8.4正定二次型

1、8.4 正定二次型正定二次型 授课题目：授课题目：8.4 正定二次型正定二次型 授课时数：授课时数：4学时学时 教学目标：教学目标：掌握正定二次型的定义、性质及掌握正定二次型的定义、性质及 判定判定 教学重点：教学重点：正定二次型的性质及判定条件正定二次型的性质及判定条件 教学难点：教学难点：正定二次型的判定条件正定二次型的判定条件 数域数域f上文字上文字x1, x2, xn的二次型的二次型 f (x1, x2, xn)=xtax 可以看成是定义在可以看成是定义在fn上的上的n元数值函数，对任意元数值函数，对任意 =(c1,c2,cn)tf n有有f (c1,c2,cn)=ta 为为f中惟一确

2、定的数，即中惟一确定的数，即f：f nf为以为以f n中的向中的向 量为变量的数值函数从这一观点出发，我们可量为变量的数值函数从这一观点出发，我们可 以根据下列定义，对二次型进行适当分类以根据下列定义，对二次型进行适当分类 一一. 实二次型的分类实二次型的分类 定义定义1n元实二次型元实二次型f(x1, x2, xn)=xtax，如，如 果对任意一组不全为零的实数果对任意一组不全为零的实数(c1,c2,cn),都有都有 1)f(c1,c2,cn)0, 则称该二次型为正定的；则称该二次型为正定的； 2)f(c1,c2,cn) 0, 则称该二次型为负定的；则称该二次型为负定的； 3)f(c1,c2

3、,cn)0, 则称该二次型为半正定的；则称该二次型为半正定的； 4)f(c1,c2,cn)0, 则称该二次型为半负定的；则称该二次型为半负定的； 5)f(c1,c2,cn)0,即不是半正定的又不是半即不是半正定的又不是半 负定的负定的, 则称其为不定的则称其为不定的 2 11 d x 2 22 d x 2 nn d x f(x1, x2, xn)= 2 1 x 2 2 x 2 n x+ + 是正定的，但二次型是正定的，但二次型 2 1 x 2 2 x 2 r x + (r0, i=1,2, ,n. 二二. 实二次型正定性的判定实二次型正定性的判定 定理定理8.4.1可逆线性替换不改变实二次型的

4、正定可逆线性替换不改变实二次型的正定 性性 1. 可逆线性替换与实二次型的正定性可逆线性替换与实二次型的正定性 证若证若f(x1, x2, xn)xtax正定，经可逆线性正定，经可逆线性 替换替换x=py化为化为g(y1, y2, , yn)=ytby (其中其中b=ptap), 对任意一组不全为对任意一组不全为0的实数的实数 =(c1,c2,cn)t, 注意到注意到p可逆且可逆且0，有，有 p0, 从而有从而有 g(c1,c2,cn)=tb= t(ptap)=(p)ta(p)0 这说明二次型这说明二次型g(y1, y2, , yn)=ytby正定正定 反之，若二次型反之，若二次型g(y1,

5、y2, , yn)=ytby正定，对任正定，对任 意一组不全为意一组不全为0的实数的实数=(c1,c2,cn)t有有p-10, 从而从而 tap=t(p-1)tb(p-1)=(p-1)tb(p-1)0. 这说明二次型这说明二次型f(x1, x2, xn)=xtax正定正定 定理定理8.4.2若若n元实二次型元实二次型f(x1, x2, xn)=xtax 的秩为的秩为r，正惯性指标为，正惯性指标为p，则，则 正定的充要条件是正定的充要条件是nrp； 1) f(x1, x2, xn) 负定的充要条件是负定的充要条件是nr且且p0； 2) f(x1, x2, xn) 半正定的充要条件是半正定的充要条

6、件是rp； 3) f(x1, x2, xn) 不定的充分必要条件是不定的充分必要条件是r p0. 5) f(x1, x2, xn) 半负定的充要条件是半负定的充要条件是p0； 4) f(x1, x2, xn) 2. 实二次型正定性的判定实二次型正定性的判定 12 () t n f x xxx ax 推论推论1n元实二次型元实二次型 正定的充分必要条件是：它的典范形为正定的充分必要条件是：它的典范形为 2 1 y 2 2 y 2 n y + 三三. 正定矩阵正定矩阵 必要条件是：必要条件是：正定正定 12 () n f x xx 显然，显然，n元实二次型是负定的充分元实二次型是负定的充分 12

7、() n f x xx 1. 实正定矩阵的定义实正定矩阵的定义 证明设证明设a是实对称矩阵，若是实对称矩阵，若a是正定的，则实是正定的，则实 12 () t n f x xxx ax 是正定的是正定的(负定的负定的,半正定的半正定的,半负定的半负定的,不定的不定的), 则相应的实对称矩阵则相应的实对称矩阵a称为是正定的称为是正定的(负定的负定的, 半正定的半正定的,半负定的半负定的,不定的不定的). 定义定义2若实二次型若实二次型 推论推论2实对称矩阵实对称矩阵a是正定的充分必要条件是：是正定的充分必要条件是： 它与单位矩阵合同它与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵c,使使a=ctc

8、2. 实正定矩阵的性质及判定实正定矩阵的性质及判定 故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵c, 使得使得a=ctic=ctc, 反之亦然反之亦然. 推论推论3若若a正定，则正定，则0.a 是正定的是正定的, 由推论由推论1知知, 正定二次型的典范形为正定二次型的典范形为 2 1 y 2 2 y 2 n y + 证明若证明若a正定，由推论正定，由推论2知，存在可逆矩阵知，存在可逆矩阵c， 使使a=ctc，从而，从而 2 0 tt ac cccc 二次型二次型 12 () t n f x xxx ax 11121 21222 12 k k k kkkk aaa aaa p aaa 定义定义3设设a=(aij

9、)是实对称矩阵，对于是实对称矩阵，对于1kn， 位于的前位于的前k行行k列交叉处的元素所构成的行列式列交叉处的元素所构成的行列式 称为称为a的的k阶顺序主子式阶顺序主子式 (aij=aji)是正定的，以是正定的，以ak表示位于表示位于a的前的前k行行k列交列交 叉处的元素所构成的矩阵叉处的元素所构成的矩阵, 则以则以ak为矩阵的实二为矩阵的实二 次型次型 12 11 (,) nn t nijij ij f x xxx axa x x 12 (,) kk fx xx 12 (,) k c cc 定理定理8.4.3 实对称矩阵实对称矩阵a是正定的充分必要条件是正定的充分必要条件 是：是：a的一切顺

10、序主子式皆大于的一切顺序主子式皆大于0 证明必要性证明必要性, 设二次型设二次型 ,对任意一组不全为对任意一组不全为0的实数的实数 有有 1212 (,)(,0,0)0 kkk fc ccf c cc 12 (,) kk fx xx (1kn).所以二次型所以二次型 0. k a 是正定的，由推论是正定的，由推论3知知 充分性充分性 对对a的阶的阶n用数学归纳法用数学归纳法.n1结论显然结论显然. 假设对假设对n1充分性成立，即对于充分性成立，即对于n1阶的实对阶的实对 称矩阵称矩阵an-1若其一切顺序主子式皆大于若其一切顺序主子式皆大于0则其必则其必 为正定的为正定的 0a 1n t nn

11、a a 要证明对于要证明对于n充分性也成立充分性也成立,只需证明再添加条件只需证明再添加条件 时，时，a为正定矩阵由归纳假设知，为正定矩阵由归纳假设知， 矩阵矩阵an-1与单位矩阵与单位矩阵i n-1合同，即有合同，即有n1阶阶可逆可逆 矩阵矩阵q使得使得qt an-1aq= i n-1，将，将a分块为分块为 其中其中 1, 2, 1, n n nn a a a 1 0 01 q c 1 0cq 1 11 t tn t nn iq c ac qa 1 2 01 t n iq c 令令则则 于是于是 再令再令 2 10c 2112 () tt cc ac c 1 01 t t n iq 1 t

12、n t nn iq qa 1 01 t n iq 1 0 0 n i d tt nn daqq 同样地同样地 于是于是 其中其中 22 12 0da cc 1 3 0 1 0 n i c d 3 1 0c d 123 c c c 123 1 0ccccq d 将上式两边求行列式得将上式两边求行列式得 又令又令 也有也有 从而从而c的行列式有的行列式有 321123 tttt c acc c c ac c c 1 0 1 0 n i d 1 0 0 n i d 1 0 1 0 n i d 因而对可逆矩阵因而对可逆矩阵c有有 这说明矩阵这说明矩阵a合同于单位矩阵合同于单位矩阵in，故，故a正定正定

13、 =in 222 1231231223 (,)34544f x xxxxxx xx x 320 242 025 a 12 () t n f x xxx ax 推论推论4 n元实二次型元实二次型 正定的充分必要条件是：实对称矩阵正定的充分必要条件是：实对称矩阵a的一切顺的一切顺 序主子式皆大于序主子式皆大于0 例例1判断实二次型判断实二次型 是否正定是否正定 解该二次型的矩阵为解该二次型的矩阵为 由定理由定理8.4.3知，该二次型是正定的知，该二次型是正定的 例例2设二次型设二次型 30, 32 80, 24 320 242280, 025 a 12 () t n f x xxx ax 222

14、2 12112 11 (,) n nn n pp f x xxp yyy pp a的一切顺序主子式为的一切顺序主子式为 的顺序主子式的顺序主子式pi均不为均不为0，则存在可逆线性替换，则存在可逆线性替换 x=cy使使 1 2 1 1 100 010 000 0001 n c c c c 1,11,1 1,11, 0 0 n nnnn aax aax 证明证明用数学归纳法用数学归纳法n1结论显然假设结结论显然假设结 论对论对n1成立，考虑成立，考虑n令令 121 ,1 n c cc , 其中其中 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 12 () t n f x xxx ax 1 1c 1,11,1

15、11 1,11,1 0 0 00 n t nnn n aa c ac aa d 1 0 0 n n a d 121 , n c cc 的非的非0解（若解（若xn=0，则，则 是齐次线是齐次线 矛盾）于是对二次型矛盾）于是对二次型 作可逆线性替换作可逆线性替换x=c1y, 得得 1 0 n ax 11 0 nn pa 的非的非0解解, 这与这与性方程组性方程组 1 n n n p d p 12 () t n f x xxx ax 1 2 111 1 1 (,) n nnn n n y p yyay p y 2 11nnn cappd 两端取行列式得两端取行列式得 所以所以从而有从而有 1 111

16、11 1 (,)(,) nnn n y g yyyya y 11 11 ,0 nn yz dd yz 令令 由归纳假设知，存在由归纳假设知，存在 使得使得 11 (,) n g yy 1 2 1 1 11 1 1 2 (,) n n n n p p z p zz z p p 2 0 01 d c 12 () t n f x xxx ax 222 2 12112 11 (,) n nn n pp f x xxp yyy pp 令令, 取取c=c1c2 , 则二次型则二次型 经可逆线性替换经可逆线性替换x=cy有有 3. 实半正定矩阵的判定实半正定矩阵的判定 12 () t n f x xxx ax () t aa 12 (,) n f