从线性方程组谈起

1、 2021-6-132 2021-6-133 2021-6-134 2021-6-135 2021-6-136 线性方程组为线性方程组为 主线主线 如何判断方程组是否如何判断方程组是否 有解有解 解的结构解的结构 2021-6-137 （行列式）（行列式） 1n nn axb 求解 1m nn axb 求解 2021-6-138 l 定义 ax=b的系数矩阵: a; 增广矩阵: l 解的判定 (1)( )( ),;r ar an 若若则则方方程程组组有有且且只只有有一一组组解解 )(baa ;,)()()2(则则方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解若若narar ., )()()3(则方程组无

2、解则方程组无解若若arar , , , 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2021-6-139 l 解的结构_特解+导出组通解 ., , : ,0, 21 2211 21 可可取取任任意意数数其其中中 的的所所有有解解可可表表为为则则 的的一一个个解解为为的的一一个个基基础础解解系系为为 rn rnrn rn aaa aaa bax baxax nararbabax nm )()(, 0,k,设设 2021-6-1310 1、讨论一个向量能否由一组向量线性表示的问题经常 转化为非齐次线性方程组解的存在性及唯一

3、性问题。 123 2 123 123 123 1110 1,1,1, 111 2 3 问 取何值时，（1） 可由，线性表示且表达式唯一； （ ） 可由，线性表示且表达式不唯一； （ ） 不能由，线性表示。 例：设 2021-6-1311 1 1 , , . (1), 1. (2), 1,1. n r n r axb axb nr axbx nr 设 是非齐次线性方程组的一个解 是其导出组的一个基础 解系证明 是方程组的 个线性无关的解 方程组的任一解都可以表示为这 个解的线性组合 而且组合系数之和为 例例 2、对非齐次线性方程组解的结构的进一步分析对非齐次线性方程组解的结构的进一步分析 202

4、1-6-1312 注注 (1)本例给出了非齐次线性方程组的解向量组成本例给出了非齐次线性方程组的解向量组成 的向量组的极大无关组。的向量组的极大无关组。 (2)对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给 的个解称为其基础解系，所不同的是它的的个解称为其基础解系，所不同的是它的 线性组合只有当线性组合系数之和为线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程时，才是方程 组的解组的解 1nr 2021-6-1313 3、方程组、方程组ax=0的解全是的解全是bx=0的解的充要条件的解的充要条件 是是b的行向量可由的行向量可由a的行向量线性表示的行向量线性表示. 例

5、例 对实矩阵对实矩阵am n, 证明 证明 方程组方程组ax=0的解与的解与bx=0同解的充要条件是同解的充要条件是a 的行向量组与的行向量组与b的行向量组等价的行向量组等价. (). ( t r a ar a 2021-6-1314 4、线性映射的核线性映射的核 k n m a 例例 设设 . 定义线性映射定义线性映射a : 则则ker a即为即为ax=0的解空间的解空间. 11 kk, mn xax 注：由同构的思想，求线性映射的核空间的问题可转注：由同构的思想，求线性映射的核空间的问题可转 化为求上述化为求上述ker a的问题的问题. 2021-6-1315 例例 是是v的一组基的一组基, 是是u的一组基的一组基, 求求 12345 , 1234 , (v,u),l 123451234 12132 21113 (,)(,) 11222 2351710 ker . 2021-6-1316 例例：设设v是四维行向量空间是四维行向量空间, 内积为标准内积内积为标准内积, 求求v中与中与 矩阵矩阵 的每个行向量