用平移旋转和轴对称几何问题

1、D用平移、旋转和轴对称研究几何问题学习旋转要解决的问题：分三个层次直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证 明某些结论需要添加辅助线，完荐图形创造情境，进行证明。要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；(辅助 线添加方向)一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用1. 已知：AABC与ZADE都是等腰直角三角形求证：BD丄EC.2如图已知 ABC竺厶ADE, ZB= 45 , Z0=2O ,Z45=306，则Zg若；W交于点E则ZEFC= 3. 如图，磁 中，ZA46i=120o ,以 庞为边向形外作等边BCD把磁绕着点 按顺时针方向旋转

2、60。后到妙的位置若Q3, AO2.求Z她的度数和血的长.4. 已知：如图，A. B. C在同一宜线上，且MBE与MCD都是等边三角形，求证：AD = CE.拓展 如图1,点C为线段AB上一点，ACM, ZkCBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E, BM. CN交于点F(1) 求证：AN=BM；(2) 求证：ACEF为等边三角形；(3) 将ACM绕点C按逆时针方向旋转90,其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2) 两小题的结论是否仍然成立(不要求证明)5. 如图，已知正方形磁P和边上一点Z将直角三角形 磁绕点万逆时针旋转90,再沿比方向平移，平移距离是线段的长度，请

3、画出图形并回答：旋转后三角形的斜边与M有什么关系为什么二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化， 有助于问题的解决.同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力平面几何的 辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的 关系.1. （三角形的倍长中线）已知：在ZkABC中，AB=AC, CD是中线，延长AB到E,使BE=AB,连结CE求证：CD=-CE.2拓展1如图1,已知ZkABC中，AD是ZiABC的中线

4、，AB=8, AC=6,求AD的取值范围.提示：延长AD至A,使A D=AD,连结BA.根据“SAS”易证AA BDAACD,得AC=A B.这样将AC转 移到AA，BA中，根据三角形三边关系定理可解.拓展2如图2,已知ZkABC中，AB=AC, D在AB, E是AC延长线上一点，且 BD=CE, DE与BC交于点F求证：DF=EF.提示：此题辅助线作法较多，如： 作DG/7AE交BC于G； 作EHBA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF=EF.2. （三角形的翻折角平分线）已知：在AABC中，ZB = 2ZC, 是ABAC的平分线.求证：AB+BD = AC.拓展1如图，已知：在A4

5、BC中，ABAC9 AD是ZB AC的平分线，P是AD上任意一点.求证: AB-ACPB-PC.A拓展2已知：AABC中，ZA=90, AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P求证：AE=AP.3.（梯形的线段倍长）已知：梯形ABCD中，AD证：CD=CF.直 角 梯 形 ABCD 中拓 展 2 已 知2ABCDAD/BCMBDAC拓展1如图，已知：在正方形ABCD中,E.尸分别是上的点，若有BE+DF = EF. 求：ZEAF的度数.拓展2如图，已知：在正方形磁P中，E. F分别是3G切上的点，若有ZEAF=45. 求证：BE+DF = EF.拓展3如图，正方形ABCD边长为1, A

6、B AD上各有一点P、Q,若AAEQ的周长为2.求ZPCQ的大小.拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC DC上的点且ZEAF=45, AH丄EF求证：AH=AB.拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍试确定ZHAF的大小，写出推导的过程.5.（三角形的辅助线旋转）已知，如图在AABC中，AB=AC, ZBAC=90 , ZDAE=45 , BD=2, CE=3 求证：DE 的长.拓展1如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形内的一点，且ZAPB=ZAPC.求证PB=PC拓展2 A

7、ABC中，AB=AC, D是三角形内一点，若ZADBZADC求证ZDBOZDCB.分析将ZkABC以A为中心逆时针旋转一角度ZBAC,到zXACE的位置.连DE,由ZADBZADC, 得 ZAEOZADC.又 ZADE=ZAEDr 相减，得 ZDEOZEDC CDCE.即 CDBD,从而ZDBOZDCB拓展3若P为正方形ABCD内一点，PA ： PB ： PC=1 ： 2 ： 3.试证ZAPB=135 .分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB. PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1, PB=2, PC=3绕B 点顺时针旋转 90,使ZkCBP 到 AABE 的位置，这时 BE=2, A

8、E=3, ZPBE=90 -PE= 22 , ZBPE=45。又AP2 +PE2 = + 8 = 9 = AE2 ZAPE=90 于是ZAPB=135拓展4在等边三角形内有一点P.连接P与各顶点的三条线段的长为3. 4 5求正三角形的边长.（答案：J25+13篙）分析 将ACPB旋转到AAPB,连接PP、，延长BP,过A作AD丄BD易知ZUPP、是直角三角形，因为ZBPP、=60。, 所以ZAPD=30,则 AD=2, DP=2j5.6.（轴对称变换（翻折问题）（1）如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C、处，BC、交AD于E, AD=8, AB=4求ZkBED的面积.（2）如图.

9、将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG若FG的 长为13厘米求线段CE的长.（3）如图，点乐N为矩形ABCD组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN上，得到落点B、 并说明理由.（4）把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF,如图（1）所示.接着，使点 C不动，把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B,折痕为GC,如图（2）所示.连 AB问图中ZGAB、是多少度求ZGAB相当于求ZAB1 E显然三角形CGB和三角形CGB是全等的，因为是对折得到的, 所以 CB =CB=1/2CF又因为EF垂直于BC,所

10、以ZFBC=30假设正方形边长为1,算出BF=(根号3) /2所以BE=1-(根号3) /2所以 tanZAB1 E=AE/B, E=(l/2) -r (1-(根号 3) /2) =2+根号 3 所以 ZABE=75 =ZGAB,D A D7.(梯形的平移辅助线)(1) 已知：如图 2,在梯形 ABCD 中，AB/CD. ZA = 60, AD=BC = DC.求证：AB = 2CD.图2(2) 己知：如图3,在梯形ABCD中，AB/CD,AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形.图3(3) 已知：如图7,在梯形ABCD中，ABCD,ZA + ZB = 90、M . N分别是DC . AB的中

11、点.求证:MN = (AB-CD).A EF B几何综合1. 如图1,在UABCD中,AELBC于E E恰为必的中点，taiiB = 2.(1) 求证：ADAEx(2) 如图2,点P在BE上,作EFVDP于点尸，连结M求证：DF-EF = JiAF ；(3) 请你在图3中画图探究：当P为射线圧上任意一点(P不与点E重合)时，作EFA.DP于点尸，连结朋 线 段加 费与M之间有怎样的数量关系直接写出你的结论.A aDA A DA A7 D2. 如图，在平面直角坐标系妙中，一次函数y = JIv + 3石的图象与*轴交于点A,与y轴交于点B点Q的坐标为(3,0),连结比(1) 求证：磁是等边三角形

12、；(2) 点P在线段的延长线上，连结佔 作的垂直平分线y轴交于点D分别连结因、EP./若 e6,直接写出z侶的度数；/若点尸在线段血的延长线上运动(P不与点Q重合)，的度数是否变化若变 化，请说明理由；若不变，求出z理沪的度数；(3) 在(2)的条件下，若点P从C点出发在的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度.EC与AP于 点F,设的面积为$, 丹的面积为,运动时间为t(0)秒时，求y关于亡的函数关系式.F3. 已知：如图1,点P在线段AB上(APPB), C、D. E分别是AP. PB AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧.（1）求证：AERG是等腰宜角三角形；（2）

13、若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知 条件不变，如图2,判断EHG还是等腰直角三角形吗请说明理由4. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M,正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A. B. C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.（1）求证：ME二MF；（2）若将原题中的正方形改为矩形，且=其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.5. 如图10-1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C. D不重合），以CG为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG,连结BG, DE.我们探究下列图中线段BG、线段

14、DE的长度关系及所在直线的位置关系：如图10-3情 形.请你通过观察.测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图KH2证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图10410-6）.且AB = gBC = b.CE = k*CG = kb,试判断（1）中得到的结论哪个成立，哪个不成立并写出你的判断，不必证明.（图 10-4）（3）在图105中，连结QG.施，且宀八2,q,则沁切1.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与L 匝合，ED，与边CD交于点F。（1）当点E为BC边中点时，求/ECF的周长连结AE, AF,求ZEAF的度

15、数（2）当点诳BC边上运动时，（1）中的结论变化吗试说明理由。2. 已知正方形纸片肋切的边长为2.操作：如图1,将正方形纸片折叠，使顶点S落在边切上的点P处（点P与C、Q不重合），折痕为亟 折 叠后肋边落在丹的位置，PQ与BC交于点G.探究：（1）观察操作结果，找到一个与QP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P位于切中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）3. 几何模型：条件如下左图，A、是直线/同旁的两个定点问题：在宜线/上确定一点P,使PA + PB的值最小. 方法：作点A关于直线/的对称点A,连结AB交/于点P,则PA + PB = A,B的值最小(不必证明).模型应用：(1) 如图1,正方形ABCD的边长为2, E为的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知，与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB + PE的最小值是；(2) 如图2, 0O的半径为2,点A、B、C在OO, OA丄OB, ZAOC = 60t P是OB上一动点，则PA + PC的最小值是；(3) 如图 3, ZAOB = 45, P 是