矩阵的秩及其应用

1、矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。 首先是在解线性方程组中的应用， 当矩阵的秩为 1 时求特征值； 其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具 体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。关键词： 矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言： 阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵 的一个重要性质。 在判定向量组的线性相关性， 线性方程组是否有解， 求矩阵的特征 值，在多项式、 空间几何中等多个方面都有广泛的应用。 由于矩阵的秩的重要作用和 地位，需要我们认真学习。1矩阵的秩及其

2、求法矩阵的秩的定义定义 1.1.1 1 矩阵 A的行（列）向量组的秩称为矩阵 A 的行（列）秩。定义 1.1.2 2 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个 数称为矩阵的秩。定义 1.1.3 1 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式，且所有的 r 1子式（如果存 在的话）全等于零，则称矩阵 A的秩为 r ，记为r A r或秩 A r 。零矩阵的秩规 定为零。注：由定义可以看出（1）若 A为m n矩阵，则 r（A） m，也 r（A） n，即 r A min m,n(2) r AT r A , r kA r A , k 为非零数矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常

3、用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一下这两种方法。方法 1 按定义例 1.2.1 求矩阵 A=3123212的秩按定义 3 解答，容易算出二阶子式120，而矩阵的所有三阶子式2382323822822122=0，21212=0，12212=0，2212131134314114=0 所以A2方法 2 初等变换法引理1.2.11 初等变换不改变矩阵的秩1.2.12382求矩阵 A2122121314的秩用“表示对 A 作初等变换，则有3123142 1282=B，在矩阵 B 中易知, 所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式0.所以 r B 2, 可得r A 2 。即矩阵的秩为2 矩阵的秩的应用2

4、1 矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。消元法多用于方程组比较简单时。当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。引理 2.1.11如果齐次线性方程组b11x1b12x2 . b1nxn0b21x1b22x2 . b2nxn0 的系数矩阵bs1x1bs2x2 . b xsn n0b11b21BMbs1b12b22Mbs2b1nb2n 的行秩 rMbsnn ，那么它有非零解。x1 2x2 x3 x4 x5002x1 x2x3x4x5x17x25x35x45x503x1 x22x3x4x50对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得12111

5、1211112112211110533105331175550966606900312110552205140求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解，由于例 2.1.110001391130421000 ，可知 rank ( B) 45. 方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，题目所给方程组的同解方程组为x1 2x2 x3 x45x2 3x3 3x46x2 9x35x2 x3 4x4 02x5 0x05 0 ，可以令 x2 2 可推出x21 2 13 112,1,23,1132，14) ， 是原方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解可以表示为 x k （k 为任意常数）

6、b11x1b12x2 . b1nxnc1引理2.1.22判别线性方程组b21x1b22x2 . b2nxnc2 (1）有解的条件是bs1x1bs2x2 . b x sn ncsb11b12Lb1nb11b12 Lb1n c1Bb21b22Lb2n 与增广矩阵b21Bb22 Lb2n c2有相同的秩。这说MMMMMMMMbs1bs2Lbsnbs1bs2 Lbsn cs明当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 方程组无解。例 2.1.1.1解方程组2x1 x2 x3 x1 3x2 x3 x1 x2 5x3 2x1 3x2 3x314解 用上述引理，将增广矩

7、阵化为阶梯形。2112115711571001131501916019160102115702412001200122331401132800000000x11所以很显然可得x22x32x12x2x32x41例 2.1.1.2解方程组2x14x2x3x45x12x22x3x44解 对 B 进行初等行变换。B=121211212112121120122411500333001110011112214003330000000000所以可知 r A r B 2 所以方程组有解。得出同解方程组 x1 2x2 x4 2x3 x4 1取 x2 x4 =0，则 x1 2, x3 1。方程组的一个解是0 ，原

8、式对应的齐次方10解为 x212100k2101k1,k2为任意实数0 1 0x1 2x2 x42 1程组x2x21的通解为 k1 1k2 0 。所以由以上可以求得方程组的通x3x41021x4x401：矩阵的秩在求特征值中的应用矩阵的秩与特征值之间也有非常密切的联系，下面就讨论一下当矩阵为 1 时特殊情形时，特征值的取值情况。32a11 a12a11 a13a22 a23E A 3 (a11 a22 a33)s A, 其中 sa21 a22a31 a33a32 a33引理 2.2.1 设 A aij 是 3 阶矩阵，则 A的特征多项式特别地，若秩 r(A) 1 ，知道特征多项式32E A 3

9、 ( aii) 2 (3aii ) 2 ，则矩阵 A的特征值是 1aii, 2 3 0i1x zzxz zLLz zz z例 2.2.1 求行列式的值zzxLzzMMMOMMzzzLxzzzzLzx解 用上述引理的相关理论知识来解答，LLLOLLzM(A)+xz00M00xz0M00xzM00zLLLOLLLLLOLLz000Mxz0000 M0xz=B). r ( A)1, 因此在 A中，nz,0，在 B 中，1 L n x z 。所以矩阵的特征值为nzx z, 2 L n x z ，由以上可以求得行列式LLLOLL1 2 L n (nz xz)(x z)n 1 =(n 1)z x( x z

10、)n1：矩阵的秩在多项式中的一点应用在高等代数中矩阵理论的学习在多项式理论之后，为了使同学们能够把前后知识连贯起来，融会贯通，下面给出矩阵的秩在多项式中的一点运用。引理 2.3.1 7 设 f (x),g(x) pX, 且它们的次数都 1，令n n 1g( x) cn xcn 1xm1L c1x c0和 h(x) dmxm dm 1xm 1 L d1x d0 ，且 n m,则h(x)| g (x)的充要条件是线性方程组C h( x) xA有唯一解，其中Ch( x)dmMM0dm 1dmLd0dm 1 Ld0dmdm 1A=(cn,cn 1L c1,c0) . 令d0 ( n m 1)(n 1)

11、dmdm 1Ld00dmdm1Ld0HCh（x）T A, JL. 即r Hr J n m10dmdm 1d0cncn 1 Lcn mcn m 1Lc0例2.3.1已知 （u x）43 x bx22x dx2 ，（v x）2 xx 2 ，当 b ，d 为何值时，（v x）能整除 （u x）解 （u x）能被 （v x）整除的充要条件是矩阵11200BC（v x）01120的秩，1b2d2001121b2d2（r B）nm 1 3 。而1120011200011200112B。要使00112001121b2d20003bd72b 8（r B）=3, 需要使3b d 7 02b 8 0b 4 b 4

12、bd 54，所以当 bd 54时，（v x）能整除 （u x）。：矩阵的秩在解析几何中的应用在解析几何中合理运用矩阵方面的理论知识，可以使几何问题转换为代数问题，从而使运算更加简便。9m1xn1yp1zq10m3xn3yp3zq30引理 2.4.19 已知两条直线1111，3333，矩m2xn2yp2zq20m4xn4yp4zq40阵m1n1p1m1n1p1q1m2n2p2m2与n2p2q2的秩分别是 r 和 R，则m3n3p3m3n3p3q3m4n4p4m4n4p4q41）两直线相交的充分必要条件是rR 3.(2) 两直线平行并且互异的充分必要条件是r 2,R 3.(3) 两直线不平行也不相

13、交的充分必要条件是 r 3,R 4 .4)两直线重合的充分必要条件是 r R 2.例2.4.1 证明直线l1和直线l2平行： p1：a 2b c2a b c7和7p2：3a 6b 3c 82x y z 0证明 由以上结论来证明：令 U121121051051U, 所以000000051000121712171217211705120512rUr 2. V,V3638000130001321100511400002 1 13 6 32 1 1所以r(V) R 3,由引理 4可以得出直线 l1和直线 l2平行结束语：当今这个快速发展的社会， 数学与生活的关系日益密切。 本文所举的具体例子只 是矩阵

14、的秩在数学和生活中的一部分应用。 矩阵的秩作为代数的重要部分， 它的引入 为解决某些数学问题提供了新的探索途径和方法。 在一些实际的运算中大大地简便了 运算过程和步骤， 为我们的学习和应用带来了极大的便利。 关于矩阵的秩的其他方面 的知识还需要大家继续学习。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 . 高等代数 M. 高等教育出版社， 2007，25-36 页 .2 牛少彰，刘吉佑 . 线性代数 M. 北京邮电大学出版社 .2001,28-33 页 .3 郑千里 高等代数教与学指导 M. 东北师范大学出版社 .2008,57-59 页 .4 蔡光兴 线性代数 M. 科学出版社 .2002,18-30 页 .5 罗雪梅，孟艳双，郑艳琳。浅析矩阵的秩 J. 高等数学研究。页 .6 郭竹梅， 矩阵的秩教学方法新探