谈点解析几何的解题教学

1、谈点解析几何的解题教学师生的“认识”引发的思考某日，有学生问一道解析几何题： “老师，该题是设坐标还是设斜率？ ”这不禁 人想起在 2013 年苏州高三数学二轮复习研讨活动中，有位教师开了一节题为 “解析 几何的解题策略选择 ”的公开课，课上教师提出 “设坐标”和“设斜率”两种策略 .那么问 题来了，解析几何的解题教学定位到底是什么？莫非以这种刻意划分的 “设坐标 ”、“设 斜率 ”的策略教学为教学目标？解析几何解题教学中涉及的算法设计与分析、 变式教 学、背景探求等都应是训练学生数学素养的重要载体 .实际的教学现状令人堪忧：教 师只侧重于方法的讲解展示，热衷于解题方法的分析，局限于对某单个问

2、题的个体 研究.整个教学过程俨然就是大容量、快节奏的题海战术演练，学生的行为完全被支 配于低层次的 “同化 ”状态，学生经历的是被动的碎片化的思维训练，学习效果自然 不理想，久而久之便形成了高耗低效的恶性循环 .要改变如此境况，教师必须要改变以往 “大容量、快节奏 ”的课堂教学观，控制 容量，放慢节奏，以提升学生核心素养为基本抓手，让解析几何解题教学多点 “数学 味 ”下.面以一道具体问题谈谈一些想法 .关注解题教学的过程分析2.1 聚焦运算节点，对运算进行 “微研究 ” 在研究解析几何问题时，很多学生一旦有了思路便急于下笔，洋洋洒洒写了很 多，忽觉运算愈加繁杂，运算信心受挫，最终只能望 “算

3、”心叹 .这种现象在教学中尤 为常见，是导致解析几何解题教学难以突破的一大主因 . 一直以来，教师善于引导学 生分析思路，然后便急匆匆地板书或让学生自己验算，在这样的过程中，教师既没 有对已有算法进行合理性分析，也没有带领学生对已有算法的运算长度进行预估， 学生在此情形下实施的要么是照搬教师黑板板书，要么就是停留在原有经验中的运 算程式，获得的 “运算求解 ”基本经验几乎没有 .其实，完全可以在有思路之后，引导 学生对思路进行算法的设计，并力求理清思维走向中的每个运算节点，对每个节点 中可能的思维障碍、运算实施进行预估，并及时作出改进与优化方案 .就本题而言，思路形成后的算法设计如下：S1：设

4、出 P、M、N 坐标（节点），并表示直线 PM、PN 的方程；S2：求得两条直线与 x 轴交点的横坐标 XR,Xs（ 节点）；S3：计算 XRXs（ 节点） . 这样的算法设计就是学生解题时的 “方向仪 ”，在此基础上，可对其中的运算节 点做进一步的 “微研究 ”：在节点中，教师可引导学生分析选择不同的变量对后续运算的影响.一般而言，椭圆上的点有两种设法：直角坐标或三角参数形式 .两种设法各有优劣，应让不 同层次的学生感受到不同的设点方式下导致的运算长度和可能状况不一样 .分析：设成直角坐标直接简明，但可能因为变量 （字母）较多，后续消元时易迷 失方向；设成参数形式变量较少，化简方向不会乱，但

5、对三角恒等变换的要求高 . 据此分析，学生将会结合自身实际情况选择合适的设点方式，进而形成基本活动经 验.在运算节点处，不应匆匆略过，这是提升学生运算求解素养的一个重要节点， 很有必要让学生体会到运算方式的差异对运算速度和准确率的影响.在计算 “XR”时，对“y0 y0 y1 （x x0 ） ”的运算方式可以是直接展开后再一项一项地合并同类项，x0 x1也可先观察等式两边展开项的形式再按照某种顺序依次书写，前者是常规的运算方 式，后者则是对等式进行整体运算的方式，两种方式对学生思维训练的要求不同， 前者是单向线性的思维体现，后者则是双向整体的思维具象.其次，在运算 “XS”时习惯于运用 “同理

6、可得 ”，可实际上很多学生并非真理解 “同理 ”，“理”在何处？因此，在 最初运用 “同理”时应讲清原委，并尽可能地让学生自己完成这样的 “同理可得 ”，让他 们真正体会到如何进行坐标替换的思维操作 .在节点中，可着重引导学生观察式2 2 2 2子xRxS x1 y02 x02y1 中结构的一致性（ x12 y02和x02 y12 ）与差异（出现的纵坐标多， y0 y1横坐标少）从而形成消元的方向与决策（消去谁？怎么消？） .可见，通过慢节奏对算法设计、运算节点进行 “微研究 ”，学生的思维训练是由 浅入深、从粗到细慢慢展开，既有对自己已有运算经验的调整训练，也有借鉴他人 思维的模仿训练，还有

7、对代数式观察、运算方向监控、运算长度预估等多重的思维 训练，在这样过程中，学生的思维品质和数学运算素养都将能得到相应的提升 .2.2 算理提炼，形成基本活动经验长期以来，数学运算的教学侧重于技能的训练，将数学运算变成了追求速度、 技巧、准确率的技能训练，学生疲于 “死算”，忙于“瞎算 ”，这样的训练对学生的数学 素养的提升是极其不利的 .任何运算都离不来算理的支撑，算理是客观存在的规律， 为计算提供了正确的思维方式， 保证了计算的合理性和正确性 .没有算理指引下的运 算是盲目的，学生更需要算理来指引运算，从而减少不必要的时间消耗.实际上，在每个运算过程中蕴含着 “算理 ”，需要教师引导学生提炼

8、出来， 而且要让学生体会到 “算 理 ”是进行一类运算的规律所在 .对本题的运算过程进行回顾，可以发现 “消元 ”是基本算理，具体到两种不同的 设点方式：设成直角坐标最终必定通过 “点在椭圆 ”上这一信息进行坐标代换，而设成三角 参数形式最终必定通过三角恒等式进行消元 .通过对两种设点方式的算理提炼， 并及 时指出两种设点方式最终的 “消元 ”方式不同，对知识要求和运算水平也不尽相同 .这 样的过程可以让学生根据自身情况选择更适合自己的 “算法”进行运算 .算理的提炼解 决了学生执行算法时的盲目，学生获得了进行类似操作的思维范式，对学生运算信 心的提高也有很大的帮助 .重视解题教学的本质揭示正

9、如波利亚所言： “好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个 以后，你应当在周围找找， 很可能附近就有好几个 . ”在解析几何解题教学中， 应有意 识地搜集 “附近的蘑菇 ”，举一反三，触类旁通，揭示出问题本题，并通过合理的教 学组织，发挥出应有的教学功能 .很容易搜集整理到原题结构相近的 “姊妹题 ”：有了这些形似的素材，可以根据学生的认知特点、思维水平设计不同层次的活动 .如变式教学，将原问题变式为题 1（或题 2），进而变形为题 3，并分析题 3 与原题的联系 （过 Q 作 QQX 轴于 Q，可知 Q,M,C三点共线，问题就是题 1了）.还可以引导学生通过运算观察、归纳猜想、推理论证等一系列的思维活动，将原问题拓展至一般情形，或将原问题退化为 “圆 ”探求其几何背