空间向量讲义非常好用

1、向量的数量积和坐标运算a,b是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数|a| |b| cos 叫做 a与b的数量积（或内 积），记作 a b，即 a b |a| |b| cos . 其几何意义是 a的长度与 b 在a的方向上的投影的 乘积 . 其坐标运算是：若a （x1,y1,z1）,b （x2,y2,z2） ，则 a bx1x2y1y2z1z2；|a|x122y1 z122,|b|222x2 y2 z2 ； a bx1x2y1y2z1z2 cosa,bx1x2y1y2 z1z2222 2 2 2x1y1z1x2 y2 z2异面直线 m, n所成的角如图 1 所示），则 cos|a b |a| |b

2、 |分别在直线 m, n上取定向量 a,b,则异面直线 m,n所成的角 等于向量 a,b 所成的角或其补角异面直线 m、n 的距离分别在直线 m、n 上取定向量 a, b,求与向量 a、b 都垂直的 向量n ，分别在 m、n上各取一个定点 A、B ，则异面直线 m、n的距离 d等于 AB在n上的射影长，即 d | AB n|.|n|. 直线 L 与平面 所成的角在L上取定 AB ，求平面 的法向量 n（如图 2所示），再求cos|AB n| ，则| AB | |n| 2为所求的角 . 二面角方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、 的法向量n1 、n2 （都取向上的方向，如图 3 所示），则

3、若二面角 l 是“钝角型”的如图 3 甲所示 ， 那么其大小等于两法向量 n1、n2 的夹角的补角，即 cosn1 n2 .（例如 2004 年高考数|n1 | |n2 |学广东卷第 18 题第（ 1）问） 若二面角 l是“锐角型” 的如图 3 乙所示， 那么其大小等于两法向量 n1 、n2 的夹角，即 cosn1 n2 .|n1 | |n2 | 方法二：在二面角的棱 l 上确定两个点 A、B，过 A、B 分别在平面 、 内求出与 l 垂直的n1 、n2 的夹角，即 cosn1 n2向量 n1 、n2 （如图 4 所示），则二面角 l 的大小等于向量|n1 | |n2 |. 平面外一点 p 到

4、平面 的距离先求出平面 的法向量 n ，在平面内任取一定点 A，则点 p 到平面的距离 d等于 AP在n上的射影长，即 d |AP n|n|练习1在长方体 ABCD A1B1C1D1中， B1C和C1D与底面所成的角分别为 60和45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为2.如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AA1所成角的余弦值为（ ）2AB ，则异面直线 A1B与 AD14D3C2B1 A3，在四面体 S-ABC中，E、F、G、H、M、N 分别是棱 SA、BC、AB、SC、AC、SB 的中点，且 EF=GH=MN求, 证： SA BC ,SB AC , SCAB.4

5、如图 2，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 a ，侧棱长为 2a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角5如图 3，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形， ACB 90，侧棱 AA1 2，D，E分别是 CC1与A1B的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 ABD的重心 G， 求点 A1到平面 AED 的距离6已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，P，Q分别是 BC，CD上的动点，且 PQ 2，确定P，Q 的位置，使 QB1 PD17如图 4，在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD中， ABC 90， SA 面 ABCD，SA AB BC 1， AD1

6、2，求面 SCD与面SBA所成二面角的正切值C7.如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 SD底面 ABCD，E，F 分别为 AB，SC的中点（1）证明 EF平面 SAD；（2）设 SD 2DC ，求二面角 A EF D 的大小的余弦值8 （本小题满分 14 分）如 图 ， 三 棱 柱 A1B1C1 ABC中，平面 A1AB 平面ABC , 平面A1AC 平面ABC,BAC 90 ,AB AC 2,AA1 3.（） 求证： AA1 平面ABC ；（） 求异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值 ；（） 求点 B1到平面 ABC1的距离求出QADQ 的值；若不存在，请说

7、明理由为 AD 中点 .的距离为10如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AD= AA1=1，AB=2。E是 CC1的中点，（1）求锐二面角 D-B1E-B的余弦值（2）试判断 AC与面 DB1E 的位置关系，并说明理由。（3）设M是棱 AB上一点，若 M到面 DB1E的距离为，试确定点 M的位置。9、如图，在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD 2 ，底面 ABCD为直角梯形，其中 BCAD, ABAD, AD=2AB=2BC=2, O（1）求证： PO平面 ABCD；（2）求异面直线 PB与 CD所成角的余弦值大小；ECAB（3）线段 AD 上是否

8、存在点 Q，使得它到平面 PCD11 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD为菱形， PA平面 ABCD， ABC 60 ,E，F分别是 BC, PC的中点 .)证明： AEPD ;)若 H为PD上的动点， EH与平面 PAD所成最大角正切 值为 6 ，求二面角 EAFC的余弦值 .212长方体 ABCD-A1BlClD1中， AB=2，AD=1，AA1= 2 ， E、 F分别是AB、CD 的中点(1) 求证： DlE平面 ABlF；(2) 求直线 AB 与平面 ABlF所成的角(3) 求二面角 A-B1F-B 的大小。13如图，三棱锥 PABC中， PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是 PB上一点，且 CD 平面 PAB（I） 求证： AB 平面 PCB；（II）求异面直线 AP 与 BC所成角的大小；（III）求二面角 C-PA-B的大小的余弦值课外练习1如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 点，且 EB= FB