【03】“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)

1、高三物理专题：“缩放圆”、“转动圆”（或“轨迹圆心圆”）（一）缩放圆带电粒子以 任意速度、沿特定方向 射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，（图中只画出粒子带正电的情景 ），速度vo越大,运动半径也越大.可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线 PP上 .由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动 的临界条件时，可以以入射点 P为定点，圆心位于 PP直线上，将半径放缩作轨迹，从而探 索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为放缩法”.X X X X X XXX X X X - XA0恐冬 I

2、V I202qBdm 1 sin J【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率Vmax的粒子的轨迹.由题图可知:R(1 cos 45 )= d，又 Bqv max =mVmaxl. 若磁感应强度为 B的匀强磁场仅存在于第一象限（如图2），一带负电的粒子（质量为m,带电量为q）从距原点0为d的A点射入。若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x轴射出，则粒子的速度不能超过多少？齐 v【解析】作图如图所示，由r r sin v - d，qvB 二 m，解得:r2. 如图所示，宽度为d的匀强有界磁场， 磁感应强度为 B, MM和NN是磁

3、场左右的两条边 界线.现有一质量为 m，电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，0= 45.要使粒子不能从右边界 NN 射出，求粒子入射速率的最大值为多少？联立可得：(2+ V?)BqdVmax m3. 如图所示，匀强磁场的磁感应强度为 B,宽度为d，边界为CD和EF. 电子从CD边界 外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界间夹角为 已知电子的质量为 m,电 荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧 EF射出，求电子的速率 v0至少多大？qd 占【解析】当入射速率 v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD 一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰

4、好不能从 EF射出，如图所示.r + rcos 0= d 电子恰好射出时，由几何知识可得: 又r =唤Be由得:BedVo =m(1+ cosq)故电子要射出磁场时速率至少应为Bedm(1 + cosq)4. 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B,其横截面如图所示,磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r和(+ 1)r.圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m、电荷量为q的带电粒子，不计粒子重力为使这些粒子不射出磁场外边界，粒 子从圆心处射出时速度不能超过八 Mtmm*m【答案】A【解析】如图所示，带电粒子不从磁场中穿出， 其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切

5、，所以(-2 + 1)r rx2 = r2 + r2 x,解上式可得rx= r，又由rx= mV，可得,qB选项A正确。（二）转动圆（或轨迹圆心圆”）带电粒子以一定速度、沿任意方向 射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动， 其轨迹半径相同，若射入初速度为vo,则圆周运动半径为 R= mv/（qB）,如图所示.同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径 R= mvo/（qB）的圆（这个圆在下面的叙述中称为轨迹圆心圆”上.由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为 R= mvo/（q

6、B）的圆沿着 轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种 方法称为平移法”x5. 在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图3所示。一带正电的粒子以v=1.2 R06m/s的初速度从磁场边界直径ab的a端射入磁场。已知该粒子的比荷为 q/m=108c/kg不计粒子重力，则粒子射入磁场的速度方向与ab夹角为多少时，在磁场中运动时间最长。6.如图4甲，在一水平放置的平板 方向垂直于纸面向里。许多质量为MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ,磁场m带电量为+q的粒子，以相同的速率 v沿位于纸面内的各个方向，由小孔 0射入磁场区域。不计重力，不计粒子间相

7、互影响。下列图中阴影部分（三）练习题7. 在y0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于 xOy平面向外，原点 0处有一离子源，沿各 个方向射出速率相等的同价负离子， 对于进入磁场区域的离子， 它们在磁场中做圆周运动的 圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的是（ ）ABCD【答案】C8. 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B =0.60 T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行，在距ab的距离1 = 16 cm处，有一个点状的a放射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速率都是 v= 3.0 106 m/s.已知a粒子的电荷量与质

8、量之比 =5.0 07 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的a粒子,m求ab上被a粒子打中的区域的长度.a |IK X X X | x X Y XX aX X/ ；| SX XXXX MX X K XK x *X X XV K ? l R.由于朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过 S,可先考查速度沿负y方向的a粒子，其轨迹圆心在 X轴上的A1点，将a粒子运动轨迹的圆心 A1点 开始，沿着 轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如右图所示由图可知，当轨迹圆的圆心移至 A3点时，粒子运动轨迹与ab相交处P2到S的距离为2R, P?即为粒子打中ab上区域的右边 最远点.由题中几何关系得：NF2= （2R）2-

9、l2 ；当a粒子的轨迹的圆心由 A3点移至A4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移到 A4点后将不再与ab相交了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，与 ab相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点可过A4点作平行于ab的直线cd,再过A4作ab的垂线，它与ab的交点即为P1，同样由几何关系可知： NPi= R - （l - R）。则所求长度为 P1P2= NP1+ NP2，代入数值得 P1P2= 20 cm.9. 如图所示，在半径为 R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B,方向垂直于圆平面（未画出）.一群比荷为m的负离子体以相同速率v（较大），由p点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转

10、后，又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）A .离子飞出磁场时的动能一定相等 B 离子在磁场中运动半径一定相等C .由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长D .沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大【解析】射入磁场的粒子比荷相等，但质量不一定相等， 故射入时初动能可能不等，又因为磁场对电荷的洛伦兹力不做功，故这些粒子从射入到射出动能不变，但不同粒子的动能可能不等，A项错误.粒子在磁场中偏转的半径为r=，由于比荷和速度都相等，磁感应qB强度B为定值，故所有粒子的偏转半径都相等，B正确同时各粒子在磁场中做圆周运动的周期T = 蛰，也相等，根据几何规律：圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从QqB

11、点射出的粒子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C对沿PQ方向射入的粒子不可能从Q点射出，故偏角不最大，D错，选BC.10. （2009 北京西城模拟）如图所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度的大小为 B.许多相同的离子，以相同的速率v,由O点沿纸面向各个方向（y0）射入磁场区域.不计离子所受重力， 不计离子间的相互影响.图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与 y轴交点为M，边界与x轴交点为N,且OM = ON = L.由此可判断A .这些离子是带负电的c .这些离子的荷质比为m=lbm lb【答案】DB .这些离子运动的轨道半径为LD .当离子沿y轴正方向射

12、入磁场时会经过N点【解析】根据左手定则,再根据2mvqvB =,1L离子带正电，A项错误；由图可知，粒子轨道半径为2l , B项错误;2v1,C项错误；由于 ON = L,粒子半径为-L , ON恰好为粒子圆周LB2运动直径，故D项正确.11. 如图所示，在屏 MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.P为屏上的一个小孔.PC与MN垂直.一群质量为 m、带电量为一 q的粒子（不计重力），以 相同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与 PC夹角为B的范围内.则在屏 MN上被粒子打中的区域的长度为A辔qBB.2mvcos B

13、qBC.2mv(1 sin qBD.2mv(1 cos B)qB【答案】D【解析】由图可知。沿PC方向射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最远，为PR=鴛，沿两边界上被粒子打中的区域的长度为：QR=PR-PQ=卡，选项正确线射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最近为:PQ =鴛cos e,故在屏MN12. （2013高考广东卷）如图，两个初速度大小相同的同种离子a和b,从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上.不计重力.下列说法正确的有（）A . a、b均带正电B. a在磁场中飞行的时间比 b的短C. a在磁场中飞行的路程比 b的短D. a在P上的落点与 O点的距离比b

14、的近【解析】选AD.带电离子垂直进入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动.根据洛伦兹力提供向心力和周期公式 T=、半径公式r = mu及- = T解决问题.qBqB 6 2 n带电离子打到屏 P上，说明带电离子向下偏转，根据左手定则，a、b两离子均带正电，选项A正确；a、b两离子垂直进入磁场的初速度大小相同，电荷量、质量相等，由r = m知qB半径相同.b在磁场中运动了半个圆周，a的运动大于半个圆周，故 a在P上的落点与O的距离比b的近，飞行的路程比 b长，选项C错误，选项D正确；根据= T知，a在磁场中62 n飞行的时间比b的长，选项B错误.【解析】此题考查的是 定心判径画轨迹a、b粒

15、子做圆周运动的半径都为R=黑画出轨迹如图所示。圆Oi、O2分别为b、a的轨迹,由t = 6 = 6B和轨迹图可知A、D选项正确.13. 如图所示，在真空中半径r = 3.0X02m的圆形区域内，有磁感应强度B = 0.2 T,方向如 图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0= 1.0 106 m/s,从磁场边界上直径 ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m= 1.0 108C/kg，不计粒子重力.求：(1) 粒子的轨迹半径；(2) 粒子在磁场中运动的最长时间；(3) 若射入磁场的速度改为vo= 3.0 XO5 m/s，其他条件不变，试用斜线画出该

16、批粒子在磁场中可能出现的区域.(sin 37 =0.6, cos 37 = 0.8)【解析】(1)由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径.2vo 厂 mvo c、“2qvoB = m , R= 5.0 X0 m.R qB(2)由于Rr，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧 长最长，从右图中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长,T=错，运动时间tm = 2aXT=2 nr 3 匕-8又 sin a= R=5 所以 tm = 6.5 X0 s.mv0 2(3)R=萌 =1.5 X0 m,粒子在磁场中可能出现的区域见答案图所示 圆加上以a为

17、圆心，aO为半径所作圆与磁场相交的部分).(以aO为直径的半14人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是X光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如图所示，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力)，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达假若放射源所放出的是质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是 v, M与放射源的出口在同一水平面上，底片MN竖直放置，底片MN长为L.为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场求：(1) 匀强磁场的方向；画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表

18、示；(3)匀强磁场的磁感应强度 B的大小以及最小有界匀强磁场的面积S.【解析】(1)匀强磁场的方向为垂直纸面向外.(2) 最小有界磁场如答案图所示.根据牛顿第二定律:mvqB要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：R= L/22r mvqvBu,联立解得:2mvB = qLS=。415.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）从坐标原点O不断以相同大小的速度 vo沿不同的方向射入第一象限，如图所示.现加上一个垂直于 为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于 合条件的磁场的最小面积.如答案图所

19、示，有界磁场的最小面积为:xOy平面向里的磁感应强度 x轴向x轴正方向运动，试求出符2 由evB= mV0，得半径为R=ReB设与x轴正向成a角入射的电子从坐标为（x, y）的P点射出磁场，则有 x2+ （R y）2 = R2式即为电子离开磁场的下边界b的表达式，当 a= 90。时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a，其表达式为：（R x）2+ y2= R2由式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示，【解析】所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动,|-z7R2_ R2n 2 imv0S= 214 _ 2 尸 2其面积为eB丿.16. （2010年 全国卷I 26 21分）如下图，在 0纟 3

20、 a区域内存在与 xy平面垂直的匀强磁 场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在 0180范围PC-3 a, a）点离开磁场。求:在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【答案】R=2 3a、勺=23 m 3Bt0速度与y轴的正方向的夹角范围是 60到120;从粒子发射到全部离开所用时间为【解析】初速度与 y,轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的弧 圆心为C。2to。OP所

21、示，其由题给条件可以得出/ OCP = 3 此粒子飞出磁场所用的时间为T t0 = 3式中T为粒子做圆周运动的周期。 设粒子运动速度的大小为u半径为R，由几何关系可得2 3 R = a 3由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有2 D VqB u =m R2二 R T =V联立式，得q 2 二 m 3Bt0依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到0点距离相同。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以0点为圆心、0P为半径的弧MN上，如图所示。设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为u、um、u。由对称性可知u与0M、UN与0N的夹角均为n /3设u、Un与y轴正向的夹角分别为 几何关系有u 与 0P、B、九，由JiOm =32兀On =3对于所有此时仍在磁