椭圆典型题型归纳汇编

1、学习 好资料椭圆典型题型归纳题型一 . 定义及其应用例 1. 已知一个动圆与圆 C :(x 4)2 y2 100 相内切，且过点 A(4,0) ，求这个动圆圆心 M 的轨迹方程； 例 2. 方程 3 (x 1)2 (y 1)2 x 2y 2 所表示的曲线是练习：1. 方程(x3)2y2(x3)2y26 对应的图形是()A. 直线B.线段C.椭圆D.圆2. 方程(x3)2y2(x3)2y210对应的图形是()A. 直线B.线段C.椭圆D.圆3. 方程 x2 (y 3)2x2 (y 3)2 10成立的充要条件是( )22x2 y2 19 25222222A. x2y2 1 B.x2y2 1C.x2

2、y2 1 D.25 16 25 9 16 254. 如果方程 x2 (y m)2x2 (y m)2 m 1表示椭圆，则 m 的取值范围是225.过椭圆 9x2 4y2 1的一个焦点 F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，则 A, B两点与椭圆的另一个焦点 F2构成的 ABF2 的周长等于；6.设圆 (x 1)2 y2 25的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ，则点 M 的轨迹方程为 ； 题型二 . 椭圆的方程(一) 由方程研究曲线22例 1. 方程 x y 1 的曲线是到定点和 的距离之和等于 的16 25点的轨迹；

3、(二) 分情况求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴， 且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 P(3,0) ，求椭圆的方程； 更多精品文档学习 好资料(三) 用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( 6,1)、 P2( 3, 2) ，求椭圆的方程； 例 4. 求经过点 (2, 3)且与椭圆 9x2 4y2 36 有共同焦点的椭圆方程；2 2 2 2注：一般地， 与椭圆 x2 y2 1共焦点的椭圆可设其方程为2x2y1(k b2) ；a2 b 2a2 k b2 k(四) 定义法求轨迹方程；例 5. 在 ABC 中，A,B,C 所对的三边分别为 a,

4、b,c ，且 B( 1,0), (1,0) C ，求满足 b a c且 b,a,c 成等差数列时顶点 A的轨迹；(五) 相关点法求轨迹方程；2例 6. 已知 x 轴上一定点 A(1,0) ， Q 为椭圆y2 1上任一点，求 AQ 的中点 M 的轨迹4方程；(六) 直接法求轨迹方程；例 7. 设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x2 2y2 4 交于 A, B 两点，点 P 是直线 l 上满足PA PB 1 的点，求点 P 的轨迹方程；(七) 列方程组求方程例 8. 中心在原点，一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 y 3x 2 截得的弦的中点的横坐标1为 ，求此椭圆的方程；2题型三

5、. 焦点三角形问题x2 y25例 1. 已知椭圆1上一点 P 的纵坐标为 ，椭圆的上下两个焦点分别为 F2 、 F1 ，16 2532 1求 PF1 、 PF2 及 cos F1PF2 ； 更多精品文档学习 好资料 题型四 . 椭圆的几何性质x2 y25例 1. 已知 P 是椭圆 2 2 1上的点，的纵坐标为， F1 、 F2分别为椭圆的两个焦点，a2 b23椭圆的半焦距为 c ，则 PF1 PF2 的最大值与最小值之差为22xy例 2.椭圆 2 2 1(a b 0) 的四个顶点为 A,B,C,D ，若四边形 ABCD的内切圆恰 ab好过焦点，则椭圆的离心率为 ；11 ，则 k222例 3.

6、若椭圆 x y 1 的离心率为k 1 422例 4. 若 P为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 上一点， F1、 F2为其两个焦点， 且 PF1F2 150， abPF2F1 750 ，则椭圆的离心率为 题型五 . 求范围22例 1. 方程 x2 y 2 1表示准线平行于 x轴的椭圆，求实数 m 的取值范围； m2 (m 1)2题型六 . 椭圆的第二定义的应用例 1. 方程 2 (x 1)2 (y 1)2 x y 2 所表示的曲线是1例 2. 求经过点 M (1,2) ，以 y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；2x2 y25例 3. 椭圆1上有一点 P ，它到左准线的距离等于，那

7、么 P 到右焦点的距离为25 9222例 4已知椭圆 x y 1，能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M ，使它到43左准线的距离为它到两焦点 F1,F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找 到，请说明理由。更多精品文档学习 好资料22例 5已知椭圆 x y1内有一点 A(1,1)， F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，点 P 是95椭圆上一点求3PA 2 PF2 的最小值及对应的点P 的坐标题型七 . 求离心率22xy例 1. 椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为 F1( c,0) ，A( a,0) ，B(0,b)是两个顶点， ab如果 F1 到直线AB 的距离为

8、则椭圆的离心率22例 2. 若 P为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 上一点， F1、 F2为其两个焦点，且 PF1F2，abPF2F1 2 ，则椭圆的离心率为例 3. F1、 F2 为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于 P,Q 两点， PF1 PQ ，且PF1 PQ ，则椭圆的离心率为 ； 题型八 . 椭圆参数方程的应用22例1.椭圆 x y 1上的点 P 到直线 x 2y 7 0的距离最大时，点 P的坐标43例 2. 方程 x2 siny2 cos 1( 0)表示焦点在 y 轴上的椭圆， 求 的取值范围；题型九 . 直线与椭圆的关系 (1)直线与椭圆的位置关系例 1. 当 m 为何值时

9、，直线 l : y x m与椭圆 9x2 16y2 144 相切、相交、相离？更多精品文档学习 好资料 例 2. 曲线 2x2 y2 2a2( a 0)与连结 A( 1,1)，B(2,3) 的线段没有公共点，求 a的取 值范围。例3.过点P( 3, 0)作直线 l与椭圆3x2 4y2 12相交于 A, B两点， O为坐标原点，求PyABOxOAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设 l的方程为 y 0 k(x 3) ，则要求 l 的斜率一定要存在， 但在这里 l 的斜率有可能不存在， 因此要讨论 斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 l 的方程为 x my

10、 3 ，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化 了运算。解：设 A( x1, y1), B( x2, y2) ， l ：x my 311SAOB 12|OP| |y1| 12|OP| |y2 | 3(|y1 | |y2 |) 3(y1 y2)把 x my 3 代入椭圆方程得： 3(m2y2 2 3my 3) 4y2 12 0 ，即( 3m2 4) y 2 6 3my 3 0 ， y1 y 26 3m3m 2 4y1y2323m2 42| y13m21 4 144x2 48y |108m212y2 | ( 3m2 4)2 3m2 44 9m2 3 4 3 3m2 1 4 3 3m2 1 2

11、2 23m2 43m2 4( 3m2 1) 34 3m 4 3 23m2 1 3 2 3 23m2 1更多精品文档学习 好资料 S23 ，此时 3m2 1233m2 1m6令直线的倾角为tan2x1 x2 4x03x1x22 x0 123，则| x1 x2 | ( x1 x2) 2 4x1x216x0 2 8x02 4893即 OAB 面积的最大值为 3 ，此时直线倾斜角的正切值为 例 4. 求 直 线 x cos y sin 2 和 椭 圆 x2 3 y2 6 有 公 共 点 时 ， 的 取 值 范 围(0 ) 。(二) 弦长问题例 1.已知椭圆 x2 2y2 12，A是 x轴正方向上的一定

12、点，若过点 A，斜率为 1的直线被 椭圆截得的弦长为 4 13 ，求点 A 的坐标。3分析： 若直线 y kx b与圆锥曲线 f (x, y) 0 相交于两点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)，21则弦 PQ的长度的计算公式为 |PQ| 1 k2 |x1 x2 | 1 2 | y1 y2 |，k2而 | x1 x2 | ( x1 x2 ) 4x1 x2 ， 因 此 只 要 把 直 线 y kx b的 方 程 代 入 圆 锥 曲 线f ( x, y) 0方程，消去 y (或 x )，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设 A( x0,0)( x0 0 )，则直线 l 的方程为 y

13、x x0 ，设直线 l 与椭圆相交于 P(x1,y1)、 y x x02 2Q(x2,y2)，由 2 2 0 ，可得 3x2 4x0x 2x02 12 0，2 2x2 2 y2 12 0 036 2x0 24 14 1 x2 |x1 x2 |，即 4 14 2 23 3 32 x0 4，又 x0 0 ， x0 2， A(2,0) ； 更多精品文档学习 好资料 例 2.椭圆 ax2 by2 1与直线 x y 1相交于 A, B两点， C是 AB的中点， 若|AB| 2 2 ， O为坐标原点， OC的斜率为 2 ，求 a,b的值。222例 3. 椭圆 x y 1的焦点分别是 F1和 F2 ，过中心

14、 O作直线与椭圆交于 A,B 两点，若 45 20 1 2ABF2 的面积是 20，求直线方程。(三) 弦所在直线方程22例 1. 已知椭圆 x y 1 ，过点 P (2,0) 能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 P ； 16 4例 2.已知一直线与椭圆 4x2 9y2 36相交于 A, B两点，弦 AB的中点坐标为 M (1,1)，求 直线 AB 的方程；例 3. 椭圆 E 中心在原点 O，焦点在 x 轴上，其离心率 e2 ,过点 C( 1,0) 的直线 l 与椭3圆 E相交于 A, B两点，且 C分有向线段 AB 的比为1)用直线 l 的斜率 k(k 0) 表示 OAB的面积；2

15、)当 OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程由 e c2 ， a2=3b2a322解：(1)设椭圆 E 的方程为 x2 y2 1， a2 b 2更多精品文档学习 好资料故椭圆方程 x2 3y2 3b2 ；设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由于点 C( 1,0)分有向线段 AB 的比为 2x1 2x213 ，即y1 2y2 030x1 1 2(x2 1) y1 2y2x 3y 3b 消去 y 整理并化简得 (3k2+1)x 2+6k 2x+3k 2 3b2 =0 y k(x 1)由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点x1 x2 36k4 4(3k 2 1

16、)(3k 2 2b2) 0 6k2 3k 2 1 3k 2 3b2x1x221 23k2 111而 S OAB| y1 y2 | | 2y2 y2 |222333|y2 | |k(x2 1)| |k|x2 1| 222由得 : x2 1 2 ，代入得： S OAB 3|2k| (k 0).23k2 1 OAB 3k2 12)因 S OAB 33k|2k|1 3| k|3 1 233 23 ,|k|当且仅当 k 3, S OAB取得最大值3 OAB此时 x1 x21 ，又 x1 2x21， x11,x22；1 2 3 1 22 1 2 2 2将 x1,x2 及 k2代入得 3b2=5，椭圆方程

17、x2 3y2 522例 4. 已知 A(x1,y1),B(1,y0),C(x2,y2) 是椭圆 xy 1上的三点， F 为椭圆的左焦点，43且 AF , BF ,CF 成等差数列，则 AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。更多精品文档学习 好资料(四) 关于直线对称问题22 xy例 1. 已知椭圆1，试确定 m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线43y 4x m 对称；例 2. 已知中心在原点，焦点在 y 轴上，长轴长等于 6 ，离心率 e 2 2 ，试问是否存在直31线l，使 l与椭圆交于不同两点 A, B ，且线段 AB恰被直线 x 平分？若存在，求出直 线l 倾斜角的取

18、值范围；若不存在，请说明理由。题型十 . 最值问题22例 1若 P( 2, 3) ，F2 为椭圆 xy 1的右焦点， 点 M 在椭圆上移动， 求 MP MF2225 16 2M1的最大值和最小值。2a MF1 ，连接 PF1 ，延长 PF1交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭分析：欲求 MP MF2 的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 MF2 2a MF1 , F1 为椭圆的左焦点。解： MP MF2 MP圆于点 M2 由三角形三边关系知PF1 MPMF1 PF1当且仅当 M 与 M 1重合时取右等号、 M 与 M 2重合时取左等号。因为 2a 10, PF1 2，所以

19、 (MP MF2 )max 12, (MP MF2 )min 8；22xy结论 1：设椭圆 2 2 1的左右焦点分别为 F1 , F2 , P( x0 , y0)为椭圆内一点， M(x,y) 为 ab更多精品文档学习 好资料椭圆上任意一点，则 MP MF2 的最大值为 2a PF1 ,最小值为 2a PF1 ； 22例 2 P( 2,6) , F2为椭圆 x y 1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 MP MF2 的2 25 16 2最大值和最小值。分析：点 P 在椭圆外， PF2交椭圆于 M ，此点使 MP MF2 值最小，求最大值方法同例1。解： MP MF2 MP 2a MF1 ，连接

20、PF1 并延长交椭圆于点 M1，则M在M1处时 MP MF1 取最大值 PF1； MP MF 2 最大值是 10+ 37 ，最小值是 41 。22结论 2设椭圆 x2 y2 1的左右焦点分别为 F1, F2 ，P( x0 , y0)为椭圆外一点， M(x,y) 为 a 2 b 2椭圆上任意一点，则 MP MF2 的最大值为 2a PF1 ，最小值为 PF2 ;2. 二次函数法22例 3求定点 A(a ,0) 到椭圆 x2 y2 1 上的点之间的最短距离。a2 b2分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示 PA ，转化为 x, y 的函数求最小值。解：设 P(x, y) 为椭圆上任意一点，P

21、A (x a)2 y2 (x a)2 1 1 x2 1(x 2a)2 1 a2由椭圆方程知 x 的取值范围是 2, 21)若a 2，则 x22a 时，PA min 1 a2min2)222,则xmin2 时 PA mi3)若 a2,则PA mina222结论 3：椭圆x2y2 1上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题，可以用a 2 b 2更多精品文档学习 好资料 两点间距离公式表示 MA 或 MB ，通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求 最值，注意自变量的取值范围。3. 三角函数法例 4求椭圆2x24x2 y21上的点M (x, y) 到直线 l

22、:x 2y 4 的距离的最值；解：三角换元则dx 2y 42x242 y2 1令x 2cos y sin2cos 2sin 42sin()24当 sin( ) 1 时 dmin44 5 2 10当 sin(4)1时,dmax4 5 2 10522,可通过椭圆的参数结论 4：若椭圆 x 2 y2 1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时 a 2 b2方程，统一变量转化为三角函数求最值。4. 判别式法例 4 的解决还可以用下面方法 把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线 m: x 2y c 0将 x 2y c 代入椭圆方程整理得 8y2 4cy c2 4

23、0 ，由 =0解得c 2 2, c 2 2 时直线 m:x 2y 2 2 0与椭圆切于点 P，m与l 的距离，则 P 到直线 l 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线所以 dmin4 5 2 105c 2 2时直线 m:x 2y 2 2 0与椭圆切于点 Q，则 Q到直线 l 的距离为最大值，且4 5 2 10 最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以 dmax 4 5 2 10 。5结论 5：椭圆上的点到定直线 l距离的最值问题 ,可转化为与 l平行的直线 m 与椭圆相切的问 题 ,利用判别式求出直线 m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值 。22例 5. 已知定点 A( 2, 3) ，