群的阶与群中元素的阶的关系讲解

1、石家庄铁道学院毕业论文群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域， 解决了许多著名的数学难题 : 像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问 题等等而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系具体地来 说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无 限群中关于元的阶的情况 并举了一些典型实例进行分析， 之后又重点介绍了有限群 中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理拉格朗日定理， 得出了一些比较好的 结论在群论的众多分支中， 有限群论无论

2、从理论本身还是从实际应用来说， 都占据着 更为突出的地位同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支因此，在 本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析关键词： 群论 有限群 元的阶石家庄铁道学院毕业论文AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such a

3、s, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between t

4、he order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical exa

5、mples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagranges theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, wh

6、ether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the st

7、ructures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements石家庄铁道学院毕业论文目录 绪 论 11.1 群论的概括 11.2 群论的来源 11.3 群论的思想 22 预备知识 22.1 群和子群 22.1.1 群的定义 22.1.2 群的阶的定义 32.1.3 元的阶的定义 42.1.4 子群、子群的陪集 52.1.5 同构的定义 62.2 不变子群与商群 62.2.1 不变

8、子群与商群 62.2.2 Cayley( 凯莱) 定理 72.2.3 内直和和外直积的定义 83 群中元的阶的各种情况及其实例分析 83.1 有限群中关于元的阶 93.1.1 有限群中元的阶的有限性 93.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 93.2 无限群中关于元的阶103.2.1 无限群 G 中，除去单位元外，每个元素的阶均无限103.2.2 无限群 G 中，每个元素的阶都有限103.2.3 G为无限群， G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 114 群的阶与其元的阶之间的关系 114.1 拉格朗日 (Lagrange)定理 114.1.1 拉格朗日定理 114.1.2 相

9、关结论124.2 有限交换群的结构定理134.2.1 有限交换群的结构定理13石家庄铁道学院毕业论文4.2.2 相关例子14参 考 文 献15致 谢错误！未定义书签。石家庄铁道学院毕业论文 绪 论本论文旨在综述群论中关于群的阶与其元的阶之间的关系， 并找出各种情况进行 实例分析1.1 群论的概括群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科，它不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位 群论的概念和结果远不限于对几何学、 拓扑 学等纯粹数学方面的应用，实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力工 具随着科学技术的发展， 群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用， 除了大家比 较熟

10、悉的对物理学、 特别是理论物理学和结晶学的应用， 它还渗透到计算机科学、 通 讯理论、系统科学、乃至数理经济等许多领域因此，今天需要掌握和了解群论知识 的人越来越多1.2 群论的来源为什么正方形在我们看来是对称图形，圆是更为对称的图形，而数字“4”就根本不对称？为了回答这个问题， 我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动 容易了 解，正方形的这样的运动有八个，圆有无穷多个这样的运动，而数字“4”只有一个，即所谓恒等运动， 它使图形的每个点留在原位不动 使某个图形自身重合的各种运动 的集 G，是对称性为大为小的一个特征：这样的集越大，图形就越对称在集G 上按下列规则定义合成，即对其元素的运算：如果

11、 x，y是 G 的两个运动，那么所谓它 们的合成结果就是等价于先作运动 x，后作运动 y 的连接实施的运动 x y 例如，如 果 x， y 是正方形相对于有关对角线的反射运动，那么 x y 就相当于绕中心转 180 的旋转显然，在 G 上的合成具有下列性质：1) 对G中的任意元素 x, y,z, (x y) z x (y z)；2) 在G中存在这样的 e，使得 x e e x x，对 G中的任意的 x都成立 ；3) 对 G中的任意 x，在 G中存在这样的元素 x-1，使 x x-1 x-1 x e； 实际上， e可取恒等运动，而 x 1可取x的逆运动 ，即图形的每一点从新位置还原到旧 位置石家

12、庄铁道学院毕业论文1.3 群论的思想在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前， 需要几代数学家的辛勤劳动， 总计 花费了近一百个春秋从拉格朗日（Lagrange） 自发地采用置换群以解决用根式解代数 方程问题起 （1771） ，中间经过罗菲 （Ruffin ，1799）与阿贝尔 （Abel ，1824） ，直到伽罗 瓦（Galois ，1830）在他的著作中已经足够自觉地应用群的思想 （ 就是他首先引进群这 个术语的 ） ，这就是在代数方程论内这个思想发展的过程 与此独立，由于其他原因， 当 19 世纪中叶， 在统一的古希腊几何舞台上出现了多种 “几何”，尖锐地提出了研究 它们之间的联系与“血缘

13、”关系问题时在几何中出现了群现在群论是代数学发展最充分的分支之一， 无论在数学本身还是数学以外在 拓扑学，函数论，结晶学，量子力学以及数学与自然科学其他领域中， 都有许多应用2 预备知识2.1 群和子群2.1.1 群的定义 我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义设 是非空集合 G 的一个代数运算 （我们常称作乘法 ）称 （G， ）为一个群，如果 这个运算满足下列诸公理：G1）对 a G，b G，有a b G ；G2）对 a，b，c G，有 （a b） c a （b c） ；G3）存在e G，使对 a G，有 e a a e a；G4） 对 a G，存在一 元素 b G， 使 a b b

14、 a e； 如果群 G 还满足：G5）对 a，b G，有 a b b a；则称（G， ）为交换群，或者 Abel 群另若一个群 G 的每一个元都是某一个元 a 的乘方，这时我们把 G 叫做循环群我们也说， G 是由元 a 生成的，并用符号 G= 表示，其中 a 叫做 G 的一个生成元例 1（全体整数集，数的普通加法）显然满足公理 G1G5，做成一个 Abel 群并 且不难验证，它还是一个由整数 1 生成的循环群即该群可用符号 来表示例 2设 G=（ a，b）|a， b 为实数，且 a不为 0规定石家庄铁道学院毕业论文(a， b) (c， d) (ac，ad b) 则 G 显然满足 G1 G4，

15、做成一个群事实上，显然 G 非空又在 G 中任取(a，b)，(c，d)则 a，b，c，d 是实数且 a， c 均不为零于是 ac， ad+b 也均为实数且 ac 也不为零从而(a， b) (c，d) ( ac， ad b) G 再任取 (e, f ) G, 则有(a,b) (c,d) (e, f ) (ac,ad b) (e, f ) ( ace, acf ad b) (a, b) (c, d) (e, f) (a, b) (ce, cf d) (ace, acf ad b) 故 (a, b) (c, d) (e, f) (a, b) (c, d) (e, f),即G对 满足结合律 .又(1,

16、0) G, 且(1,0) (a,b) (a,b) (a,b) (1, 0). 即(1,0)是G的单位元.又对G中任意(a, b) G, 有(1, b) G,且 aa1 b 1 b (a,b) ( , ) ( , ) (a, b) (1,0).a a a a即 (1, b)是(a,b)在G中的逆元 . aa所以G满足G1G4, 作成一个群 , 但它不作成一个 Abel群. 因为: (3,6) (1,2) (3,4) (3,4) (1,2) (3,10)例 3 (有理数集上行列式为 1 的 2 阶方阵的全体，矩阵的乘法)显然满足 G1 G4，但它不满足 G5因为：020.8 0.61.2 1.60

17、.5 00.6 0.80.4 0.3但是0.8 0.6020.31.60.6 0.80.500.41.2所以020.8 0.60.8 0.6020.5 00.6 0.80.6 0.80.5 0交换律不成立 . 所以它也只是一个普通的群2.1.2 群的阶的定义如果群 G 只有有限个元素，我们称它为有限群其元素的个数称为群 G 的阶， 记为 |G|，否则称它为无限群，记 |G|= 从前面我们举的例子（例 1 至例 3）都是无限群下面我们举两个有代表性的有 限群的例子石家庄铁道学院毕业论文例 4模 n 的剩余类加群 Zn G 包含模 n 的 n 个剩余类我们要规定一个 G 的叫做加法的代数运算 我们

18、用 a 来表示 a 这个整数所在的剩余类我们规定：a+ b= a+b(1)我们先看一看，这样规定的 +是不是一种代数运算我们知道，假如 a a，b b那么 a=a，b=b 照我们的规定，a+b=a+b(2)(1)， (2)两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样： a+b a+b 那么我们规定的 +就不是代数运算了我们说这种情况不会发生因为 a=a，b=b就是说 a a(n)，bb(n)也就是说 n|(a-a)，n|(b-b)因此，能 n|(a-a)+(b-b)，即 n|(a+b)-(a+b) 所以a+b= a+b，这样规定的 +是 G的一个代数运算而且a+( b+ c)= a+ b+c= a

19、+(b+c)= a+b+c (a+b)+c=a+b+c=(a+b)+c=a+b+c这既是说 a+( b+ c)= ( a+ b)+ c并且0+ a=0+ a= a-a+ a=- a+a=0 所以对于这个加法来说， G 做成一个群，这个群叫做模 n 的剩余类加群记为Zn 仔细研究这个群，它还是一个循环群，即 Zn = 例 5 三次对称群 S3一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换 一个包含 n 个元素的集合的全体置 换做成的群叫做 n 次对称群这个群我们用 S3来表示容易知道 n 次对称群 Sn的阶为 n!，即|Sn|=n!，当 n=3 时，就是三次对称群 S3 ，下面 我们将 S3 的元素一一

20、列出S3 =(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132) 依照群的定义，容易验证 S3 满足 G1G4，做成一个群但它不是一个 Abel群因 为(12) (13) (13) (12),事实上，(12) (13) (123),(13) (12) (132).并且可以说 S3是一个最小的有限非交换群 (略去证明)有兴趣的可见参考文献 3 2.1.3 元的阶的定义我们下面来看群 G的一个元素 a，能够使得 am e的最小整数 m叫做元 a 的阶， 记为|a|=m如果这样的 m 不存在，我们说 a 是无限阶的，记为 |a| 石家庄铁道学院毕业论文下面举两个关于阶的例子，希望读者对它有一

21、个较好的理解：例 6设 G 刚好包含 x3 1的三个根： 1，1 3 ， 1 3 22 G对于普通乘法来说显然满足 G1G4，做成一个群在这个群里面， 1的阶为 1， 的阶为 3， 的阶也为 3例 7（非零有理数集，数的普通乘法）显然满足 G1G5，做成一个 Abel 群 在这个群里面除了 1，-1 外，其它元素皆为无限阶的另外，有关元的阶，我们还有以下几个比较好的结论结论 1在群 G 中，若元 a 的阶为 m，且 an e（e为单位元 ） ，则 m|n证 我们采用反证法设 m 不整除 n，由代数的基本知识可知，q，r 使n mq r（其中0 r m） 又因为 e an amq ar （am）

22、q ar ar 这与元 a 的阶为 m 矛盾，所以 m 整除 n，即 m|n结论 2设 G为群，a G，且|a|=n，则对任意的整数 k，有|ak |n （k，n）证设（ k，n） =d，不妨设 k=dk1，n=dn1，且 （k1，n1） 1 又因为 an e，所以（ak）n1 akn1 ank1 e 有设（ ak）m e，所以 akm e，由结论 1可知，n|km，即 dn1|dk1m， 所以 n1 | k1m 又因为 （k1，n1） 1所以 n1|m所以|ak | n1 n n 1 1 1 1 1 1 d （k，n） 结论3在群G中，元素a的阶为 n，b的阶为 m若ab=ba，且（m，n）

23、=1则ab| mn证 首先由于 |a|=n ， |b|=m ，故 an bm e 又由于 ab=ba ，故 m n n m m n（a b） （a ） b（ ）e其次，设有正整数 k，使 （ab）k e则因 ab=ba，故 （ab） nk （a）nknbk nkb .e而|b|=m，所以 m|kn又因为 （m，n）=1，故 m|k同理可证 n|k由（m，n）=1 得 mn|k所以 |ab| mn 结论 4在交换群 G中，对任意的两个元素 a，b都有| ab| |a| |b| 证 设 |a|=m ， |b|=n 则 am bn e 由 于 G 是 Abel 群 ， 故 mn mn m n m n

24、 n m（a b） a b （ a） （ b ） e从而| ab| mn.即| ab| | a| |b| 2.1.4 子群、子群的陪集假设 H是群 G的一个非空子集 如果对 G中的代数运算 H本身做成一个群 则 称 H 为群 G 的一个子群我们称 G的子集 aHah|h H 与Ha ha| h H分别为子群 H的左陪集、右 陪集石家庄铁道学院毕业论文定理 2.1 一个子群H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等证 我们把 H 的右陪集所做成的集合叫做 Sr ， H 的左陪集所做成的集合叫做 S我们说，: H a a1 H是一个 Sr与Sl .间的一一映射因为：1) Ha Hb ab-1 H (ab

25、-1) 1 ba-1 H a-1H b-1H. 所以右陪集 Ha的象与 a 的选择无关， 是一个 Sr 到Sl的映射；2) Sl的任意元 aH是Sr的元 Ha -1的象，所以 是一个满射；-1 -1 1 -1 -1 -13) Ha Hb ab-1 H (ab-1) 1 ba-1 H a-1H b-1H ； 由 1)，2) ,3)可知 是一个一一映射 . 定理证毕一个群 G 的子群 H 的右陪集(或左陪集)的个数叫做 H 在 G 中的指数，记作 G:H例如： 整数加群 : n n 2.1.5 同构的定义设 是群G到G的一个一一映射如.果对 G中任意元素 a，b均有 (ab) (a) (b) 则称

26、 是群 G到群G的一个同构映射 .若群 G与群G间有一同构映射 ,则称G与G同构. 记为 G G. 有了同构的定义，我们可以完全掌握循环群，下面的结论就巧妙地利用同构指出 循环群只有两类结论 5设 a为循环群则1) 若不存在正整数 n，使 an e(e为单位元 ).则a与整数加群同构2) 若存在正整数 n，使an e(e为单位元 ).且 n为最小则 a与 n 次单位根群同构 证1) 由题意知当 m n时， am an .于是作映射： am m是 a 到整数加群 Z的一个一一映射 . 又因为 am an am n m n,故 是 a 到 Z 的同构映射 . 因此, a Z 2)容易验证mm是 a

27、 到 n次单位根群1, , 2, , n 1 (其中 为n次单位元根 )的一个同构映射 . 故 a .2.2 不变子群与商群2.2.1 不变子群与商群一个群 G 的子群 N叫做一个不变子群，假如对于 G 的每一个元 a来说，都有石家庄铁道学院毕业论文Na=aN由于一个不变子群的左陪集与右陪集相同， 所以我们可以称一个不变子群 N 的一 个左(或)右陪集叫做 N 的一个陪集显然，对于 Abel 群来说，每一个子群都是一 个不变子群我们看一个群 G的不变子群 N把 N 的所有陪集做成集合SaN， bN，cN 我们说，法则(xN)(yN)=(xy)N 是一个乘法要看清这一点，我们只须证明，两个陪集

28、xN和 yN 的乘积与 x 和 y 的 选择无关让我们看一看：假定xN= xN， yN= yN那么 x x n1，y y n2，(n1，n2 N) xy x n1y n2 但由于 N是不变子群， n1y Ny y N 所以 n1y y n3(n3 N). 所以 xy x y (n3n2 )，即 xy x y N，所以我们有 xyN xyN 定理 2一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群证 我们证明不变子群的陪集满足群的定义 G1 G4G1) 由上边规定的乘法来说是显然的 ;G2) (xNyN)zN =(xy)N zN =(xyz)NxN(yNzN)= xN (yz)N= ( xyz

29、)NG3) eNxN=(ex)N=xN -1 -1G4) x-1NxN ( x-1x)N eN 由 G1G4 可知，一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群 一个群的一个不变子群 N 的陪集所做成的群叫做一个商群这个群我们用符号 G N 来表示 2.2.2 Cayley( 凯莱) 定理对于同构，我们有下面的一个有趣的 Cayley 定理有了它，我们可以只研究变 换群了定理 3Cayley(凯莱定理 ) 任何一个群都同构于一个变换群证明:假定 G 是一个群， G 的元 a，b，c，我们在 G 里任取一个元 x 出来， 那么x： g gx g x是集合G的一个变换 . 因为给了 G的任意

30、元 g,我们能够得到一个唯一的 G的元g x. 这样由G的每一个元 x,可以得到 G的一个变换 x.我们把所有这样得来的 G的变换放在一起 ,作成一个集合G a, b, c , 那么 : x x 是 G到G的满射 . 但消去律 :x y gx gy 告诉我们 , 若x y, 那么 x y所以 是 G与G间的一一映射 . 再进一步看 , g xy g(xy) (gx)y (g x)y (g x) y g x y石家庄铁道学院毕业论文这即是说 , x y xy所以 是G与G间的同构映射 , 所以G是一个群, 但G的单位元 e的象e : g ge g是G的横等变换 , 所以G是G的变换群且. G与G

31、的变换群 G同构. 这个定理告诉我们 , 任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例2.2.3 内直和和外直积的定义设子集 H h1, ht G，而规定Z H n1 h1nt ht |ni Z，1 i t，易见Z H H ，即Z H就是由 H生成的子群， 并且当 H g1， gt 是群 G的生成元集时，G Z H Z g1Z gt.设G是加群，而 H i，1 i t是G的子群 .若1）G H1H t，即每一 g都可表成 h1ht， hi Hi.2）若对任意 g G，由 g h1ht h1ht，hi，hi Hi，必有 hi hi，i 1， t，亦即这种表示法是唯一的。则称 G是子群 H1，

32、 H t的内直和， 记作 G H1 H 2H t .此时也称 G可分解为子群 H1，H2， ，Ht的直和 有了内直和的定义，下面我们来看外直积的定义设 Gi， i 1， n，是群，令集合 G G1 G2Gn，而规定集 G中的一个二元运算如下：对 gi， hi Gi，i 1，2， n，规定（g1，g2， gn） （h1，h2， hn） （g1h1，g2h2， gnhn）， 这里 gi hi当然按群 Gi中的运算得到的乘积。直接验证 （G，?）是一个群，称之为群 Gi， i 1， ,n的外直积，记作 G G1 G2Gn.特别，当所有 Gi 是交换群时，易见G也是交换群 .我们常把 G写成 G G1

33、 G2Gn，而称之为加群的（外）直和.这时 G的运算记作加法， 而写成（g1，g2， gn） （h1，h2， hn ） （g1 h1，g2 h2， gn hn）， 当然gi hi是指按 Gi的加法得到的和令.Gi （0， 0，gi， ，0）|gi Gi，易见 Gi是 G的子群， Gi Gi，且按内直和的定义有 G是其子群 Gi， i 1，2， n， 的内直和在这个意义上，内直和、外直积是互通的，虽然内直和概念是属于结构理 论的，而外直积是属于构造理论的3 群中元的阶的各种情况及其实例分析下面我们将从有限群、 无限群两个角度来分析群中元的阶的各种情况， 并举一些 典型实例来说明石家庄铁道学院毕业

34、论文3.1 有限群中关于元的阶3.1.1 有限群中元的阶的有限性在有限群中，有这样一个定理：每一个元的阶都有限定理 4 在有限群 G 中，每一个元都是有限阶的证 不妨设|G|=n，对 a G ，下面考虑集合 A a,a2,a3, an,an 1 由群 G的封闭性 G1可知， a,a 2,a3 , an,an 1均属于 G而|G|=n，所以必至少存在两 个元素 ai,a j(其中1 i j n 1),使ai aj.则aj i e.所以 a为有限阶的证毕例 8令 M 是除去 0，1 以外的全体实数做成的集合， G 为 M 的以下 6 个变换做 成的集合：1( x) x12( x)x3(x) 1 x

35、1 x 1 x4( x), 5(x), 6(x).1 x x x 1则 G 对变换的普通乘法显然满足 G1G4，做成一个群 单位元 1(x) 的阶为 1，另三 个 元 2(x ), 3 (x ),6 的(x )阶 均 为 2 而 4(x), 5(x) 的 阶 为 3 因 为 ( 4 x( ) ) 5 (x ( ) )2 x ( ( 3)x) ( 6 (x ) ) 即1在(x这个( 有)限)群中，每( 一) 个元 素的阶均为有限3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系在有限群中，关于元的阶及其个数的关系，有较好的结论结论 6在一个有限群里，阶数大于 2 的元素的个数一定为偶数证 假设 G 是

36、一个有限群， a 为 G 中任意一个阶数大于 2 的元素则显然 a a-1(否则 a2 e) 但 a与a-1有相同的阶 事实上，设 an e，则1 n n n 1 1(a ) a (a ) e e 反之，又设 (a 1)n e，则 an(a 1)n ana-n e.所以 an e.所以 a 1的阶也大于 2又设 b 也是 G中一个阶大于 2 的元素，且b a，b a 1.则易知 b-1 a，b-1 a-1 这就是说，群 G 中阶数大于 2 的元素是成对出现的，由于群 G 为有限群，所以 G中 阶数大于 2 的元素的个数一定为偶数证毕推论 设 G是一个偶数阶的有限群则 G 中阶为 2的元素的个数

37、为奇数事实上，由于单位元是群 G中阶为1的唯一的元素，又由结论 6知群G中阶为2石家庄铁道学院毕业论文的元素的个数为偶数，所以 G中阶为 2 的元素的个数一定为奇数证毕 例如在前面所举的例 5三次对称群 S3中, 阶数大于 2 的只有 (123)，(132)两个, 为偶数 且该群中阶为 2 的只有(12)，(13)，(23)三个, 为奇数, 这验证了该结论的正 确性3.2 无限群中关于元的阶由于在群中，单位元的阶为 1，所以在无限群中关于元的阶大体上可分为以下三 种情况3.2.1 无限群 G 中，除去单位元外，每个元素的阶均无限这样的群确实存在 像我们在例 1 中所举的整数加群， 就是一个典型

38、的例子 任 取整数 a(a 1)，不存在正整数 n，使 na=1，即 |a|= 所以在这个无限群中，除去单位元 1 外，其余每个元素都是无限阶的3.2.2 无限群 G 中，每个元素的阶都有限例 9G Gi ，其中 Gi为全体 n 次单位根对普通乘法所做成的群则 G 显然满 i1足 G1G5，做成一个 Abel 群，且每个元素的阶都有限事实上，任取 a G,必然存 在i Z ，使a G，则ai 1故 a为有限阶的另外，我们还可以举一个类似的例子例 10考虑实数域上行列式为 1 的二阶方阵所作成的集合 A ，即A cos sinsincos|R则易知， A 中的运算为：若记Acossinsinco

39、s所以集合 A 对于这种运算显然满足 G1G5，做成一个 Abel 群 下面我们将集合 A 按阶相同做一个等价划分即把阶相同的元素放在一个等价类里，那么阶为 1的只有 A0 , 阶为 2的只有 A , 阶为 3的只有 A2 ,A410石家庄铁道学院毕业论文阶为4的只有 A1 ,A322阶为5的只有 A2 ,A4 ,A6 ,A8 , ,5555 可见，在这样一个无限群里，每个元的阶均有限3.2.3 G为无限群， G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 这样的例子我们以前也有举过， 像例 7的非零有理数乘群 在这个群中， 除单位 元 1 的阶为 1 外， -1 的阶为 2，而其余每个元都是

40、无限阶的4 群的阶与其元的阶之间的关系在由于在无限群中， |G|= 此时，群的阶与其元的阶之间的关系没什么意义 故 本节主要探讨在有限群中，群的阶与其元的阶之间的关系4.1 拉格朗日 (Lagrange) 定理在有限群中，关于群的阶与其元的阶之间的关系，有著名的拉格朗日定理4.1.1 拉格朗日定理引理 1一个子群 H与 H的右陪集 Ha之间都存在一个一一映射 证 : h ha是 H 与 Ha 间的一一映射因为：1) H 的每一个元 h 有一个唯一的象 ha；2) Ha 的每一个元 ha 是 H 的元 h 的象；3) 假如 h1a h2a，那么 h1 h2 ，证毕 引理 2假定 H 是一个有限群

41、 G的一个子群那么 H 的阶 n和它在 G里的指 数 j 都能整除 G 的阶 N，并且 N=nj 证G 的阶 N既是有限， H 的阶 n和指数 j也都是有限正整数 G 的N个元被分成 j 个右陪集，而且由引理 1 可知，每一个右陪集都有 n 个元所以 N=nj 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数， 我们显然有商群 G N 的元的个数等于 N 的 指数当 G 是有限群的时候，由引理 2 可知G的阶GN的的阶阶 G N的阶 G: N定理 5(Lagrange定理)一个有限群 G的任一个元 a的阶 n都整除 G 的阶 证 a 生成一个阶是 n 的子群，由引理 2 知，n 整除|G|证毕例 11我

42、们还是看例 5中的S和其子群 H=(1),(12) S的阶为 6，H的阶为 2， H 的指数是 3，2 和 3 果然整除 6，并且 6=2311石家庄铁道学院毕业论文S 的 6个元是(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)它们的阶是 1或 2或 3而 整数 1、2、3 都整除整数 6这当然验证了著名的 Lagrange 定理4.1.2 相关结论运用拉格朗日定理，我们可得以下几个较好的结论结论 7阶为素数的群为循环群证不妨假设 |G|=P(P为素数)任取元素 a(a e) ，则由 Lagrange定理可知，a | P.又因为 a 1，所以 a P.所以 Ga ,为循环群，证毕

43、 结论 8阶为Pm的群( P为素数)一定包含一个阶为 P的子群. 证任取一 元素 a (a e) ，假设 |a|=n，则由 Lagrange 定理可知，n| Pm，又由于 P为素数，所以 n Pj(1 j m) 若 j=1，则 n=P 就是群的一个 P 阶子群若 j1，则e aP (aP )p e故 |aP(j-1)| P,所以 aP(j-1) 就是G的一个P阶子群.证毕 结论 9阶为 6 的交换群必为循环群证不妨假设 |G|=6，任取 G中元素 a(a e) ，设|a|=m，则由 Lagrange定理可知，m|6所以 m可取 2或3或 6 若 m=6，则 G=是循环群 若 m=2，则 为 G

44、 的一个 2 阶循环子群但由于 G 为交换群，故 G a 作成一个商群，由于 |G a | 3，由结论 7可知群 G a 为一个循环群 故可设 G a b ，其中 |b | 3.由于 |b | 1，|b | 也不为 2 (否则，有 (b)2 e,从而3| 2 .矛盾).则由 Lagrange定理可知， |b|=3或者 6若 |b|=6，则 G=为循环群若|b|=3，则由于|a|=2，而(2，3)=1，故由结论 3 可知， |ab|=6，从而 G=为循 环群 若 m=3，由于 2 和 3 的地位一样，所以的讨论包含了的讨论 总之，G 为循环群容易验证该结论条件中的交换群是必要的因为例 5 中的三

45、次对称群的阶为 6， 但其不是交换群，并且它不是循环群，因为其中没有阶为 6 的元素有了这个结论，我们很容易得下面的推论推论：pq 阶交换群必为循环群，其中 p, q 为互异素数证因为|G|=pq，任取 G中元素 a(a e) ，设|a|=m，则由 Lagrange定理可知，m|pq所以 m 可取 p 或 q 或 pq 若 m=pq，则 G=是循环群 若 m=p，则 为 G 的一个 p 阶循环子群但由于 G 为交换群，故 G a 作成一个商群，由于 |G a | q，由结论 7可知群 G a 为一个循环群 故可设 G a b ，其中 |b | q.由于 |b | 1，|b | 也不 为 p(否

46、则，有 (b) p e,从而 q| p.矛盾)则由 Lagrange 定理可知， |b|=pq 或者 q若 |b|=pq，则 G=为循环群12石家庄铁道学院毕业论文若|b|=q，则由于 |a|=p，而（p，q）=1，故由结论 3 可知， |ab|=pq，从而 G=为 循环群 若 m=q，由于 p 和 q 的地位一样， 所以的讨论包含了的讨论 有兴趣的读 者可再推导一次，增强自己的推理能力总之，G 为循环群结论 10在循环群中，除去单位元外，其余元素的阶都相同且有限当且仅当该 循环群的阶为素数证 设|G | P （P为素数 ,为G循环群 ，）不妨设 G a则, |a |P iP则由结论 2可知，

47、 |ai |P （i 1,2, P -1）.故得证 .（P,i）i） 设G为循环群，且 G的阶为合数，即 |G| M N（M , N均为大于1的正 数）.又不妨设 G a ,则|a| M N,由结论 2可知，|aM | N.这就与题设矛盾 .ii ）设G为循环群，且 G的阶为 ，则由结论5知,G同构于整数加群 .而在整 数加群中,除去单位元1的阶为1外,其余元素的阶均为无限 .由同构可知 ,G也由此性质,故 与题设矛盾.4.2 有限交换群的结构定理本节我们将看到非常漂亮完整的有限交换群的结构定理 由此，我们将具体地理 解到什么是群的结构理论在本节中 G 表示交换群，群的运算记作加法“ +”，简

48、称 加群4.2.1 有限交换群的结构定理前面我们有了内直和与外直积的定义，下面来简要介绍有限交换群的结构定 理由于篇幅问题，我们不作证明，供读者欣赏，有兴趣的读者可见参考文献 4 定理 6（有限交换群的结构定理） ：有限交换群 G 可唯一分解为素数幂循环群的 直和，若 |G | p1m1 p2m2 ptmt，pi是不同素数，则1）G G11G1s1Gt1Gtst，其中 Gij是阶为 pimij的循环群；2）自然数集（p1m11， p1m1s1， ，ptmt1， ptmtst ）由群G唯一确定. 这是一个很值得玩味的结构定理 读者可以把它和算术基本定理相比 那里表示 任意整数的基本构件是“素数” ，构造方法是“乘积”，而这里则是：表示有限加群的 基本构件是“素数幂阶的循环群” ，构造方法是“直和”在整数论中，自然数 n 的分 解