正弦定理和余弦定理专题及解析

1、正弦定理和余弦定理教学目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题知识梳理1.正弦、余弦定理在厶ABC中，若角A, B, C所对的边分别是a, b, c, R为厶ABC外接圆半径,则疋理正弦定理余弦定理公式abcsin A sin B sin C a2 = b2 + c2 2bccos A ； b2 = c2+ a2 2cacos B; c2= a2 + b2 2abcos C常见 变 形(1) a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c = 2Rsin C;abc(2) sin A = 2R，sin B = 2R，sin C = 2R；(3) a : b : c

2、= sin A : sin B : sin C;(4) asi n B = bsi n A, bsin C = csin B, as in C = csin Ab2+ c2 a2 cos A=2bc；c2+ a2 b2 cos B=2ac；a2+ b2 c2cos C=2abc1.1.12.Sa abc= 2*bs in C= ?bcs in A= qacs in B=4f= 1（a+ b+ c） r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R, r.3. 在 ABC中，已知a, b和A时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bs in Absin Aa babasin B,则

3、AB.()(3) 在厶ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()当b2 + c2-a20时， ABC为锐角三角形；当b2 + c2-a2= 0时， ABC为直 角三角形；当b2 + c2-a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案 (1)x V X X V2. (2016全国I卷) ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=, 5, c2 冲=2，cos A= 3，贝U b=()A. .2B. 3C.2D.32 1解析 由余弦定理，得5= b2 + 22-2X bX 2X3,解得b= 3b=舍去，故选D.答案 D3. (2017郑州预测)在厶ABC中，角A，B，C所

4、对的边分别为a，b, c,若匸二a=snA，则cos B=()D.A. -2B.1解析由正弦定理知一3coB b=snA=，即tan3，由 be (o，n )，所以Bnn 1=3，所以 cos B = cos- = 2，故选 B.答案 B4. 在 ABC中，A= 60, AB = 2,且厶ABC的面积为 手，贝U BC的长为（）A.今B. 3C.2 3D.2解析 因为 S= 2X ABX ACsin A= 2x 2x3AC = ，所以 AC= 1,所以 BC2= AB2 + AC2 2AB ACcos 60= 3,所以BC= .3.答案 B5. 在 ABC中，acos A= bcos B,则这

5、个三角形的形状为 .解析 由正弦定理，得sin Acos A= sin Bcos B,即 sin 2A= sin 2B,所以 2A= 2B 或 2A=n 2B,n即 A= B 或 A+ B,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】（1）在厶ABC中，已知a = 2, b=. 6, A=45,则满足条件的三角形有（）A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2016 天津卷)在厶ABC 中，若 AB= . 13, BC = 3, / C= 120,则 AC=()A.1B.2C.3D.4(2015广东卷)设厶ABC的内角A, B, C的对

6、边分别为a, b, c,若a=, 3,1 n sin B = 2 C = 6，贝U b=.解析 (1)： bsin A= 62= 3,二 bsin Aab.满足条件的三角形有2个.(2)在厶ABC中，设A, B, C所对的边分别为a, b, c.则由c2= a2+ b2 2abcos C, 得 13= 9+ b2 + 3b, 即卩 b2 + 3b 4 = 0,解得 b= 1,因此 AC = 1.1n5 n因为sin B= 2且B (0,n )，所以B=石或B= .n-n2 n又 C= 6, B+ C0, sin A= 1，即卩 A=答案 B【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos

7、B= sin C”，那么 ABC 一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析 法一 由已知得 2sin Acos B = sin C = sin(A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B, 即 sin(A B)= 0,因为一n A B0)，由余弦定理可得一 a2+ b2 c2 25k2 + 121k2 169k223 ,cos C二 2ab二2X 5X 11k2= 1100，又(0，n )， C -y， n ， ABC为钝角三角形答案 C【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2 + b2 c2ab，且2cos Asin B = sin C”，

8、试确定 ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C_c sin B b，sin C _ c2sin B = 2b.由 2cos Asin B = sin C，有 cos A=b2 i c2 2又由余弦定理得 cos A=,2bc詁半L 即 c2= b2+ c2-a2,所以a2= b2,所以a= b. 又a2 + b2 c2 ab. 2b2 c2 = b2, 所以 b2= c2, b = c,. a= b= c. ABC为等边三角形法二利用角的关系来判断： A+ B+ C = 180,二 sin C = sin(A+ B),又 v 2cos Asin B= sin C, 2c

9、osAs in B= sin Acos B+ cos Asi n B, si n(A B) = 0,又v A与B均为 ABC的内角，所以A= B.又由 a2 + b2 c2= ab,由余弦定理，得cos C =a2+ b2_ c2 _ _ab _ 12ab_ 2ab_ 2，又 0 vC180，所以 C_60, ABC为等边三角形考点三和三角形面积有关的问题【例3】（2016全国I卷） ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 2cos C(acos B + bcos A) _ c.(1)求C;(2)若 c_ABC的面积为冷求厶ABC的周长.解 (1)由已知及正弦定理得，2co

10、s C(sin Acos B+ sin B cos A)_sin C,2cos Csin(A + B)_ sin C,故 2sin Ccos C_ sin C.由 C (0,n )知 sin Cm0,1 n可得cos C_2，所以C_3.由已知，gabsin C_33,n又C_y，所以ab_6,由已知及余弦定理得，a2 + b2 2abcos C_7,故a2 + b2_ 13,从而(a+ b)2_25所以 ABC的周长为5+ 7.【训练2】(2017 日照模拟)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,满足(2a b)cos C ccos B_ 0.(1) 求角C的值；(2)

11、若三边a, b, c满足a+ b_ 13, c_7,求厶ABC的面积.解 (1)根据正弦定理，(2a b)cos C ccos B_ 0 可化为(2sin A sin B)cos C sinCcos B_ 0.整理得 2sin Acos C_sin Bcos C + sin Ccos B_sin(B + C)_ sin A.1I 0A n,. sin Am0,a cos C_夕n又I 0Cb” 是“ cos 2Ab? sin Asin B? sin2Asin2B? 2sin2A2sin2B? 1 2sin2A 1 2sin2B? cos 2A b” 是 “cos 2A cos 2B” 的充分

12、必要条件.答案 C5. (2016山东卷)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c,已知b= c,a2= 2b2(1 sin A),贝U A=()3 nnnnAWBECND.gb2 | c 一 a2 2b2 a2解析 在厶ABC 中，由 b= c,得 cos A= 2bc =，又 a2 = 2b2(1 sinA)，所以 cos A= sin A,n即tan A= 1，又知A (0,n )，所以A=匚，故选C.答案 C二、填空题6. (2015重庆卷)设厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a = 2, cos C1 =4, 3sin A= 2sinB,贝U

13、c=.解析 由3sin A= 2sin B及正弦定理，得3a= 2b,又a = 2,所以b= 3,故c2=1a2 b2 2abcos C 4+ 9 2x2x3X 4 = 16,所以 c 4.答案47. （2017江西九校联考）在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若角A, B，C依次成等差数列，且a= 1， b=Q3，贝U Saabc=.1解析 因为角A, B, C依次成等差数列，所以B= 60。.由正弦定理，得 市sdr，解得 sin A二2,因为AV 180，所以 A=30。或 150。（舍去），此时 C = 90。，所以 Saabc= 2ab23.答案今2 nb8. （20

14、16 北京卷）在厶 ABC 中，A=-丁，a= 3c,解析 在厶ABC 中，a2= b2 + c2 2bc coA , 将 A= 2, a= 3c 代入，1可得（3c）2= b2 + c2 2bc - 2 , 整理得 2c2 = b2+ bc. CM 0,A等式两边同时除以c2,可解得-二1.c答案1三、解答题9. （2015天津卷）在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知 ABC | 1的面积为 315, b c= 2, cos A= 4.（1）求a和sin C的值；n求cos 2A+g的值.解（1）在厶ABC 中，由 cos A= f,可得 sin A-45.1由

15、 Saabc = qbcsin A= 3 15,得 bc_24，又由 b c_2，解得 b_6， c_4. 由 a2_b2 + c2 2bccos A，可得 a_8.t a c15由snA_航，得sin C_.nnn(2)eos 2A+ 百 =cos 2A cos 百sin 2A si ng_23(2cos2A 1) 2sin A cos A_ 佰代7 310.（2015全国U卷）在厶ABC中，D是BC上的点，AD平分/ BAC, BD = 2DC.sin B求sin C；（2）若/BAC = 60，求/ B.解（1）由正弦定理得AD _ BD AD _ sin B_sinZ BAD，sin

16、C_sinZ CAD.DC因为AD平分/ BAC，bd=2dc，所以辟=晋=2.(2)因为/ C= 180 (/BAC+Z B)，/ BAC = 60,所以 V31sin C = sin(Z BAC+Z B) = cos B + qsin B.由(1)知 2sin B = sin C，所以 tan B = f，即/ B = 30 .能力提升题组（建议用时：20分钟）11.（2017郑州调研）在厶 ABC 中，sin2Asin2B+ sin2C sin Bsin C，则 A 的取值范围是（A. 0,nC.O，由已知及正弦定理有a2 2,在厶ABC 中，AC (0, n ).n由余弦函数的性质，得

17、OvAW.答案 C12. 在 ABC中，三个内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c,若Sbc= 2 ；3,aeos B+ bcos Aa+ b= 6,-= 2cos C,则 c=()cA.2 ：7B.4D.3 3解析acos B+ bcos A=2cos C,由正弦定理，得 sin Acos B+ cos As in B= 2s in Ccos C, si n(A+ B) = sin C = 2sin Ccos C,由于 OvCvn, sin Cm0,： cos C= 2,： c = -3, ab= 8,Sa ABC =2书=absin C=ab,又a+ b = 6,解得a = 2,

18、b = 4a = 4, 或b = 2,c2= a2 + b2 2abcos C= 4+ 16 8= 12,=2 3故选C.答案 C13. (2015全国I卷)在平面四边形 ABCD中，/A=Z B=Z C = 75, BC= 2,则 AB的取值范围是.解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E,过点C作CF/ AD交 AB 于点 F，则 BFvABvBE.在等腰三角形 CBF中，/ FCB = 30, CF = BC = 2, BF= ；22 + 22 2X 2X 2cos_30= .-6 2.在等腰三角形 ECB 中，/ CEB = 30,/ ECB = 75,BE= CE, BC = 2,sin 75sin 30BE =2-BEp X-6 =6+ 2.2 6 .2AB 6+ 2.答案(.6 2,6+ 2)、口2n14.