5.极限问题的再认识

1、5.极限问题的再认识 对应原理所强调的是科学创新与以往人类全部科学遗产的联系问题。它限制了那种完全脱离和抛弃以前的科学知识而随心所欲地构造所谓“最新科学”的随意性。科学创新必须满足对应原理这一要求，保证了一个合格的新理论，必定是从人类历史地连续积累起来的知识土壤中生长出来的。对应原理告诉人们，科学的进步是一个前后相继的具有因果连续关系的进程，而不是孤立片断和幻想产物的堆积；科学创造没有神奇的捷径，要创造出可以取代旧理论的合格的新理论，必须以学习以往的科学为基础。 (一)极限思想与对立统一规律之间的关系 1.极限思想是变与不变的对立统一“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态

2、，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为。除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率k，斜率k 不可能等于，k 与是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近，变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。2.极限思想是过程与结果的对立统一过程和结果在哲学上是辩证统一的关系， 在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中，当曲线上的点

3、无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程， 是变化结果。一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近，二者之间有紧密的联系， 无限接近的变化结果使得斜率k 转化为，这体现了过程与结果的统一性。所以，通过研究曲线上点斜率k 的变化过程得到P 点的斜率就是过程与结果的对立统一。3.极限思想是有限与无限的对立统一在辨证法中，有限与无限是对立统一的。无限与有限有本质的不同， 但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限。例如在极限式an=a中应数列中的每一

4、项， 这些不同的数值既有相对静止性，又有绝对的运动性。数列中的每一项和 都是确定不变的量， 是有限数；随着n无限增大，有限数向 无限接进，正是这些有限数的无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，它们既是对立又是统一的。4.极限思想是近似与精确的对立统一近似与精确是对立统一的关系，在一定条件下可相互转化，这种转化是理解数学运算的重要方法。在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时， 内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是

5、借助极限法，从近似认识精确。又如在极限式an=a中，当n无限增大时，数列的项，反映变量无限的变化过程，而 反映了变量无限变化的结果，每个都是 的近似值，并且当n 越大，精确度越高；当n 趋于无穷时，近似值转化为精确值。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化，因此近似与精确既是对立又是统一的。5.极限思想是量变与质变的对立统一在唯物辨证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体。质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示

6、的规定性。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用。对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性。但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一。6.极限思想是否定与肯定的对立统一任何事物的内部都包含着肯

7、定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一。单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面，内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的。随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积，促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积，而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的，从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一。极限理论的导数值是正确的，它的

8、正确性已经被无数的客观实践证明了。然而，导数值的正确并不是极限概念的功劳，而是极限理论或标准分析法或第二代微积分把无穷小量分析法或第一代微积分猜对的导数值抄袭过来了。极限理论抄袭了正确的导数值以后，就按照这个正确的导数值，人为地设计了极限概念。所以，极限理论不是从客观实践中挖掘出来的理论，而是凭着想像编造出来的工具所以，极限理论只是人为地绾了一个圈套让人们往里钻，而不是在客观实践中挖出来真正理论让人们去应用。 (二)极限思想与实数的量子化之间的关系1.数列的极限由上面的基本假设可以得知: an=a的本质是当n时，an=a+kdx,kZ。k只能是正整数时对应右极限，k只能为负整数时对应左极限，k

9、Z对应极限的存在，因此数列极限的四则运算法则成立，并且仅适用于有限项。由于an=a的本质是当n时，an=a+kdx,kZ，因此数列极限的下列命题成立：xn=a, yn=b，且ab，则总有一个正整数N存在，当nN 时，不等式xnyn成立。若数列xn收敛，则它的极限是唯一的。若有一正整数N，当nN 时，有xnynzn，且xn=zn=a，则有yn=a。若xn为有界数列，yn为无穷小量，则它们的积xnyn是无穷小量。2.函数的极限函数的连续性以函数在点连续的定义.记称为自变量（在点）的增量或改变量，设，相应的函数（在点）的增量记为，可见函数在点连续等价于，是当自变量得增量时，函数值得增量趋于零时的极限

10、。函数的极限如果对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在着一个正数，使得对于适合不等式0|x -|的一切x，所对应的函数值都满足不等式| f (x)-A|0，则它叫做无穷小。”极限理论的世界名著文献接着又解释说：“（在历史上形成起来的）不十分恰当的术语无穷小量，希望不要引起读者的误解：这个量所取的任何一个个别的数值，只要它不是零，就不能断定是很小的。问题的实质在于，无穷小量是变量 除掉当它恒等于零的那种无趣的情形，它仅在自己的变化过程中最后能够变到小于任意选取的数。”世界集合论最高权威之一、以色列数学家弗朗克尔(Abraham Adolf Fraenkel，公元1891.2.171965.10

11、.15)针对极限理论中微积分理论与无穷小概念脱节的现状表达的“要想检验无穷小量的功能，只须看它能否应用到微积分里去”。人们普遍认为：标准分析法并未把无穷大量作为一种数来看待，而是把它作为一种特定的变化、特定的过程、特定的变量来处理。亦即把无穷大量定义为无限变大的量。例如，极限理论的世界名著文献1定义无穷大量概念时说：“若变量的绝对值，对于足够大的n值，可以变得并且保持大于任意预定大的数E0：|E (当n )，则叫做无穷大。”文献1还说：“像在无穷小的情形一样，在这里也应着重指出，无穷大量所取的任何一个个别的数值都不能当作很大的量看待。我们在这里，所谈到的是变的量，它只在自己的变化过程中最后才能够变到大于任意取定的数E。如果一个集合不是上(下)有界的，则取广义的数+(-)作为它的上界(下界)记号+与-读作正无穷大与负无穷大对于这两个广义的或无穷大的数，我们算作-+与-+，不论是怎样一个（有限的）实数。”文献就在无穷大到底是变量还是常数上产生了矛盾即定义无穷大时是变量，作为集合的上下界时是常数。极限理论的中国名著文献2也像文献1那样，把无限变大的函数定义为无穷大量以后说：“无穷大（）不是数”。因此，“”只能是无限变大的函数的记号，所以应有：=，但是文献2又说：“函数的极限