等差数列前N项和的性质及其应用上课讲义

1、肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案授课教师：吴晗 班级：高一（ 11） 时间：3月 31号下午第一节课 课题：等差数列前 n 项和的性质及其应用教学目标：（1） 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式；了解等差数列的一 些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 n 项和公式研究 Sn 的最值。（ 2） 经历公式应用过程。（ 3） 通过有关内容在实际生活中的应用， 使学生再一次感受数学源于生活， 又 服务于生活的实用性， 引导学生善于观察生活， 从生活中发现问题， 并用 数学方法解决问题。教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。 教学难点：灵活应用求和公式解决问题。

2、教学方法：启发探究 学法指导：自主学习 教学用具：粉笔、黑板、 PPT 教学过程：一、复习回顾（ 1） 等差数列的定义、通项公式、性质；（2） 等差数列前 n 项和公式及其推导。二、新课讲解探究一：等差数列前 n 项和公式可以转化为关于 n 的一元二次方程， Sn na1 n（n2 1） d d2 n2 （a1 d2） n ，反过来如果一个数列的前 n 项和是关于 n 的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？1例 1、如果一个数列 an 的前 n项和为 Sn n2 1 n ，求这个数列的通项公式，2 这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？2 1 2 1 1解： 当n

3、 2时，an Sn Sn 1 n2 n （n 1）2 （n 1） 2nn n n 1 2 2 2当 n 1时， 也满足上式3S11a1所以数列 an的通项公式为 an 2n 1n n 2 由此可见， 数列 an 是一个首项为 3，公差为 2的等差数列 n2课堂练习11、如果一个数列 an 的前 n项和为 Sn n2 1n 1，求这个数列的通项公式， n n 2这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 课本第 45 页的探究等差数列前 n 项和的性质一： 数列 an 是等差数列Sn An2 Bn,公差为 An n 2 探究二：既然等差数列的前 n项和 Sn是关于 n的一元二次

4、方程，那么它的最值怎么求呢？例 2：已知等差数列 5,3,1 的前 n项和为 Sn，求使 Sn最大的序号 n的值？解 1 ：由已知条件知，该等差数列首项a1 5,公差 d-2Sn 5n n(n2 1)(22)n2 6n2(n 3)2 9使Sn 最大的序号n 的值为 3.解 2：由已知条件知， an 52(n 1)2n 7,an 12n 5由 anan 1不等式法求 Sn 的最值：若 a1 0,d0且anan 1，则 Sn 有最大值，若a1 0,d 0且 anan 100，则 Sn有最小值。解得52n3等差数列前 n 项和的性质二：也可以用二次函数的图像求最值，但要注意 例 3：已知数列 an

5、是等差数列， Sn 是其前 n项和，求证： S6 , S12 S6 ,(S18 S12) 也成等差数列。解：设等差数列首项为 a1 ，公差为 d ，则有：S6 6a1 15d , S12 12a1 66d , S18 18a1 153dS12 S6 6a1 57d,S18 S12 6a1 87d(S12 S6 ) S636d ,( S18 S12) (S12 S6 ) 36dS6, S12 S6 ,(S18 S12) 是等差数列，公差为 36d等差数列前 n 项和的性质三：若果数列 an 为等差数列，则 Sk,S2k Sk,S3k S2k, 也成等差数列，公差为 k2d 课堂练习：2、已知 a

6、n 是等差数列：( 1 )a1a2a35,a4a5a610,则,a7a8a9，a19 a20a212)Sn25, S2n 100,则S3n3、等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，公差 d 2，若 S4 1，求 a17 a18 a19 a20 例 4：有一等差数列共有 2n(n N* )项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为 24和 30，若最后一项和第一项之差为 10.5，求此数列的首项、公差和项数。 解：由题意知：S偶 - S奇 nd 6a2n a1 (2n 1)d 10.5解得：n 4,d1.5又 a1 a3 a 5 a 7 4a1 12d 24, a1首项为 32公差为 32，项数为

7、8等差数列前 n 项和的性质四：若等差数列 an 共有 2n项，则 S偶 - S奇nd,S奇S偶an ，a n 1若等差数列共有 2n 1项，则 S奇 - S偶S奇课堂练习：4、若等差数列an的前 n 项和为 Sn ，公差2，求1) (a1 a3a5a7 a9 ) (a2a 4 a6a8a10)2) a1 a3a 2 a 4a5a6a7 a 9a8三、课堂小结等差数列前 n 项和的性质：等差数列前 n 项和的性质一： 数列 a是等差数列2Sn An2Bn,公差为 2A等差数列前 n项和的性质二：不等式法求 Sn 的最值：若 a1 0, d0且 an 0 ，an 1 0an 0 则Sn有最大值，若 a1 0,d 0且 n，则 Sn有最小值an 1 0等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 三 ： 若 果 数 列 an 为 等 差 数 列 ， 则 Sk,S2k Sk,S3k S2k , 也成等差数列，公差为 k2d等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 四 ： 若 等 差 数 列 an 共 有 2n 项 ， 则S偶 -S奇 nd,S奇 a