第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

1、第4讲-利用轴对称破解最短路 径问题第一章 平移、对称与旋转第 4 讲 利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一 动点距离和最小” 问题通过轴对称的性质与作图 转化为“两点之间，线段最短”问题求解。2.能将实际问题或几何问题（对称背景图） 中有关最短路径 （线段之差最大值） 问题借助轴 对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求 解。二、基础知识轻松学与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结 论：（1）在连接两点的所有线中， 线段最短（两 点之间，线段最短） ；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边；3）在三角形中，大

2、角对大边，小角对小（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往 往把几条线段连接成一条线段， 利用“两点之间 线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边” 加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实 现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候， 一般要用到平行四边形的判定和性质。 （判定： 如果一个四边形的一组对边平行且相等， 那么这 个四边形是平行四边形； 性质：平行四边形的对 边相等。）三、重难疑点轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题， 自然离 不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学 公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于 直线的对

3、称点， 从而运用两点之间， 线段最短解 决实际问题在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路径问题”的原 型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题”，出题 通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、 正方形、坐标轴等对称图形为背景。（1）“一线同侧两点”问题例 1 如图，点 A、B在直线 m的同侧，点 B 是点 B 关于 m的对称点， AB交 m于点 P（1）AB与 AP+PB相等吗？为什么？（2）在 m上再取一点 N，并连接 AN与 NB， 比较 AN+NB与 AP+PB的大小，并说明理由解析：（ 1）点 B是点 B关于 m 的对称点，PB=PB， AB=AP+PB， AB=

4、AP+PB（2）如图：连接 AN，BN， AB=AP+PB， AN+NB=AN+NB AB，AN+NBAP+PB点评：两条线段之和最短， 往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条 线段来研究，利用两点之间的线 段最短得出结果。这类题主考实 际问题转化为数学问题的能力， 关键是利用轴对 称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关 系等变式 1 需要在高速公路旁边修建一个飞机 场，使飞机场到 A，B 两个城市的距离之和最小， 请作出机场的位置（2）“两点两线（平行） ”问题 例 2 如图所示，在一条河的两岸有两个村 庄，现要在河上建一座小桥，桥的方 向与河流垂直，设河的宽度不变，试 问：桥架在何

5、处，才能使从 A 到 B 的 距离最短？解析：虽然 A、B 两点在河两侧，但连接 AB 的线段不垂直于河岸关键在于使 AP+BD最短， 但 AP与 BD未连起来，要用线段公理就要想办法使 P 与 D 重合起来，利用平行四边形的特征可以 实现这一目的如图，作 BB垂直于河岸 GH， 使 BB等于河宽，连接 AB，与河岸 EF相交于 P， 作 PD GH，则 PD BB且 PD=BB，于是 PDBB为平行四边形，故 PD=BB根据“两点之间线段最 短”， AB最短，即 AP+BD最短故桥建立在 PD处符合题意点评：此题考查了轴对称最短路径问 题，要利用“两点之间线段最短”， 解决“造 桥选址” 的

6、简单的实际问题 但许多实际问题没 这么简单， 需要我们将一些线段进行转化， 即用 与它相等的线段替代， 从而转化成两点之间线段 最短的问题 此类题往往需要利用对称性、 平行 四边形的相关知识进行转化， 以后还会学习一些 线段转化的方法变式 2 如图，两个村庄 A 和 B 被一条河隔开，现要在河上 架设一座桥 CD请你为两村设计 桥址，使由 A村到 B村的距离最小 （假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直） 要求写出作 法，并说明理由（3）“一点两线（相交） ”解 决周长最短问题例 3 ：如图所示， ABC内有一点 P，在 BA、BC边上各取一点 P1、P2，使 PP1P2 的周长最小解析：依

7、据两点之间线段 最短，可分别作点 P 关于 AB， AC的对称点，如图，以 BC为 对称轴作 P 的对称点 M，以 BA为对称轴作出 P 的对 称点 N，连 MN交 BA、 BC于点 P1、P2 PP1P2为所求作三角形 点评：解题关键是转化 “直线上同一侧两点 与此直线上一动点距离和最小” 问题（将军饮马 问题），其核心是化折为直 （两点之间线段最短） 的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图 求解问题变式 3 城关中学八（ 2）班举 行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的 AO，BO），AO桌面上摆满了桔子， OB桌 面上摆满了糖果，站在 C处的学生小明先拿桔子 再拿糖果， 然后回到 C处

8、，请你在下图帮助他设 计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（4）“一线异侧两点” “差最大” 问题 例 4 在定直线 XY 异侧有 两点 A、B，在直线 XY上求作一 点 P，使 PA 与 PB 之差的绝对值 最大解析：作法：作点 B 关于直线 XY的对称点作直线 AB交 XY于 P 点，则点 P为所求点 （如图）；若 BAXY（即 B、A 到直线 XY 的距离相等），则点 P 不存在证明：连接 BP，在 XY上任 意取点 P，连接 PA、PB，则 PB=PB， P B=PB， 因为|PBPA|=|P BPA| AB=|P B PA|=|PB PA|，所以，此时点 P 使|PAPB|最大点评

9、：本题考查的是最短线路问题， 解答此 类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形， 再 由两点之间线段最短的知识求解变式 4.如图，在 ABC中，AB=AC，AB的垂 直平分线交 AB于 N，交 AC于 M，连接 MB，若 AB8 cm， MBC的周长是 14 cm，（1）求 BC的长（2）在直线 MN上是否存在点 P，使 PA CP的值最大，若存在，画出点 P 的位置，并求 最大值，若不存在，说明理由。（5）“两点一线线段”例 5 直线 L 的同侧有两点 A、 B，在直线 L 上求两点 C、D，使得 AC、CD、DB的和最小，且 CD的长为定值 a，点 D在点 C的右侧。作法：将点 A向右平移

10、a 个单位到 A1 作点 B关于直线 L 的对称点 B1 连结 A1B1交直线 L于点 D 过点 A作 ACA1D交直线 L于点 C，连结BD，则线段 AC、CD、DB的和最小。点 C、D即为所求。变式 5长方形 OACB ，OA=3，OB=4，D 为 边 OB 的中点（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，画出点 E 的位置；（2）若 E、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，画出点 E、F 的位置；（6）台球击点问题例 6 如图，在台球桌面 ABCD 上，有白和黑两球分别位于 M ，N 两 点处，问：怎样撞击白球 M ，使

11、白球先撞击台边BC，反弹后再去击中黑球 N？解析：作 N关于 BC的对称点 N， 连接 MN交 BC 于点 E，连接 EN按 ME 方向撞击白球 M ，白球 M 反弹后 必沿 EN 方向击中黑球 N点评：要使白球 M 撞击台边 BC 反弹后再去击中黑球 N，必须使 MEB =NEC由轴对 称还可得， NEC=NEC又对顶角 MEB=NEC，故可得到 MEB =NEC本 题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应用， 关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是 互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平 分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距 离相等，对应的角、线段都相等变式 6 如图，甲乙丙丁四人

12、做接力游戏 开 始时，甲站在长方形操场 ABCD 内部的 E 点处，丙在 BC 的中点 G 处，乙，丁分别站在 AB 、CD 边上游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给 丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲如果他们四 人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的 比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹， 作法不用写）四、课时作业轻松练A. 基础题组1. 如图，直线 l 是一条河， P，Q是两个村 庄欲在 L 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水， 现有如下四种铺设方案， 图中实线表 示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）2. 已知，如图 ABC为等边三角形，高 AH=10cm，P为 AH上一

13、动点， D为 AB的中点，则PD+PB的最小值为cm第3题3. 如图， MN是正方形 ABCD的一条对称轴， 点 P 是直线 MN上的一个动点， 当 PC+PD最小时， PCD=4. 为庆祝 60 年国庆圣典，阳光 中学八年级（ 2）班举行一次文艺晚 会，桌子摆成两真线（如图： AO， OB）AO桌子上摆满苹果， BO桌子上 摆满桔子，坐在 C 处的小华想先拿 苹果再拿桔子，然后回到座位 C处， AOB小于 90 度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华 所走路程最短 请作出路线图， 并用字母表示所 走路线（保留作图痕迹，不写作法、不必说明 理由）B. 中档题组5. 如图，山娃星期天从 A 处赶

14、了几只羊到草 地 l 1放羊，然后赶羊到小河 l2 饮水，之后再回到 B 处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为 它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位 置6. 如图，一牧民从 A 点出发， 到草地出发，到草地 MN去喂马， 该牧民在傍晚回到营帐 B之前先 带马去小河边 PQ给马饮水（ MN、 PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能 使整个路程最短？ （简要说明作图步骤， 并在图 上画出）C. 挑战题组7. 如图，荆州古城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5 米，从 A处到达 B处，须经两座桥：DD， EE（桥宽不计），设护城河以 及两座桥都是东西、南北方向的， A、B 在东西 方向

15、上相距 65米，南北方向上相距 85 米，如何 架桥可使到 A到 B 的路程最短，画出路程图五、我的错题本参考答案变式练习变式 1 解：利用轴对称图形的性 质可作点 A 关于公路的对称点 A，连 接 AB，与公路的交点就是点 P 的位置变式 2 解：如图，过点 B 作 BCn，且使 BC等于河宽，连接 AC交直线 m与 M，作 MNBC即可 理由：两点之间线段最短变式 3 解析：本题意思是在 OA 上找一点 D，在 OB上找一点 E，使 CDE的周长最小 如果作点 C关于 OA 的对称点是 M，关于 OB的对称点是 N，当点 D、E在 MN上时， CDE的周长为 CD+DE+EC=，MN此 时

16、周长最小变式 4 解：（1）因 MN垂直平分 AB，所以 MB MA，又因 MBC的周长是 14 cm，故 AC+BC 14 cm，所以 BC 6 cm.（2）当点 P 位于直线 MN与 BC延长线的交 点时， PACP的值最大，最大值是 6cm，理由：因 A、B 关于直线 MN对 称，所以 AP=BP，当点 P位于 M（N 直 线 MN与 BC延长线的交点除外）上 时，根据三角形三边关系始终有 PBCP CD=DE+CE=DE+CE ，可知 CDE 的周长最小（2）如图，作点 D 关于 OA 的对称 点 D ，在 CB 边上截取 CG=2，连接 DG 与 OA 交于点 E，在 EA 上截取

17、EF=2 ，GCEF，GC=EF ，四边形 GEFC 为平行四边形，有 GE=CF ，又 GC 、EF 的长为定值，此时得到的点 E、F 使四边形 CDEF 的周长最小变式 6 解：作点 G 关于 CD 的对称 点 G，作 E 关于 AB 的对称点 E连接 G E，交 CD 于点 F、交 AB 于点 H， 故比赛最短的路线为： E H GF 课堂作业A.基础题组1.D 解析： 利用对称的性质，通过等线段代 换，将所求路线长转化为两定点之间的距离作点 P关于直线 L 的对称点 P，连接 QP 交直线 L 于 M根据两点之间， 线段最短， 可知选项 D铺设 的管道，则所需管道最短故选 D2.10

18、解析： 连接 PC，根据等边 三角形三线合一的性质， 可得 PC=BP， PD+PB要取最小值，应使 D、P、C三 点一线连接 PC， ABC为等边三角形， D为 AB的中点， PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm3. 45解析：当 PC+PD最小时，作出 D 点关于 MN的对称点，正好是 A 点，连接 AC，AC 为正方形对角线，根据正方形的性质得出 PCD=45 ， PCD=45 4. 解析：要求小华所走路程最短路 线，如图，可作点 C 关于 OA的对称点 M，作点 C关于 OB的对称点 N连接 MN， 交 OA于点 F，交 OB于点 E，最短路线 CEFB.中档题组5 解：作出点 A 关于 l1 的对称点 E，点 B 适于 l2的对称点 F，连接 EF ， 交于 l1，l2于点 C，点 B，则 AC