由移动电荷的物体。如金属导体，电：有能自由移动电荷的物体。如金属导体，电 解质溶液，气体等离子体解质溶液，气体等离子体课本主要指金属导体，课本主要指金属导体， 自由电荷是自由电子。自由电荷是自由电子。 10.7.1 导体的静电平衡导体的静电平衡 1. 导体导体

2、自由移动自由移动：只要有不为零的电场力，就会定向运动。：只要有不为零的电场力，就会定向运动。 2. 导体的静电感应导体的静电感应 1）无外电场时）无外电场时 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 2）加上外电场后）加上外电场后 E 外外 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + 导体的静电感应过程导体

3、的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + + + + 导体的静电感应过程导体的静电感应过程 + 加上外电场后加上外电场后 E 外外 + + + + + + + + + 问题：导体的静

4、电感应过程能问题：导体的静电感应过程能无休止无休止进行下去吗？进行下去吗？ 1)有电源和闭合回路时有电源和闭合回路时可以。靠其他形式的能驱使可以。靠其他形式的能驱使 自由电荷不断定向移动。自由电荷不断定向移动。 2)孤立导体孤立导体不可以。有一个极限不可以。有一个极限静电平衡：静电平衡： 0 E E 总 E 感 E 施 E t0 + + + + + + + + + + 3. 导体达到静电平衡导体达到静电平衡 E外 外 E 感感 0 感外内 EEE 感应电荷感应电荷感应电荷感应电荷 静电感应静电感应：导体内的自由电荷在外电场作用下产生：导体内的自由电荷在外电场作用下产生 定向移动，使得导体表面出

5、现感应电荷的现象。定向移动，使得导体表面出现感应电荷的现象。 感应电荷感应电荷：由于静电感应而在导体表面产生的净电荷。：由于静电感应而在导体表面产生的净电荷。 感应电场感应电场：由感应电荷激发的电场，起到削弱原施感：由感应电荷激发的电场，起到削弱原施感 电场的作用。电场的作用。 静电平衡静电平衡：感应电场与原施感电场抵消：感应电场与原施感电场抵消导体内导体内电电 场为零场为零( (电学特征电学特征) )，导体内无宏观电荷的定向，导体内无宏观电荷的定向移动移动( (力力 学特征学特征) )的状态（静电平衡条件）。的状态（静电平衡条件）。 1 1、电势方面、电势方面 2 2、电场方面、电场方面 3

6、 3、电荷方面、电荷方面 10.7.2 静电平衡导体的静电平衡导体的电学特征电学特征 静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势面。静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势面。 (导体只有一个电势值导体只有一个电势值) 证明：在导体上任取两点，证明：在导体上任取两点， 电势差为：电势差为： baab UUU l lE Ed b a a b , 0UU baba UU 导体为等势体，导体表面为等势面。导体为等势体，导体表面为等势面。 静电平衡时导体中静电平衡时导体中 0E 1)方向方向:静电平衡时静电平衡时;场强方向与导体表面垂直场强方向与导体表面垂直 由于静电平衡时导体表面为等势面，由于静电平衡时导

7、体表面为等势面， 由等势面的性质，场强方向垂直于等势面，由等势面的性质，场强方向垂直于等势面， 所以场强垂直于导体表面。所以场强垂直于导体表面。 反之，如果场强不垂直于表面，电场力反之，如果场强不垂直于表面，电场力 继续移动电荷，不满足静电平衡条件。继续移动电荷，不满足静电平衡条件。 金属球放入前电场为一均匀场金属球放入前电场为一均匀场 E 金属球放入后电力线发生弯曲金属球放入后电力线发生弯曲 电场为一非均匀场电场为一非均匀场 + + + + + E 2)大小大小:静电平衡时静电平衡时;导体表面附近的场强导体表面附近的场强 大小为大小为: 0 E 证明：证明：垂直导体表面作垂直导体表面作 一小

8、高斯柱面，外底面一小高斯柱面，外底面 上的场强近似不变。上的场强近似不变。 S S EdScos, 0 q Sq 内底侧外底 S 0 0E E,0 内底 ,0 侧 S SE Ed 外底 dSE ES 00 Sq 0 E证毕证毕 注意：注意： 1.E不是面积不是面积S产生的，是整个导体产生的。产生的，是整个导体产生的。 2. E 是导体是导体外外表面表面之外之外附近附近很近处很近处的场强。的场强。 几个公式的对比几个公式的对比 0 E 静电平衡时导体静电平衡时导体内无内无宏观净电荷宏观净电荷，所有宏，所有宏 观净电荷电荷分布于外表面。观净电荷电荷分布于外表面。 证明：导体内取任何闭合面证明：导体

9、内取任何闭合面 0 q d S S SE E 静电平衡时静电平衡时E = 0， 0q ,0q 0 0E E 所以静电平衡时导体内无宏观净电荷。所以静电平衡时导体内无宏观净电荷。 高高 斯斯 面面 或：导体的宏观净电荷只分布在外表面或：导体的宏观净电荷只分布在外表面 反之，如果体内有宏观净电荷反之，如果体内有宏观净电荷 与静电平衡矛盾与静电平衡矛盾 避雷针避雷针 尖端放电尖端放电:尖端场强特别强，足尖端场强特别强，足 以使周围空气分子电离而使空以使周围空气分子电离而使空 气被击穿，导致气被击穿，导致“尖端放电尖端放电”。 怎么分布？怎么分布？一般导体表面上的电荷分布一般导体表面上的电荷分布,与导

10、与导 体外表面形状有关体外表面形状有关,还和它周围电场有关。还和它周围电场有关。 孤立孤立带电体的电荷分布规律只与外表面带电体的电荷分布规律只与外表面形状形状有有 关；导体上电荷面密度大小只与带电量及该处关；导体上电荷面密度大小只与带电量及该处 表面的曲率表面的曲率有关。有关。 曲率较大，表面曲率较大，表面尖而凸出部分尖而凸出部分，电荷面密度较大，电荷面密度较大 曲率较小，表面曲率较小，表面比较平坦部分比较平坦部分，电荷面密度较小，电荷面密度较小 曲率为负，表面曲率为负，表面凹进去的部分凹进去的部分，电荷面密度最小，电荷面密度最小 孤立导体的电荷分布的孤立导体的电荷分布的半定量半定量分析：分析

11、： 孤立导体：孤立导体：导体周围无其它带电体。导体周围无其它带电体。 1 R 2 R 球球 1 电势电势 10 1 1 4 U R q 2 1 1 0 1 4R qR 0 11 R 一般导体较为复杂，为了简化，这里用以一般导体较为复杂，为了简化，这里用以 无限长导线相连的两个导体球简化模型：无限长导线相连的两个导体球简化模型： 无限长细导线无限长细导线 导体：导体：整体等势整体等势；细：；细：基本无基本无 电荷电荷；无限长：；无限长：2小球电荷分小球电荷分 布无相互影响。布无相互影响。 1 R 2 R 球球 2 电势电势 20 2 2 4 U R q 2 2 2 0 2 4R qR 0 22

12、R 两导体相连，故电势相等：两导体相连，故电势相等： 21 UU 0 22 0 11 RR CR R 1 注：不是一个普遍规律！注：不是一个普遍规律！ 如：连接线较短时，相如：连接线较短时，相 同的同的R有不同电荷密度有不同电荷密度 无外场时，自身带电导体也会处于静电平衡态无外场时，自身带电导体也会处于静电平衡态 1 2q 1 q 1 0q 静电平衡态是静电平衡态是能量最小能量最小( (能量特征能量特征) )的状态。任何导体都的状态。任何导体都 总是总是会趋于能量最低的静电平衡态会趋于能量最低的静电平衡态( (就像热力学系统趋就像热力学系统趋 于能量最低的热平衡态于能量最低的热平衡态).).静

13、电平衡态是静电平衡态是唯一确定唯一确定的。的。 库仑力是长程力，自由电荷库仑力是长程力，自由电荷 间的库仑作用使得电荷出现间的库仑作用使得电荷出现 集体移动，最后处于能量最集体移动，最后处于能量最 低的静电平衡态。低的静电平衡态。 1 1、电势方面、电势方面 2 2、电场方面、电场方面 3 3、电荷方面、电荷方面 静电平衡导体的静电平衡导体的电学特征电学特征 1)静电平衡时导体为等势体；静电平衡时导体为等势体；2)导体表面为导体表面为 等势面。等势面。(导体只有一个电势值导体只有一个电势值) 1)导体导体内部内部电场为零电场为零或电场线无法穿透导或电场线无法穿透导 体；体；2)导体导体表面表面

14、场强场强方向方向与导体表面垂直；与导体表面垂直；3) 导体表面附近的场强大小为：导体表面附近的场强大小为： 0 /E 1)静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分布于静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分布于 外表面外表面;2)电荷面密度与导体表面附近的电场成正电荷面密度与导体表面附近的电场成正 比比;3) 一般来说表面曲率大的地方电荷密度高。一般来说表面曲率大的地方电荷密度高。 所有静电平衡导体的特征：所有静电平衡导体的特征： 能量必定处于唯一确定的最低状态能量必定处于唯一确定的最低状态 与静电平衡的类型无关：不管是外部电与静电平衡的类型无关：不管是外部电 场，空腔内部电场导致的静电平衡，还场，空

15、腔内部电场导致的静电平衡，还 是自身带电导致的静电平衡。是自身带电导致的静电平衡。 静电平衡导体的静电平衡导体的能量特征能量特征 10.7.3 有空腔的导体壳和静电屏蔽有空腔的导体壳和静电屏蔽 问题：问题： 怎样使得一个区域不受其他电场影响？或该区怎样使得一个区域不受其他电场影响？或该区 域电场不影响其他空间。域电场不影响其他空间。能否利用静电感能否利用静电感 应进行静电屏蔽？应进行静电屏蔽？ 1)导体球壳能屏蔽外电场，使得导体球壳能屏蔽外电场，使得 腔内空间不受外电场影响吗？腔内空间不受外电场影响吗？ q 2 r 1 r Q 如果无外部施感电场，腔内电场如果无外部施感电场，腔内电场 为零。那

16、么，有外部施感电场时，腔为零。那么，有外部施感电场时，腔 内空间电场还为零吗？内空间电场还为零吗？(为零则被屏蔽为零则被屏蔽) 分情况讨论：分情况讨论： 反证法反证法：如在内表面存在等量异：如在内表面存在等量异 号电荷，则腔内有电力线，移动号电荷，则腔内有电力线，移动 电荷作功。所以导体不是等势体，电荷作功。所以导体不是等势体， 与静电平衡条件矛盾。与静电平衡条件矛盾。 所以：内壁无感应电荷，所有所以：内壁无感应电荷，所有 感应电荷分布于外表面；腔内感应电荷分布于外表面；腔内 无感应电场。无感应电场。 导体的外电场无法影响腔内空导体的外电场无法影响腔内空 间间导体壳对内部空腔有静电导体壳对内部

17、空腔有静电 屏蔽作用。屏蔽作用。 Q 2）问题：）问题：闭合导体壳能屏蔽腔内的电场，使闭合导体壳能屏蔽腔内的电场，使 得外表面空间完全不受腔内电荷的影响吗？得外表面空间完全不受腔内电荷的影响吗？ 以最简单情况以最简单情况球对称性情况为例：球对称性情况为例： 1 q 1 q 1 - q 腔内球心电荷腔内球心电荷q1使球壳产生感应，内壁按球对称使球壳产生感应，内壁按球对称 产生产生-q1感应电荷，外壁按球对称产生感应电荷，外壁按球对称产生+q1感应电感应电 荷荷会对外界激发电场。会对外界激发电场。故闭合导体球壳不能故闭合导体球壳不能 屏蔽腔内电荷对外界电场的影响屏蔽腔内电荷对外界电场的影响 如果将

18、导体壳如果将导体壳接地接地呢？呢？ 外壳电荷外壳电荷q1移动到地面，移动到地面， 外部无电荷，也就无电场。外部无电荷，也就无电场。屏屏 蔽蔽了腔内电场对外的影响。了腔内电场对外的影响。 3)导体壳自身带电时导体壳自身带电时自身电场会影自身电场会影 响腔内和外界吗？响腔内和外界吗？ q 2 r 1 r 导体球壳最后会处于静电平衡。导体球壳最后会处于静电平衡。 因此自身电荷会分布于外球面，因此自身电荷会分布于外球面， 分布结果使得外表面成为等势面分布结果使得外表面成为等势面 ，分布比例关系是唯一的。，分布比例关系是唯一的。 导体球壳导体球壳自身电荷在腔内不激发电场自身电荷在腔内不激发电场；仅仅；仅

19、仅 在外部激发电场。在外部激发电场。 导体球壳接地，则自身电荷流入地面，在腔内导体球壳接地，则自身电荷流入地面，在腔内 和外部都不激发电场。和外部都不激发电场。 静电屏蔽静电屏蔽 接地封闭导体壳外部的场不受壳内和壳体接地封闭导体壳外部的场不受壳内和壳体 电荷的影响。电荷的影响。 封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场 不受外电场的影响；不受外电场的影响； + + + + E 0 E 前面讨论了前面讨论了： 1）只有外部有电荷；）只有外部有电荷； 2）只有腔内有电荷；）只有腔内有电荷； 3) 只有导体壳带电只有导体壳带电 3种情况的静电屏蔽问题种情况的静电屏蔽问

20、题 问题扩展问题扩展： 以上情况导体中内外电荷的分布问题？以上情况导体中内外电荷的分布问题？ 以上情况的叠加？以上情况的叠加？ 1 1）只有自身带电）只有自身带电时时, ,带电导体带电导体自身自身电荷只分布在外电荷只分布在外 表面表面, ,自身电荷分布关系自身电荷分布关系只由外表面形状确定只由外表面形状确定（有无（有无 内壁都一样内壁都一样不受内壁形状影响）不受内壁形状影响）. .自身分布使得自身分布使得 表面电场垂直外表面表面电场垂直外表面, ,外表面为等势面外表面为等势面, ,导体为等势导体为等势 体体(U(U1 1)外表面的外表面的自身自身电荷分布是电荷分布是唯一唯一的。的。 2 2）只

21、有外场）只有外场时时, ,中性导体中性导体外表面的外表面的感应感应电荷只分电荷只分 布在导体外表面布在导体外表面, ,感应电荷分布使得外表面为等势感应电荷分布使得外表面为等势 面面(U(U2 2) ,) ,分布关系也是分布关系也是唯一确定唯一确定的。分布关系的。分布关系由由 外电场和外表面共同确定外电场和外表面共同确定（有无内壁都一样）（有无内壁都一样） 。 1 1、导体壳外表面的电荷分布情况讨论：导体壳外表面的电荷分布情况讨论： 4 4）只有腔内有施感电荷）只有腔内有施感电荷时，外时，外 表面电荷的分布情况？表面电荷的分布情况？ 3 3）既有外场）既有外场，自身也带电自身也带电时，导体外表面

22、电荷时，导体外表面电荷( (感应感应 + +自身自身) )分布由前面两种情况分布由前面两种情况叠加叠加得到得到也是唯一的也是唯一的 ，结果使得外表面为等势面（，结果使得外表面为等势面（ U U1 1 +U +U2 2 ）。）。 表面电荷分布由外电场和外表面表面电荷分布由外电场和外表面 形状形状共同确定共同确定叠加原理叠加原理 电量及分布是唯一的吗？由什么确定？电量及分布是唯一的吗？由什么确定？ 总电量由腔内施感电荷决定总电量由腔内施感电荷决定. . q q1 1在球心时在球心时, ,外表面电荷呈球对称分布外表面电荷呈球对称分布, ,使外壁电场垂使外壁电场垂 直外表面直外表面外表面为等势面。外表

23、面为等势面。 + 1 q 1 q 1 q 腔内施感电荷偏心时，腔内施感电荷偏心时，外表面电荷的分布情况改变？外表面电荷的分布情况改变？ 受腔内施感电荷分布影响吗？受腔内施感电荷分布影响吗？（难点）（难点） 导体壳导体壳外表面电荷分布关系与腔内电场无外表面电荷分布关系与腔内电场无 关，只与外电场和外表面形状有关。关，只与外电场和外表面形状有关。分布分布 是是唯一的，结果唯一的，结果使得使得外表面成为等势面。外表面成为等势面。 A.A.内壁的感应电荷分布使内壁等势；内壁的感应电荷分布使内壁等势； B.B.腔内腔内电场线不穿透导体电场线不穿透导体； C.C.导体是等势体导体是等势体, ,内外表面都是

24、等势面内外表面都是等势面 外表面成为等势面应由外表面电外表面成为等势面应由外表面电 荷分布使然。荷分布使然。 等效于等效于取消内腔，给导体壳带取消内腔，给导体壳带 等量电荷情况。等量电荷情况。 1 q + 1 q 1 q 1 q 2、腔内壁电荷分布受哪些因素影响？、腔内壁电荷分布受哪些因素影响？ + 1 q + 1 q 1 q 2 q 腔内感应电荷的分布腔内感应电荷的分布与外部电场无关，与外部电场无关，只与只与腔内腔内 施感电荷的分布及腔体内壁的形状有关；施感电荷的分布及腔体内壁的形状有关；结果使结果使 得内壁成为等势面。得内壁成为等势面。 2）腔内施感电荷的分布）腔内施感电荷的分布 1）腔内

25、施感电荷的电量？）腔内施感电荷的电量？会影响感应电荷总会影响感应电荷总 量量(施感电荷发出的电场线会全止于内壁施感电荷发出的电场线会全止于内壁,不穿透金不穿透金 属壳。故施感电量属壳。故施感电量=感应电量感应电量)；但；但不影响分布关系不影响分布关系 3）导体壳内壁形状）导体壳内壁形状 外部电场和自身电荷对内壁感应外部电场和自身电荷对内壁感应 电荷分布有影响吗？电荷分布有影响吗？ 无。因都向外激发电场，没无。因都向外激发电场，没 有任何电场传统导体壳进入内腔有任何电场传统导体壳进入内腔 导体导体外表面外表面电荷电荷分布关系分布关系由外场和外表面形状共同决由外场和外表面形状共同决 定与内部电场无

26、关定与内部电场无关(腔内施感电荷只影响外壁电荷总量腔内施感电荷只影响外壁电荷总量, 不影响分布关系不影响分布关系),结果结果能且只能能且只能使得外表面成为等势面使得外表面成为等势面 腔内施感电荷只影响外表面电荷总量，等效于给腔内施感电荷只影响外表面电荷总量，等效于给 导体壳带上同量电荷导体壳带上同量电荷(接地后对外影响也消失接地后对外影响也消失) 因电场不能穿透导体，内因电场不能穿透导体，内/外外 部电场对外部电场对外/内电荷不产生作内电荷不产生作 用，导体使腔内外用，导体使腔内外相对相对独立；独立； 如果导体如果导体接地接地，则内外，则内外完全相完全相 互屏蔽互屏蔽。 + 1 q + 1 q

27、 1 q 2 q 例：例：1)只有导体壳带只有导体壳带q1电荷时电荷时,导体球壳表面电导体球壳表面电 荷分布是否均匀荷分布是否均匀?增大到增大到2q1呢呢?不规则导体呢？不规则导体呢？ + 2)只有腔内带有只有腔内带有q1施感电荷时施感电荷时,导体球壳表面电导体球壳表面电 荷分布是否均匀荷分布是否均匀?与情况与情况1是否有差别是否有差别?不规则？不规则？ s q 1 0 3)导体壳外表面积为导体壳外表面积为s,只有外电场时只有外电场时,在在p点附近点附近 的表面电荷密度为的表面电荷密度为0,当在腔内放当在腔内放q1电荷时电荷时,该点面该点面 电荷密度是：电荷密度是： ？再给导体壳带上？再给导体

28、壳带上q2 电荷呢？不规则呢？电荷呢？不规则呢？ 1 q p 0 1 q 1 q + 0 p 1 q + 1 q 2 q 321 UUUU 4）球壳内有）球壳内有q1电荷，球壳带电荷，球壳带q2电荷，外面电荷，外面 有有q3施感电荷。只有施感电荷。只有q1时球壳电势为时球壳电势为U1， 只有只有q2时球壳电势为时球壳电势为U2，只有，只有q3时球壳电时球壳电 势为势为U3.求同时存在时的球壳电势？求同时存在时的球壳电势？ + 1 q 21 qq 1 q + 3 q 思考：思考：U1，U2，和，和U3分别为多少？分别为多少？ 电荷守恒定律电荷守恒定律 静电平衡条件静电平衡条件 1）电荷分布）电荷

29、分布 E ）2 u）3 10.7.4 静电平衡的电学量计算问题静电平衡的电学量计算问题 叠加定理叠加定理 典型问题典型问题1：系列带电平行板问题：系列带电平行板问题 AB 已知已知:导体板导体板A带电量带电量QA,B板带板带QB,面积都为面积都为S。 求：求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布上的电荷分布及空间的电场分布 (2)将将B B板接地，求电荷分布板接地，求电荷分布 1 3 2 4 1 E a 2 E 3 E 4 E 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 a点点 + 解解:设面电荷密度如图设面电荷密度如图( 都为正都为正)。取向右为正。取向右为正 。由静电平衡有：。由静电

30、平衡有： 将系统视为将系统视为4个孤立带电平面，薄板电场公式个孤立带电平面，薄板电场公式( 向向两边两边激发电场激发电场) AB 1 2 3 4 b 1 E 2 E 3 E 4 E 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 A21 QSS B43 QSS b点点 A板板 B板板 由电荷守恒有由电荷守恒有: S QQ 2 BA 41 S QQ 2 - BA 32 解方程得解方程得: 电荷分布电荷分布 场强分布（两种方法）场强分布（两种方法） 1、将系统视为、将系统视为4个孤立个孤立 带电平面，薄板电场公带电平面，薄板电场公 式式(向向两边两边激发电场激发电场) 0ii /2E AB 1 2

31、3 4 1 23 b 1 E 2 E 4 E 3 E i EE 注意方向注意方向 1区：区： 4321 EEEE E S QQ 2 BA 41 S QQ 2 - BA 32 0BA41 /SQQE）（ E 2区，区，3区略区略 0ii /E 2、得到具体的导体表面电荷分布后，用导体表面电、得到具体的导体表面电荷分布后，用导体表面电 场和面电荷密度关系求场和面电荷密度关系求(只向导体外一侧激发电场只向导体外一侧激发电场)。 有了有了E，板间电势差也容易求，板间电势差也容易求(略略) AB 1 2 3 4 12 3 a 4 E 2 E 3 E 1 E b c 没有电场能穿透导体没有电场能穿透导体,

32、找到影找到影 响该空间的电荷分布响该空间的电荷分布 1区，只有第区，只有第1面电荷激发的电场面电荷激发的电场 2区，只有第区，只有第2，3面电荷激发的电场面电荷激发的电场 3区，只有第区，只有第4面电荷激发的电场面电荷激发的电场 0BA011 /SQQ/）（E 1区：区： 讨论讨论: 每板每板1个电荷守恒和静电平衡方程：个电荷守恒和静电平衡方程： 方程个数方程个数=板数乘以板数乘以2.板数越多，求板数越多，求 解越复杂。需要总结其中的特征解越复杂。需要总结其中的特征 1)板间电荷密度相反板间电荷密度相反 2)最外两侧的板电荷面密度相同最外两侧的板电荷面密度相同 3)等量同种电荷等量同种电荷:电

33、荷只分布在板电荷只分布在板 外侧外侧,板间电场板间电场/荷为零荷为零; 等量异种电荷等量异种电荷:电荷只分布在板间电荷只分布在板间. AB 3 2 E S QQ 2 BA 41 S QQ 2 - BA 32 (2)将将B板接地，求电荷及场强分布板接地，求电荷及场强分布 A21 QSS 解得电荷分布：解得电荷分布： 41 0 S QA 32 0 222 0 3 0 2 0 1 a点点 0 222 0 3 0 2 0 1 b点点 1 3 2 AB 1 E a 2 E 3 E 4 由静电平衡有由静电平衡有: 电荷守恒电荷守恒: 依然是依然是:板外侧相等，板间相反。板外侧相等，板间相反。 板接地且一侧

34、无其他板板接地且一侧无其他板 时，无板外侧电荷为零时，无板外侧电荷为零 0 4 B接地时接地时 如果接地如果接地C板左侧有板左侧有2块板：块板： 解得电荷分布：解得电荷分布： 61 0 S QA 32 依然是依然是:板外侧相等，板间相反。板外侧相等，板间相反。 板接地且一侧无其他板时板接地且一侧无其他板时,无板外侧电荷为零无板外侧电荷为零 1 3 2 ABC abc 4 5 6 S QQ BA 54 接地板内侧带电为所有同侧板的电荷之和的接地板内侧带电为所有同侧板的电荷之和的 相反相反(怎么理解？怎么理解？) 用前方法要列用前方法要列6个个6变量方程，变量方程， 不好求解！用不好求解！用叠加叠

35、加可以各个可以各个 击破！击破！ 仅仅C板带电时板带电时，A板左侧由于感应板左侧由于感应 而带的电量为而带的电量为: 1 3 2 ABC 1 E a b c 2 E 3 E 4 5 6 扩展扩展1:求多个板的求多个板的 电荷及场强分布电荷及场强分布 如仅如仅A板带电板带电,A板左侧电荷为板左侧电荷为:/2QA 如仅如仅B板带电板带电,其左侧电荷为其左侧电荷为: /2QB 该电荷向左激发的电场对该电荷向左激发的电场对A板有感应板有感应, 结果使结果使A板左侧带电为板左侧带电为: /2QB /2QC 分析分析: :以以A A板左侧为例板左侧为例 A,B,C板板同时存在时同时存在时由叠加原由叠加原

36、理理,A板左侧电荷为板左侧电荷为:2 Q 2 Q 2 Q Q CBA 1 B、C板右侧板右侧 激发电场不激发电场不 到到A板区域！板区域！ 1 3 2 ABC 1 E abc 2 E 3 E 4 5 6 , 依次用电荷守恒和板间电荷相反求得其他量依次用电荷守恒和板间电荷相反求得其他量 由板间电荷相反由板间电荷相反,有有: 23 -QQ 由电荷守恒由电荷守恒,A板右侧电板右侧电 荷为荷为: 1A2 Q-QQ 也可以从右向左求解也可以从右向左求解:(求求C板右侧的电荷密度板右侧的电荷密度) 只有只有C板时板时: 只有只有A板时板时: /2QA 只有只有B板时板时:/2QB /2QC 1 CBA 6

37、 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q 1 3 2 ABC 1 E abc 2 E 3 E 4 5 6 也可以直接求也可以直接求 某板某侧的电某板某侧的电 荷，如荷，如B板左侧板左侧: 只有只有C板时板时: 只有只有A板时板时:/2Q- A 只有只有B板时板时:/2QB /2QC 2 Q 2 Q 2 Q- Q CBA 3 在复杂的情况下在复杂的情况下,以退为进以退为进,分解为几个简单的分解为几个简单的 情况情况,再进行叠加再进行叠加,模块化叠加很有利于问题解模块化叠加很有利于问题解 决。决。(即使超过即使超过10个板个板,也可在也可在1分钟内求解分钟内求解) A21 QSS 0 2 - 2 - 2

38、- 222 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 2 - 2 - 2 - 222 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 1 3 2 ABC 1 E abc 2 E 3 E 4 5 6 由静电平衡，对由静电平衡，对a， b，c分别有分别有: 由电荷守恒，对由电荷守恒，对 A,C板分别有板分别有: 0 2 - 22222 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 C65 QSS 扩展扩展2:将将B板接地，板接地， 求电荷及场强分布求电荷及场强分布 32 - 54 - 又：又： 61 0 1 3 2 ABC 1 E abc 2 E 3 E 4 5 6 解得解得: /SQ

39、- A32 /SQ- C45 )S(Q 34B 从解形式看，接地板将从解形式看，接地板将 两侧互相屏蔽。两侧互相屏蔽。 与接地板与接地板B异侧异侧QC无关无关 与接地板与接地板B异侧异侧QA无关无关 如果无如果无C板，板，B板板C侧无电荷侧无电荷/场；因此接地板左侧区对场；因此接地板左侧区对 右侧的右侧的C板无影响，不影响板无影响，不影响C的电荷分布。反之，右侧的电荷分布。反之，右侧 区也不影响左侧区也不影响左侧A板的电荷分布。板的电荷分布。 故可把接地板两侧分别考虑，把问题简单化。故可把接地板两侧分别考虑，把问题简单化。 注注:接地板带电不为零接地板带电不为零,其某面电荷只受同侧影响。最后求

40、接地其某面电荷只受同侧影响。最后求接地 板的面电荷板的面电荷 与到接地板距离成与到接地板距离成 反比，距离越远，反比，距离越远， 同样电势需要的电同样电势需要的电 场越弱，电量也就场越弱，电量也就 越少。越少。 扩展扩展3:将两侧板接地，将两侧板接地， 求电荷及场强分布求电荷及场强分布 解得解得: 第i板分别相对第1板和第 n板的电势相等 ini UU 1ininii dEdE 11 i ini in i Q dd d Q 1 1 i ini i iR Q dd d Q 1 1 如插入有厚度的中性板j，只影响非接地板i对某接 地板的距离，原板i带电的算法不变。 即即: i ini in i Q

41、 dd d Q 1 1 i ini i iR Q dd d Q 1 1 in d 扣除某板到接地板间的导体板厚度即可。 而中性板j两侧的电量，受原第i板影响。显然： jRi ini in iRj QQ dd d QQ 1 1 如插入有厚度的带电板j，原板i带电情况为只有i板带电， 和只有j板带电，这两种情况的叠加。多个带电板也类 似： 即即: in d 但距离都需扣除i板到接地板间的导体板厚度。 i ini in n i iL Q dd d Q 1 1 2 i ini i n i iR Q dd d Q 1 1 1 2 因为，只考虑一个板带电时，其他板是作为中性 导体板存在，这是会影响式子中的

42、相关距离的。 先由接地情况进行空间划分：先由接地情况进行空间划分：，。 A）从接地板开始求：其外侧电荷为零，内侧从接地板开始求：其外侧电荷为零，内侧 为其他板电荷之和的相反；由板间电荷相反和为其他板电荷之和的相反；由板间电荷相反和 电荷守恒求得与接地板相邻的板的情况，电荷守恒求得与接地板相邻的板的情况， 3)有多个板接地情况有多个板接地情况(稍微复杂稍微复杂) 求解要领：求解要领： 1)无板接地无板接地:用叠加原理直接求解用叠加原理直接求解 2)仅左仅左(或右或右)1个板接地个板接地: 或或B）从接地板异侧开始求：最外侧板外侧面从接地板异侧开始求：最外侧板外侧面 电荷为零，由电荷守恒可求得内侧

43、电荷；由板电荷为零，由电荷守恒可求得内侧电荷；由板 间电荷相反和电荷守恒求得与接地板相邻的板间电荷相反和电荷守恒求得与接地板相邻的板 的情况，的情况， 典型问题典型问题2、电场中导体球壳系列问题、电场中导体球壳系列问题 求图中金属球壳的电势。求图中金属球壳的电势。 q1 O L1 R1 R2 求电势两种基本方法：求电势两种基本方法： 1 R l dEU 壳 duU 壳 利用静电平衡特点：利用静电平衡特点： 等势体等势体：U壳 壳=UO 感壳qqo UUUU 1 壳 U l q U q 10 1 1 4 0 4 10 R q U q 感 感 (电荷守恒电荷守恒) (特殊点特殊点还是更方便计算还是

44、更方便计算) UO利由利由q1和感应电荷和感应电荷 电势电势叠加叠加得到：得到： 中性球壳电势等于外部中性球壳电势等于外部 施感电荷在球心的电势施感电荷在球心的电势 带电球壳？带电球壳？ 推广推广1：球壳带：球壳带q电荷电荷 q1 O L1 R1 R2 q 静电平衡：静电平衡：U壳 壳=UO q1 UUUUU qqo 感壳 10 1 1 4l q U q 0 4 10 R q U q 感 感 10 4R q U q 1010 1 44R q l q U 壳 带电球壳的电势等于外部施带电球壳的电势等于外部施 感电荷在球心的电势，与自感电荷在球心的电势，与自 身电荷引起电势的叠加。身电荷引起电势的

45、叠加。 外部有多个施感电荷外部有多个施感电荷?电荷在电荷在 腔内？腔内？ 推广推广2：电荷在球壳内：电荷在球壳内 电荷守恒：内壁带电荷守恒：内壁带-q1， 外表面带外表面带q1 10 1 4R q 外壁内壁点 外壁 UUUU 静电平衡：静电平衡：U壳 壳=UO？ ？ 解法解法1a：电势叠加法（：电势叠加法（基于外壁基于外壁） 应为：应为： 内壁外壁球壳 UUU 10 1 10 1 10 1 444R q R q R q U 外壁 1 q 1 q R2 R1 1 q 10 1 4R q 外壁内壁点 内壁 UUUU 解法解法1b：电势叠加：电势叠加(基于内壁基于内壁) 10 1 20 1 20 1

46、 444R q R q R q U 内壁 解法解法2：路径积分法：路径积分法 1R dlEU 外外壁 10 1 4R q 球形空腔内位于球心的施感电荷和内壁感应电荷球形空腔内位于球心的施感电荷和内壁感应电荷(合称合称 腔内部分腔内部分)对外部电场和电势的贡献为零对外部电场和电势的贡献为零(就像没有内腔就像没有内腔) 1 q 1 q R2 R1 1 q 1 q 1 q 1 q 如如q1偏心呢？偏心呢？ 10 1 4 U R q U 壳外壁 腔内部分对导体电势的贡献也为零？腔内部分对导体电势的贡献也为零？ 腔内的电场不能穿透导体壳。如果腔内的电场不能穿透导体壳。如果 只有腔内部分电荷，而没有外壁电

47、只有腔内部分电荷，而没有外壁电 荷荷如外壳接地则外壁电荷消失如外壳接地则外壁电荷消失 ，则导体外电场和电势都为零。，则导体外电场和电势都为零。 故球壳的电势完全由外表面电荷贡献故球壳的电势完全由外表面电荷贡献不用考虑不用考虑 腔内情况腔内情况相当于一个实心的电量为相当于一个实心的电量为q1的导体球的导体球 腔内所有电荷对外部电场和电势的贡献都为零！腔内所有电荷对外部电场和电势的贡献都为零！ 10 1 4R q Uo 外壁 内壁电势内壁电势=外壁电势外壁电势 能否说腔内所有点的电势都等？能否说腔内所有点的电势都等？ 推广推广4：球心电势？：球心电势？ 外壁内壁点 oooo UUUU 20 1 4

48、R q U o 内壁 d q Uo 0 1 4 点 叠加法叠加法 d q R q R q U o 0 1 20 1 10 1 44 - 4 1 q 1 q 1 q d O R1 R2 壳 U R q 10 1 4 其他点的电其他点的电 势不作要求势不作要求 腔内施感电荷为正腔内施感电荷为正,则球心电势高于球壳则球心电势高于球壳.高出量为高出量为 该电荷在球心电势该电荷在球心电势,减去内壁感应电荷在球心电势减去内壁感应电荷在球心电势 一般情况呢？一般情况呢？ 用用叠加原理叠加原理解决！解决！ 1 q 1 q 1 q 2 q 刚才提到导体接地情况刚才提到导体接地情况 推广推广5：球壳接地：球壳接地

49、 导体球的感应电荷量导体球的感应电荷量=？ 1 q 1 l O 0 感应点 球壳ooo UUUU 10 4R q U o 感应感应 叠加原理叠加原理 10 1 4l q U o 点 所列方程与前面例子类似所列方程与前面例子类似 1 1 1 q l R q 感应 作业：作业： 10.19，10.20，10.21 由静电屏蔽知识由静电屏蔽知识,接地壳的接地壳的 腔内电荷腔内电荷只影响接地壳内壁电荷分布；只影响接地壳内壁电荷分布； 之外电荷之外电荷只影响接地壳外壁电荷分布只影响接地壳外壁电荷分布 与接地板情况有类似之处与接地板情况有类似之处 1 q 2 q 1 R 2 R 3 R 1 E 2 E 更

50、复杂的接地情况更复杂的接地情况(难点难点): 接地把内外相对分隔！可分别考虑接地球内接地把内外相对分隔！可分别考虑接地球内 部和外部部和外部 导体导体q1在球心在球心,中间导体接中间导体接 地地,外导体带电为外导体带电为q2,求各求各 面电荷分布，电场面电荷分布，电场/势分布势分布 1)求接地壳内壁的电荷求接地壳内壁的电荷只考虑内部电只考虑内部电 荷荷,显然该内壁电荷为显然该内壁电荷为-q1 2)求接地壳外壁的电荷？求接地壳外壁的电荷？ 只考虑其外部电荷只考虑其外部电荷,等等 效把内部去掉情况效把内部去掉情况 解解:设接地壳外壁电荷为设接地壳外壁电荷为qx，则外，则外 导体壳内壁电荷为导体壳内

51、壁电荷为- qx,由电荷守由电荷守 恒，外壁电荷为：恒，外壁电荷为： R3 D R2 D R1 D UUU0U D U 地 x2 qq 接地壳电势为零接地壳电势为零,其电势由其外电荷贡献其电势由其外电荷贡献,包括包括:1)接接 地壳外壁电荷地壳外壁电荷;2)外壳内壁电荷外壳内壁电荷;3)外壳外壁电荷，共外壳外壁电荷，共 3个部分。因此有：个部分。因此有： x2 qq 1 R 2 R 1 E 2 E x q x q 3 R D D为接地壳外壁某点为接地壳外壁某点 10 x2 R1 D 4 U R qq 0UUU R3 D R2 D R1 D 30 x R3 D 4 U R q 20 x R2 D

52、 4 - U R q 0 44 - 4 30 x 20 x 10 x2 R q R q R qq 1 - 1 -1 1 -1 2 -1 1 2 x - R RRR q q x2 qq 1 R 2 R 1 E 2 E x q x q 3 R D qxq2 UU0U D U 地 只有只有R1外壁的外壁的q2电量时电量时,在在R3 处的电势处的电势 q2 10 2 U 4 R q 外壳不带电外壳不带电,仅接地壳带仅接地壳带q3电时电时,会在外壳分别会在外壳分别 感应出感应出- qx和和qx电荷。总体对电荷。总体对R3处的电势为处的电势为: 30 x 20 x 10 x qx 44 - 4 U R q

53、 R q R q 1 - 1 2 1 - 1 1 - 2 1 - 1 x -R q RRR q (两者共同贡献两者共同贡献) x2 qq 1 R 2 R 1 E 2 E x q x q 3 R D 讨论讨论: 用该法可以直接写出接地壳外壁电荷用该法可以直接写出接地壳外壁电荷 有极分子：分子正负电荷中心不重合。有极分子：分子正负电荷中心不重合。 无极分子无极分子 ：分子正负电荷中心重合；：分子正负电荷中心重合； 电介质电介质 C H + H + H + H + 正负电荷正负电荷 中心重合中心重合 甲烷分子甲烷分子 4 CH + 正电荷中心正电荷中心 负电荷负电荷 中心中心 H + + H O 水

54、分子水分子 OH 2 e p 分子电偶极矩分子电偶极矩 e p 0 e p 10.7.5 电介质的极化电介质的极化 1. 无极分子的无极分子的位移极化位移极化 0 e p e 无外电场时无外电场时 e p f f l 外外 E 加外电场加外电场0 e p + + + + + + + 外外 E 极化电荷极化电荷 极化电荷极化电荷 2. 有极分子的转向极化有极分子的转向极化 f f 外外 EpM e + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 无外场时无外场时 电矩取向不同电矩取向不同 外外 E e p 加上外场加上外场 3. 各向同性电介质的电场极化各向同性电介质

55、的电场极化 介电常数介电常数 各向同性电介质在电场中的极化：在介各向同性电介质在电场中的极化：在介 质质2端面产生极化电荷层。端面产生极化电荷层。 极化电场方向与外电场方向相反。极化电场方向与外电场方向相反。 极化电场与介电常数极化电场与介电常数r有关：有关： + + + + + + + 外外 E 转向转向外电场外电场 e p 4.极化电荷和感应电荷极化电荷和感应电荷 都是由外电场引起都是由外电场引起 对应电场方向都与外电场相反对应电场方向都与外电场相反 极化电场无法抵消外电场，感应电场可以极化电场无法抵消外电场，感应电场可以 极化电荷对应电介质情况极化电荷对应电介质情况,无法自由移动；无法自

56、由移动； 感应电荷对应导体情况感应电荷对应导体情况,可自由移动可自由移动 都能激发电场都能激发电场 同样分布的两种电荷同样分布的两种电荷,在同样在同样 环境中激发的电场相等环境中激发的电场相等 0 E E p 0 E E p 5.束缚电荷与自由电荷束缚电荷与自由电荷 束缚电荷无法自由移动；自由束缚电荷无法自由移动；自由 电荷可自由移动电荷可自由移动 都能激发电场都能激发电场 同样分布的两种电荷同样分布的两种电荷,在同样在同样 环境中激发的电场相等环境中激发的电场相等 等效性等效性 0 E E 电介质电介质,束缚电荷束缚电荷 等效于等效于 0 E E 自由电荷自由电荷 等效条件：自由电荷与介质表

57、等效条件：自由电荷与介质表 面的束缚电荷分布相同面的束缚电荷分布相同 电介质在电场中会产生极化电介质在电场中会产生极化,结果是在端面产结果是在端面产 生极化束缚电荷生极化束缚电荷,除此之外无其他电学效果除此之外无其他电学效果. 或：除产生极化电荷之外，其他可不考虑或：除产生极化电荷之外，其他可不考虑 r 能否定量？能否定量？ 极化电场与介电常数极化电场与介电常数r有关：有关： 实验表明：实验表明： r /EEEE 00 0 E1)- 1 (E r 只有只有1个独立变量个独立变量 E ,E, E 0 0 E E 极化电荷的等效处理极化电荷的等效处理 极化电荷和自由电荷激发电场的性质相同极化电荷和

58、自由电荷激发电场的性质相同 2 2 00 EE 等效 极化电荷激发的电场已极化电荷激发的电场已 知，怎样分布的自由电知，怎样分布的自由电 荷才能与之等效？荷才能与之等效？ 0 E 000 E形式类似形式类似 极化电荷怎么分布？极化电荷怎么分布？与等效的自由电荷相同。与等效的自由电荷相同。 算出极化电场，乘以真空的介电常数得到算出极化电场，乘以真空的介电常数得到 00 E r 注： 10.7.6 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 已知的多为自由电荷已知的多为自由电荷,极化电荷是被动产生。极化电荷是被动产生。问题：问题： 怎样方便由自由电荷求解有电介质情况？怎样方便由自由电荷求解有电介质情

59、况？ 0 E E E E 0 0 E E 对图中高斯面：对图中高斯面： 0 q d S SE 0 qqq r /EE 0 000 / qd S SE 无电介质时：无电介质时： 极化电荷带来麻烦极化电荷带来麻烦:要消去要消去 0 E E 0 0 000 / qd S SE 无电介质时：无电介质时： 的关系与利用EE 0 r S r S q dd 0 0 0/ SESE 00 qd S r SE EE r0 D 0 Dqd S S 电介质中的高斯定理：通过任何闭合曲面的电介质中的高斯定理：通过任何闭合曲面的电位移电位移 通量，等于该曲面包围的通量，等于该曲面包围的自由自由电荷的代数和。电荷的代数和。 0 E E E E 0 0 E E 只有只有1个独立变量个独立变量D,E, E 0 ， E 这是只有部分电介质在高斯面内的情况 D 电位移线电位移线 a a D 大小大小: S 电电位位移移线线条条数数 D 方向方向:切线切线 D 线线 E 线线 b D b D是为消除极化电荷的影响而引入的是为消除极化电荷的影响而引入的 辅助物理量。辅助物理量。 介质中的高斯定理不仅适用于介质中介质中的高斯定理不仅适用于