概率论课后习题解答

1、、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中 , 观察其投篮次数 ;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 1 5,6,7, ；(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： 2 2,3,4, 11,12 ；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数 ;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 3 0,1,2, ；(4) 从编号为 1，2，3， 4， 5 的 5 件产品中任意取出两件 , 观察取出哪两件产品 ;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5) 检查两件产品是否

2、合格 ;解：用 0 表示合格, 1 表示不合格，则 5 0,0, 0,1 , 1,0 , 1,1 ；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温 ( 假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于T2);解：用 x表示最低气温 , y 表示最高气温 ; 考虑到这是一个二维的样本空间，故：x,y T1 x y T2(7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ;解： 7 x0 x 2 ；(8) 在长为 l 的线段上任取一点 , 该点将线段分成两段 , 观察两线段的长度 .解： 8 x,y x 0,y 0,x y l ；1.2 设 A，B，C 为三事件, 用 A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(

3、1) A 与 B 都发生, 但C 不发生; ABC ；(2)(3) A,B,C 中至少有一个发生 ; A B C ；(4) A,B,C 中恰有一个发生 ; ABC ABC(5) A,B,C 中至少有两个发生 ; AB AC(6) A,B,C 中至多有一个发生 ; AB AC(8) A,B,C 中恰有两个发生 . ABC ABCA 发生, 且 B 与C 至少有一个发生 ; A(B C)；ABC ；BC；BC ； (7) A;B;C 中至多有两个发生 ; ABC ；ABC ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间 x0 x 2 , 事件 A= x0.5 x 1 , B

4、x0.8 x 1.6具体写出下列各事件：(1) AB; (2) A B ; (3) A B; (4) A B( 1) AB x0.8 x 1 ；(2) A B= x0.5 x 0.8 ；(3) A B= x0 x 0.5 0.8 x 2 ;(4) A B = x0 x 0.5 1.6 x 21.4 用作图法说明下列各命题成立：略1.5 用作图法说明下列各命题成立：略1.6 按从小到大次序排列 P(A),P(A B),P(AB),P(A) P(B), 并说明理由 .解 ： 由 于 AB A,A (A B), 故 P(AB) P(A) P(A B) ， 而 由 加 法公 式 ， 有：P(A B)

5、P(A) P(B)1.7 若 W 表示昆虫出现残翅 , E 表示有退化性眼睛 , 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075,P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛 ;(2) 昆虫出现残翅 , 但没有退化性眼睛 ;(3) 昆虫未出现残翅 , 也无退化性眼睛解： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：P(W E) P(W) P(E) P(WE) 0.175(2) 由于事件W可以分解为互斥事件 WE,WE ，昆虫出现残翅 , 但没有退化性眼睛对应事件概率为：P(WE) P(W) P(WE) 0.1(3) 昆虫未出现残翅 , 也无退化性

6、眼睛的概率为： P(W E) 1 P(W E) 0.825 .1.8 设 A 与 B 是两个事件 , P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：(1)在什么条件下 P(AB) 取到最大值 ? 最大值是多少 ?(2)在什么条件下 P(AB) 取到最小值 ? 最小值是多少 ?解： (1) 由于 ABA,AB B，故P(AB) P(A),P(AB) P(B),显然当 A B时P(AB)到最大值。 最大值是 0.6.(2) 由于 P(AB) P(A) P(B) P(A B) 。显然当 P(A B) 1时 P(AB) 取到最小值， 最小值是 0.4.1.9 设 P(A) = 0.2, P(B)

7、 = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2,求事件A,B,C 中至少有一个发生的概率 .解：因为 P(AB) = 0 ，故 P(ABC) = 0. A,B,C 至少有一个发生的概率为：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 0.71.10 计算下列各题：B) = 0.6, 求 P(AB);1）通过作图，可以知道，(1) 设 P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A(2)设 P(A) =0.8, P(A B)= 0.4,求 P(AB);(3)设 P(AB)=

8、 P(A B); P(A) =0.3,求 P(B) 。解：P(AB) P(A B) P(B) 0.31.11 把 3 个球随机地放入 4 个杯子中，求有球最多的杯子中球数是 1，2， 3 概率各为多 少？解：用 Ai 表示事件“杯中球的最大个数为 i 个” i =1,2,3 。三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 64种，每种放法等可能。3对事件 A1 ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432种，故 P（A1）8（ 选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列 ） 。对事件 A3 ：必须三球都放入一杯中。放法有 4种。（ 只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 个球，选法有 4种）

9、，故P（A3） 1 。P（A2） 1 3 1 93 16 2 8 16 161.12 掷一颗匀称的骰子两次 , 求前后两次出现的点数之和为 3; 4; 5 的概率各是多少 ?解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。. 出现点数和1为“3”对应两个基本事件（ 1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为 1 。18 同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4，5 的概率各是 1 ,1 。12 91.13 在整数 0,1,2, 9 中任取三个数 , 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是 5; (2) 三个数中最大的一个是 5.解：从 10 个数中

10、任取三个数，共有 C130 120种取法，亦即基本事件总数为 120。(1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个，取法 1有 C42 6 种，故所求概率为 1 。4 20(2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法 1有 C52 10 种，故所求概率为 1 。5 121.14 12只乒乓球中有 4 只是白色球 , 8 只是黄色球。现从这 12 只乒乓球中随机地取出两只 , 求下列事件的概率：(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黄球 .解：分别用 A1, A2

11、 , A3表示事件：(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黄球. 则P(A1)C82C1222866141343,P(A2)C42C1226661 16111, P(A3) 1 P(A1) P(A2) 1363。1.15 已知 P(A)0.7, P(B) 0.4，P(AB) 0.5, 求 P(A B)B).解： P(AB) B)P(A B) B)P(AB) (BB)P(B)P(B)由于 P(BB) 0，故 P(A B)B) PP(ABB)P(A) P(AB) 0.5P(B)1.16 已知 P(A) 0.6, P(B) 0.4, P(AB)0.5 。

12、计算下列二式：(1) P(A B);(2) P(A B);解：(1) P(A B)P(A) P(B) P(AB) 1 P(B)P(AB)1 0.4 0.5 0.8;2) P(A B)P(A) P(B) P(AB)1 P(B)P(A B) 1 0.4 0.5 0.6;注意：因为 P(AB) 0.5 ，所以 P(AB) 1 P(AB) 0.51.17 一批产品共 20 件, 其中有 5 件是次品 , 其余为正品。现从这 20 件产品中不放回地 任 意抽取三次 , 每次只取一件 , 求下列事件的概率：(1) 在第一、第二次取到正品的条件下 , 第三次取到次品 ;(2) 第三次才取到次品 ;(3) 第

13、三次取到次品 .解：用Ai表示事件“第 i 次取到的是正品”( i 1,2,3 )，则Ai表示事件“第 i 次取到的是次品”(i 1,2,3)。 P(A1) 15 3,P(A1A2) P(A1)P(A2 A1) 3 14 2120 44 19 38(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下 , 第三次取到次品”的概率为：P(A3 A1 A2) 158(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：3)事件“第三次取到次品”的概率为： 14此题要注意区分事件( 1)、(2 )的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如， 设有两个产品， 一个为正品，一个为次品。用 Ai表示事件“第i 次取到的

14、是正品”( i 1,2)，则事件“在第一次取到正品的条件下 , 第二次取到次品”的概率为： P(A2 A1) 1；而事件1 第二次才取到次品”的概率为： P(A1A2) P(A1)P(A2 A1) 1 。区别是显然的21.18 有两批相同的产品 , 第一批产品共 14 件 , 其中有两件为次品 , 装在第一个箱中 ; 第 二批有 10 件, 其中有一件是次品 , 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到 第二箱中 , 然后再从第二箱中任取一件 , 求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用 Ai (i 0,1,2) 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 i ”。用 B 表示事件“从第二箱

15、中取到的是次品” 。则 P(A0)C122C124666961,P(A1)C112 C12C1242491,P(A2)C22C124191P(B A0)12P(B A1)212，P(B A2)312，根据全概率公式，有：1.19 一等小麦种子中混有 5%的二等种子和 3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长 出的穗有 50 颗以上麦粒的概率分别为 50%, 15% 和 10%。假设一、二、三等种子的发芽率 相同, 求用上述的小麦种子播种后 , 这批种子所结的穗有 50 颗以上麦粒的概率 .解：设 Ai(i 1,2,3) 表示事件“所用小麦种子为 i等种子B 表示事件“种子所结的穗有 50 颗

16、以上麦粒” 则P(A1) 0.92, P( A2) 0.05, P (A3 ) 0.03, P(B A1) 0.5，P(B A2) 0.15，P(B A3) 0.1，根据全概率公式，有：1.20 设男女两性人口之比为 51 : 49, 男性中的 5% 是色盲患者, 女性中的 2.5% 是色盲 患者. 今从人群中随机地抽取一人 , 恰好是色盲患者 , 求此人为男性的概率。解：用 B 表示色盲， A 表示男性，则 A 表示女性，由已知条件，显然有：P(A) 0.51, P( A) 0.49, P(B A) 0.05,P(BA) 0.025,因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB) P(AB)

17、P(AB)P( A)P( B A)102P(AB) P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(BA) P(A)P(BA) 1511.21 根据以往的临床记录 , 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为 0.95, 非癌症 患者因对这试验呈阳性反应的概率为 0.01, 被试验者患有癌症的概率为 0.005 。若某人对 试验呈阳性反应 , 求此人患有癌症的概率解：用 B表示对试验呈阳性反应， A表示癌症患者，则 A 表示非癌症患者，显然有：P(A) 0.005,P(A) 0.995,P(B A) 0.95,P(B A) 0.01,因此根据贝叶斯公式，所求概率为：1.22 仓库中有 10 箱同

18、一规格的产品 , 其中 2 箱由甲厂生产 , 3 箱由乙厂生产 , 5 箱由丙 厂生产, 三厂产品的合格率分别为 95%; 90% 和 96%.(1) 求该批产品的合格率 ;(2) 从该 10 箱中任取一箱 , 再从这箱中任取一件 , 若此件产品为合格品 , 问此件产品由 甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少 ?解：设， B1 产品为甲厂生产 , B2 产品为乙厂生产 , B3 产品为丙厂生产 ,1)根据全概率公式，A 产品为合格品 ，则P(A) P(B1)P(AB1) P(B2)P(AB2) P(B3)P(AB3) 0.94 ，该批产品的合格率为 0.94.2)根据贝叶斯公式，P(B1 A)P(B1)P(AB1)19P(B1)P(AB1) P(B2)P(AB2) P(B3)P(AB3) 94 27 24同理可以求得 P(B2 A)2947,P(B3A) 2447 ，因此，从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一 件, 若此件产品为合格品 , 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为： 1994, 2947, 42471.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次 , 他们击中目标的概率分别为 0.7 ， 0.8和0.9 ，求目标被击中的概率。解：记 A =目标被击中