12-2容易积分的一阶微分方程

1、第二节第二节 容易积分的一阶微分方程容易积分的一阶微分方程 一一 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 二二 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 三三 可用变量代换求解的微分方程可用变量代换求解的微分方程 yx dx dy 2 2 例如例如dxxdy y 2 2 1 解法解法 分离变量法分离变量法 dxxfdyyg)()( 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 的形式，的形式，原方程称为可分离变量的微分方程原方程称为可分离变量的微分方程 dxxfdyyg)()( 定义定义 一阶方程若能写成一阶方程若能写成 1. 1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 CxFyG )()(

2、为微分方程的通解形式为微分方程的通解形式 例例1 1 求微分方程求微分方程的通解的通解yx dx dy 2 3 解：解：分离变量分离变量dxx y dy 2 3 两端积分两端积分 dxx y dy 2 3 1 3 lnCxy 3 。为为所所求求通通解解 x cey 解：解： 的的特特解解初初始始条条件件 满满足足方方程程微微分分求求）（ 0 1 0 x xx y eyye 例例2 2 dx e e ydy x x 1 分离变量分离变量 两端积分两端积分Cey x )1ln( 2 1 2 2ln 0 0 Cy x 代入上式得代入上式得将将 为所求的特解为所求的特解 2 1 ln2 2 x e y

3、 思考题 求方程求方程 的通解。的通解。 2 cos 2 cos yxyx dx dy 思考题解答：思考题解答： 0 2 cos 2 cos yxyx dx dy 0 2 sin 2 sin2 yx dx dy dx x y dy 2 sin 2 sin2 2 cot 2 cscln yy , 2 cos2C x 为所求解。为所求解。 解法解法, x y u 作变量代换作变量代换xuy 即即 dx du xu dx dy 则则 代入原式代入原式)(uf dx du xu x uuf dx du )( 即即 可分离变量的方程可分离变量的方程 )( x y f dx dy 形如形如的微分方程称为齐

4、次方程的微分方程称为齐次方程定义定义 2. 2. 齐次方程齐次方程 时时, ,当当0 uf(u)xC uuf du 1 ln )( 得得 , )(u Cex 即即 ) )( )( uuf du u , 代入代入将将 x y u )( x y Cex 得通解得通解 , 0 u 当当, 0)( 00 uuf使使 0是 是新新方方程程的的解解则则uu ,代代回回原原方方程程xuy 0 得得齐齐次次方方程程的的解解 例例3 3 求解微分方程求解微分方程 02 22 xydydxyx）（ x y x y dx dy1 2 方方程程化化成成解：解： u x y 令令 dx du xu dx dy 则则 u

5、 u dx du xu 1 2 dx x du u u1 1 2 分离变量分离变量 Cxuln 2 1 ln)1ln( 2 1 2 两边积分两边积分 22 1Cxu 即即 422 Cxyx 方程的通解为方程的通解为： 0)(1 dyxyydxe y x ）（例例4 4 求解微分方程求解微分方程 解解:11 y x dy dx e y x ）（ dy du yu dy dx u y x 则则令令 , 1)(1 u dy du yue u） ）（ dy y du eu e u u 11 分离变量分离变量 Cyeu u lnln)ln( 积分积分 Cyeu u ）（即即 Cyex y x 方程的通解

6、为：方程的通解为： 例例5 5 抛物线的光学性质抛物线的光学性质 实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面 解：解：轴轴设旋转轴设旋转轴 ox如图如图 ),0 , 0(光光源源在在 )(:xyyL x y o M T N R L 为为上上任任一一点点，设设),(yxM yMT 斜斜率率为为为为切切线线, , y MN 1 斜率为斜率为为法线,为法线, NMROMN , 02 2 yyxyy 得微分方程得微分方程 1)( 2 y x y x y即即 NMROMN tantan y NMR yx y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 由夹由夹 角正角正 切公

7、切公 式得式得 x y o M T N R L ， x y u 令令 u u dx du xu 2 11 得得 分离变量分离变量 x dx uu udu 22 1)1( ， 22 1tu 令令 x dx tt tdt )1( 积分得积分得,ln1ln x C t 11 2 x C u即即 平方化简得平方化简得 x C x C u 2 2 2 2 得得代代回回 , x y u ) 2 (2 2 C xCy 抛物线抛物线 轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox ) 2 (2 22 C xCzy 1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 , 0)( xQ当当方程称为齐次

8、方程。方程称为齐次方程。 方程称为非齐次方程。方程称为非齐次方程。, 0)( xQ当当 二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程 例如例如, 2 xy dx dy ,sin 2 ttx dt dx 线性的线性的 , 32 xyyy, 1cos yy 非线性的非线性的 )()(xQyxP dx dy 标准形式：标准形式： ,)(dxxP y dy dxxP y dy )( CdxxPyln)(ln 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 dxxP Cey )( 一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法 0)( yxP dx dy 线性齐次方程线性齐次方程 ( (使用分离变量法使用分离变量法) )

9、把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质实质: : 未知函数的变量代换。未知函数的变量代换。 dxxPdxxP exPxuexuy )()( )()()( 常数变易法常数变易法 线性非齐次方程线性非齐次方程)()(xQyxP dx dy 设设 )( )(是是方方程程的的解解 dxxP exuy 代代入入原原方方程程得得和和将将yy )()( )( xQexu dxxP CdxexQxu dxxP )( )()(积分得积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxP eCdxexQy )()( )( dxex

10、QeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )( 对应齐次对应齐次 方程通解方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解 , 1 2 )( x xP 3 1)(）（ xxQ解：解： 的通解的通解）（ 求方程求方程 3 1 1 2 xy x y例例6 6 Cdxexey dx x dx x1 2 3 1 2 )1( Cdxexe xx)1ln(23)1ln(2 )1( )1( 2 1 ()1( )1()1( 22 2 Cxx Cdxxx 的的通通解解求求方方程程）（ 2 yyyx 例例7 7 解：解：yx ydy dx 1 方程化成方程化成 yyQ y yP )( , 1 )( )( 11 Cd

11、yyeex dy y dy y )( )( lnln Cyy Cdyyee yy 例例8 8 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 y )(xfy )0( 3 xxy )(xf 23 0 )()(yxdxxf x x yxydx 0 3 两边求导得两边求导得 2 3xyy 解解: 解此微分方程解此微分方程 x y ox P Q 3 xy )(xfy dxexCey dxdx2 3 663 2 xxCe x , 0| 0 x y由由6 C得得 所求曲线为所求曲

12、线为)22(3 2 xxey x y yxyy dy dx cos sin2sincos yxytan2sin yxy dy dx 2sintan 例例9 9 求微分方程求微分方程 的通解的通解 yxyy y y sin2sincos cos 解：解： yxy dy dx 2sintan Cdyeyex yycoslncosln 2sin Cdy y yy y cos cossin2 cos yCycos2cos 贝努利方程的标准形式贝努利方程的标准形式 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程,，时时当当1 , 0 n 方程为线性微分方程方程为线性微分方程,时，时，当当1 , 0 n 解法：

13、需经过变量代换化为线性微分方程。解法：需经过变量代换化为线性微分方程。 n yxQyxP dx dy )()( )1 , 0( n 2. 2. 贝努利方程贝努利方程 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得 n yz 1 )()( 1 xQyxP dx dy y nn ，得，得两端除以两端除以 n y )()1()()1(xQnzxPn dx dz 代入上式代入上式 )1)( )()1()()1( 1 CdxenxQe zy dxxPndxxPn n dx dy yn dx dz n )1(则则, 1 n yz 令令 , yz 令令 2 4 2xz xdx dz C x xz 2 2 解

14、得解得 2 4 2 C x xy即即 解：解： 2 41 xy xdx dy y ，得得两两端端除除以以y 2 4 的通解的通解求方程求方程yxy xdx dy 例例1010 解：解： 2 2 x xexz dx dz 22 2 Cdxexeez xdx x xdx 所求通解为所求通解为) 2 ( 2 2 2 C x ey x dx dy y dx dz 2 则则, 2 yz 令令 例例1111 求求微分方程微分方程 的通解的通解 2 2 22 x xexyyy )( 11111 ckbhaYbXa cbkahbYaX f dX dY kYy hXx 令令（其中（其中h和和k是待定的常数）是待

15、定的常数） dYdydXdx , 解法解法 为为齐次方程齐次方程, ,否则为否则为非齐次方程。非齐次方程。 ,0 1 时时当当 cc )( 111 的的微微分分方方程程形形如如 cybxa cbyax f dx dy 定义定义 三、三、可用变量代换求解的微分方程可用变量代换求解的微分方程 0 0 111 ckbha cbkah , 0)1( 11 ba ba 有唯一一组解有唯一一组解 )( 11 YbXa bYaX f dX dY 得通解代回得通解代回 kyY hxX , 0)2( 通过变量代换通过变量代换byaxu 方程化成可分离变量的方程方程化成可分离变量的方程 例例1212的的通通解解求

16、求 22 12 yx yx dx dy 解解:03 12 21 , , 1代入原方程得代入原方程得令令YyXx X Y u YX YX dX dY , 2 2 令令 0, 1 022 012 yx yx yx 得得 解方程组解方程组 方程变为方程变为 u u dX du Xu 2 21 分离变量分离变量dX X du uu u1 14 2 2 积分积分CXuuln 2 1 ln)14ln( 2 1 2 Cxyxy 22 )1()1(4方程的通解为方程的通解为 2 2 14 X C uu 即即 的通解的通解求求 122 2 13 yx yx dx dy 例例 解解:0 22 11 dx dy d

17、x du yxu 1 ,则则令令 12 2 1 u u dx du dxdu u u 3 1 12 分离变量分离变量 积分积分Cxuu 3)1ln(2 Cyxxy )1ln(2 方程通解为方程通解为 dxdu u u 3 1 12 利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解 2 )(的的通通解解求求yx dx dy 例例1 14 4 解：解：,uyx 令令1 dx du dx dy 代入原方程代入原方程 2 1u dx du Cxu arctan解得解得 得得代回代回, yxu Cxyx )arctan( 原方程的通解为原方程的通解为xCxy )tan( 例例1515 )ln(ln的

18、的通通解解求求yxyyxy 解解: dx dy xy dx du xyu ,则则令令 x dx uu du u x u dx du ln ln ， Cx exy 方程的通解为方程的通解为 Cx euCxu , ln 解：解：,xyz 令令 dx dy xy dx dz 则则 zx y xyx xy dx dz 22 sin 1 ) )(sin 1 ( Cxzz 42sin2 分离变量法得分离变量法得 ,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为Cxxyxy 4)2sin(2 x y xyxdx dy )(sin 1 2 例例16 16 求求 的通解的通解 解解:,uyx 令令1 dx du dx dy