2.4线段的垂直平分线

1、三角形三角形 本章内容 第第2章章 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 本课内容本节内容 2.3 动脑筋动脑筋 如图， 人字形屋顶的框架中，点a 与点a 关于线段cd 所在的直线l对称，问线段cd 所在 的直线l 与线段aa有什么关系？ 说一说说一说 我发现ad=ad， laa. 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 已知点a与点关于直线l对称，如果沿直线l折 叠，则点a与点重合，ad=ad，1 =2 = 90， 即直线l既平分线段aa，又垂直线段aa 说一说说一说 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条 线段的垂直平分线（perpendicular bisector）. 线段是轴对称图形

2、， 线段的垂直平分线是 它的对称轴. 探究探究 如图， 在线段ab 的垂直平分线l上任取一 点p， 连接pa，pb，线段pa, pb之间有什么关系？ 作关于直线l的轴反射（即沿 直线l对折），由于l是线段ab 的 垂直平分线，因此点a与点b重合. 从而线段pa与线段pb重合，于 是pa= pb. 做一做做一做 已知：cdab于o，ao=bo，点p在cd 上，连结pa，pb. 求证：pa=pb. 证明： cdab poa=pob 在poa和pob中 po=po poa=pob ao=bo poa pob（sas） pa=pb 结论结论 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言：几何语

3、言： cdab,ao=bo pa=pb 动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等，反过来，如果已知一点p到线 段ab 两端的距离pa与pb相等，那么点p在线 段ab的垂直平分线上吗？ (1) 当点p在线段ab上时，因为pa = pb， 所以点p为线段ab的中点，显然此时点p在 线段ab的垂直平分线上. 动脑筋动脑筋 （2） 当点p在线段ab外时,如图, 因为pa =pb，所以pab是等腰三角形.过顶点p 作pcab，垂足为点c，从而底边ab上 的高pc也是底边ab上的中线. 即pcab，且ac = bc. 因此直线pc是线段ab的垂直平分线， 此 时点p也在线段ab的垂

4、直平分线上. 结论结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言：几何语言： pa=pb 点p在线段ab的垂直平分线上 举举 例例 例例1 已知：如图，在abc中，ab，bc 的 垂直平分线相交于点o，连接oa，ob，oc. 求证： 点o在ac的垂直平分线上. 举举 例例 证明 点o在线段ab的垂直平分线上， oa = ob. 同理ob = oc. oa = oc. 点o在ac的垂直平分线上. 练习练习 已知：如图，点c，d 是线段ab 外的两点， 且ac =bc，ad =bd， ab与cd相交于点o. 求证：ao=bo. 证明：ac=bc 点c在线段ab的垂直平分线上 ad=b

5、d 点d在线段ab的垂直平分线上 cd是线段ab的垂直平分线 ao=bo 例2 abc中,abac ，a的平分线与bc 的垂直平分线dm相交于d，过d作deab于 e，作dfac于f. 求证：be=cf. 举举 例例 证明：连接bd和cd dm垂直平分bc bd=cd d是bac平分线上的点， 且deab，dfac de=df ，bde和cfd是rt 在rtbde和rtcfd中 bd=cd de=df rtbde rtcfd(hl) be=cf 举举 例例 做一做做一做 如图，已知线段ab，作线段ab的垂直平分线. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂 直平分线上”， 要作线段ab的垂直平分

6、线， 关 键是找出到线段ab两端距离相等的两点. 做一做做一做 作法 分别以点a，b 为圆心， 以大于 ab 的长 为半径画弧， 两弧相交于点c 和点d； 1 2 过点c,d作直线cd，则直线cd就是线段ab 的垂直平分线. 因为线段ab的垂直平分线cd与线段 ab的交点就是线段ab 的中点， 所以可 以用这种方法作出线段的中点. 做一做做一做 动脑筋动脑筋 如何过一点p 作已知直线l 的垂线呢？ (1)当点p在直线l上. (2) 当点p在直线l外. 动脑筋动脑筋 在直线l 上点p 的两旁分别截取线段pa， pb，使pa= pb； (1)当点p在直线l上. 分别以a，b 为圆心 以大于 ab 的长为 半径画弧， 两弧相交于点c； 1 2 过点c， p作直线cp， 则直线cp 为所求作的直线. 动脑筋动脑筋 (2) 当点p在直线l外. 以点p 为圆心， 以大于点p 到直线l的距离 的线段长为半径画弧， 交直线l于点a，b； 分别以a，b 为圆心 以大于 ab 的长为 半径画弧， 两弧相交于点c； 1 2 过点c,p作直线cp，则直线 cp为所求作的直线. 小结与复习小结与复习 1. 线段的垂直平分线的性质是什么？ 2. 线段的垂直平分线的判定是什么？ 中考中考 试题试题 例例1 如图，已知ad是abc的bc边上的高，且 c 2