根轨迹法习题和答案

1、第四章根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为G(s)H(s)(s 1)(s 2)(s 4)试证明 s11 j 3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益 K *和开环增益 K 。解 若点 s1在根轨迹上，则点 s1 应满足相角条件G(s)H(s)对于 s 1G(s1)H(s1)( 1 j 3(2k 1) ，如图所示。 j 3 ，由相角条件j 3 1)j 3 4)2)0236满足相角条件，因此s11 j 3 在根轨迹上。将 s1 代入幅值条件：G(s1)H(s)1解出 ： K * 12 ，KK8b 从零变化到无穷大时的根轨4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数 迹方程，并写出 b

2、 2 时系统的闭环传递函数。201) G(s) (s 4)(s b)2) G(s)10(s 2b)s(s 2)(s b)b(s 4)(s 2 j4)(s 2 j4)解 (1) G (s)2b(s 4)s2 4s 20(s)G(s)1 G(s)20s2 6s 28(2) G (s) b(s2 2s 20) =b(s 1 j 19)(s 1 j 19)(2) G (s) s(s2 2s 10) = s(s 1 j3)(s 1 j3)G(s) 10(s 4)(s) 3 21 G(s) s3 4s2 14s 404-3 已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)2s(s 4)(s b)试绘制参数b 从零变

3、化到无穷大时的根轨迹，并写出 s=-2 这一点对应的闭环传递函数。解 G (s) b(s 4)s(s 6)根轨迹如图。s 2时 b 4，2s 2s(s) 2s2 10s 16 (s 2)(s 8)4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 G(s)k(2) G(s)k(s 1) s(2s 1)s(0.2s 1)(0.5s1)(3) G(s)k* (s 5)(4) G(s)k* (s 1)(s 2)s(s 2)(s 3)s(s 1)解 G(s)K10Ks(0.2s 1)(0.5s1)s(s 5)(s 2)三个开环极点： p1 0,p2 2 ,p3 实轴上的根轨迹： , 5 ,

4、 2,05025 渐近线：3(2k 1)33 分离点：1 1 10dd5d2解之得： d10.88 ，d2 3.7863 (舍去)。 与虚轴的交点： 特征方程为D(s) s3 7s2 10s 10k 02令 ReD( j ) 7 2 10k 0ImD(j ) 3 10 010 解得k7 G(s) K(s1)K(s 1)s(2s1)2s(s 12)根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 1 , 0.5,0 分离点：111dd 0.5 d 1解之得： d 0.293,d1.707 。与虚轴的交点( 0， 10 j )。 根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 5, 3 ,

5、 2,0 渐近线：0 2 3 ( 5)2(2k 1)a22 分离点：1 1 1 1 d d 2 d 3 d 5用试探法可得 d0.886 。根轨迹如图所示。(4) 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 0, 1,-1,-21 111分离点： 1 111d d 1 d 1 d 2 求解得： d1 0. 37， d 21.37根轨迹如图所示。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)ks(0.02s 1)(0.01s 1)要求： (1) 绘制系统的根轨迹； (2) 确定系统临界稳定时开环增益 k 的值；(3) 确定系统临界阻尼比时开环增益 k 的值。解 (1) G(s)s(0.02s 1)(0

6、.01s 1) 实轴上的根轨迹： 0, -50,-100,- 5000ks(s 50)(s 100)1 分离点：110dd 50 d100求解得 d121.13， d 278.87 渐近线：a50，a60 o，180 o根轨迹如图所示。(2) 系统临界稳定时 k* 750000，k 150(3) 系统临界阻尼比时 k* 48112 .5， k 9.624-6 已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)s(s2 8s 20) ，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益 k 的取值范围。G(s)H(s)Ks(s2 8s 20) 实轴上的根轨迹：,0 渐近线：0 ( 4 j2) ( 4 j2)

7、分离点：解之得：(2k 1)2,dD(s)4 j23.33d 4 j232s3 8s2 20s kRe(D(j) k8 2 0Im(D(j) 2030025解得：k0k 160起始角：由相角条件 p63 ，p3 63 。与虚轴交点：把 s j 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时 14.8 k* 16， 所以 0.74 k0.84-7 单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k(2s 1)24(s 1)2(47s 1)试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的 k 值范围。解 ：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0.5，7 / 4 渐近线：1 1

8、 7/4 ( 0.5) 1 a a28(2k 1)a 2 2 与虚轴交点：闭环特征方程为4 3 1 2 10D(s)s3s2 (2k )s k 1 07 7 7把 s j 代入上方程，Re(D(j ) 令Im( D( j )解得：(2K7170)437根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的 K 值范围为 1 K 9 7 。4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）G(s)H(s)K( s 2)22(s2 4s 9)2解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 渐近线：2 j 5 2 j 5 ( 2)3(2k 1)33, 分离点：22d 2 j 5 d 2 j 51d2

9、解之得： d3.29 d 0.71 (舍去 ) 与虚轴交点：闭环特征方程为22D(s) (s2 4s 9) 2 把 s j 代入上方程，42)令 Re(D(jIm(D(j) (7234812K3解得：K2196 起始角： 90 (2 p 2 90 ) (2k 1)解出p1 45 , p2135 根轨迹如图所示。4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和 T 为变化参数的根轨迹。(1) G(s) 1/24(s a) ， a 0； (2) G(s) s (s 1)2.6s(0.1s 1)(Ts 1)解 (1)G (s)a/42 s(s 0.5) 2 实轴上的根轨迹：(，0) 渐近线：1/3

10、，60o，180o 分离点： d 1/6 根轨迹如图所示。2Ts2(s 10)(2) G (s) 2s2 10s 26 实轴上的根轨迹： ( ，0) 起始角终止角：o 11 1 1 o o 2(180o tg 1 ) tg 1( p 90o ) 180o55解得起始角p 78.7o2 z 0o( tg 1 1 tg1 1) 180o55解得终止角 z 90o根轨迹如图所示。k 的值。4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，并求出所有根为负实根时开环增益 k 的取值范围及系统稳定时解实轴上的根轨迹： 18， 1分离点： d14.22 ，d26.28渐近线： a7.5， a9

11、0oG(s)H(s) (s k1)(2s(s1)18) 与虚轴交点： s1,21.86j， k* 37.7根轨迹如图所示。d1处k* 116.6，d2处k* 117.6， k k* /18结论： 6.48 k 6.53时所有根为负实根， k 2.095 时系统稳定。4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数 T 变化时系统的根轨迹，并分析参 数T 的变化对系统动态性能的影响。解： G(s)10032 Ts s 20s作等效开环传递函数 G* (s)1 T(s2 20s 100)3s根轨迹绘制如下： (注意：k* 1/T) 实轴上的根轨迹：(, 10 , 10,03 分离点： 32解得 d

12、 30 。dd10根据幅值条件，对应的T0.015 。 虚轴交点：闭环特征方程为32D (s) Ts 3 s 2 20 s 100 0把 s j 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：Re(D(j)10020Im(D(j)20T 3 0解得： 10T 0.2 起始角：p160参数 T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！ )s右半3 个开从根轨迹图可以看出，当 0 T 0.015 时，系统阶跃响应为单调收敛过程； 0.015 T 0.2 时，阶跃响应为振荡收敛过程； T 0.2 时，有两支根轨迹在 平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：Ts3G

13、 (s) 2s2 20s100三条根轨迹中两条起于-10，一条起于，均终止于原点 实轴上的根轨迹：(, 10 ,10,03 分离点： 32解得 d30。dd10其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10 处为两个开环极点，原点处为环零点，根轨迹方向与图中一样。4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹 ( k* 0)。解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的根轨迹： , 2 , 1, 分离点：31d 2 d 1解得 d 0.5 起始角：根据相角条件，mni1j12k得p1 60 ， p260 ， p3 180 。根轨迹如图所示。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) k (1 s) ，试绘制其根轨迹， 并求出 s(s 2)使系统产生重实根和纯虚根的 k 值。解 由开环传递函数的表达式知需绘制 0 根轨迹。 实轴上的根轨迹：2,0,1,1 分离点：11dd2 d 1解得： d1 0.732, d2 2.732将 s d10.732 ,sd2 2.732代入幅