椭圆中两个最大张角

1、椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是 短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有 张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如 下：一两个重要结论22只要求 y cos x的最小值，又知 |PF1| |PF2 | 2a,| F1F2 | 2c， 利用余弦定理可得。证明： 如图，由已知： |PF1| |PF2 | 2a,| F1F2 | 2c，所以 |PF1 |PF2 | (|PF1 | |PF2 |)2 a2，(当 |PF1| | PF2 |时取等号)2由余弦定理得：

2、cos F1PF2 |PF1 |22|PPFF12|2PF2|F1F2 |2(|PF1 | |PF2 |)2 2 | PF1 | PF2 | |F1F2 |22 | PF1 | PF2 |4a2 4c22 | PF1PF2 |224b22b212 2|PF1 |PF2 |a21(当 |PF1| |PF2 |时取等号)，所以当 |PF1 | |PF2 |时， cos F1PF2 的值最小， 因为 F1PF2 (0, ) ，所以此时 F1PF2最大。即点 P 为椭圆短轴的端点时 F1PF2最大。22命题 2如图：已知 A,B为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 长轴上的两个顶点， Q为椭圆上 a2

3、 b2任意一点 ,则当点 Q为椭圆短轴的端点时 , AQB 最大。 分析： 当 AQB 最大时， AQB一定是钝角， 而 y tanx 在 ( , ) 上是增函数，利用点 Q 的坐标，2表示出 tan AQB ，再求 tan AQB 的最大值。证明：如图，不妨设 Q(x,y)(0 x a,0 y b)，则 AP a x,BP a x,PQ y ，所以 tan AQP a x,tan BQP a xyy则 tan AQBtan AQP tan BQP1 tan AQP tan BQP22ax2ay222xya22 2 a 2又 x2 a22 y2 ，所以 tan AQBb22a2a2(1 b2，

4、因为 1 a2 0 ， )y bAQB (2 , )，2a所以当 y b时， tan AQB 取得最大值， 此时 AQB最大，所以当点 Q为椭圆短轴的端点时 , AQB 最大。二两个结论的应用 利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便：例 1已知 F1 , F2为椭圆的两个焦点， 若椭圆上存在点 P 使得 F1PF2 60 ，求椭圆 离心率的取值范围。分 析 ： 因 为 存 在 F1PF2 60 ， 所 以 只 要 最 大 角 F1 P0 F2 60 ， 即1 F1P0F 2 30 ，即 tan F1P0O 3 ，也就是 c 3 ，从而求出 e的范围。2 3 b 3解析： 由结论 1 知

5、：当点 P0 为椭圆短轴的端点时 , F1P0F2 最大，因此要最大角F1P0 F2 60 ，即 1 F1P0 F2 30 ，即 tan F1P0O3 ，也就是 c 3 ，1 0 2 2 1 0 3 b 3c 3 1 1解不等式 ，得 e ，故椭圆的离心率 e ,1)。a2 c2 3 2 ，故椭圆的离心率 2 。22xy例 2设 F1, F2为椭圆1的两个焦点 ,P 为椭圆上任意一点， 已知 P, F1, F21 2 9 4 1 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1| | PF2 |，求 |PF1| 的值。1 2|PF2 |分析：由结论 1 知：当点 P0为椭圆短轴的端点时 , F1P0

6、F2最大，且最大角为钝角，所以本题有两种情况： P 90 或 F2 90 。解析：由已知可得， 当点 P0 为椭圆短轴的端点时 , F1P0F2最大且 F1P0 F2为钝角，由结论 1知，椭圆上存在一点 P，使 F1PF2 为直角，又 PF2F1也可为直角，所以本题有两解；由已知有 |PF1| |PF2 | 6,| F1F2 | 2 5(1)若 PF2 F1为直角，则 | PF1 |2 |PF2 |2 | F1F2 |2 ，所以 |PF1|2 (6 | PF1 |)2 20，得|PF1| 134 ,| PF2 | 43，故| PF1 | PF2 |72；2)若 F1PF2 为直角，则 | F1

7、F2 |2 | PF1 |2 | PF2 |2，所以 20 | PF1 |2 (6 |PF1|)2，| PF |得|PF1 | 4,| PF2 2|，故1 2。1 2|PF2 |评注： 利用最大角知道，F1 PF2 可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论，避免了漏解的情况。22例 3已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) ,长轴两端点为 A, B ，如果椭圆上求这个椭 ab圆的离心率的取值范围。分析：由结论 2知：当点 P0为椭圆短轴的端点时 , AP0B 最大，因此只要最大角不小 于 120 即可。解析：由结论 2 知：当点 P0为椭圆短轴的端点时, AP0B 最大，因此只要1AP0B 1

8、20 ，则一定存在点 Q ，使 AQB 120 ， AQB 60 ，即 APO 6002所以22 ac3,得 e 36故椭圆的离心率的取值范围是三巩固练习：6e 36 ,1）。221已知焦点在 x轴上的椭圆 xy2 1(b 0)， F1, F2是它的两个焦点，若椭圆上4b存在点 P ，使得 PF1 PF2 0 ，求 b 的取值范围。22xy2已知椭圆1，F1,F2是它的两个焦点， 点 P为其上的动点， 当 F1PF2 为9 4 1 2 1 2钝角时，求点 P 横坐标的取值范围。答案：1解：由结论 1 知，当点 P 为椭圆短轴的端点时 , F1PF2 最大，若此时 PF1 PF2 0，则有： b c ，又 a 2，所以 b 2 ，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以b 的取值范围为：0 b 2 。2解：由结论 1 知，当点 P越接近短轴的端点时，F1PF2