理论力学小论文-滚动摩阻

1、滚动摩阻及其实例分析制33刘 赞 2003010565冯灿 2003010559石磊 2003010558滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鹏辛明鹏 20030105542004年12月第1页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鹏关键词：滚动,摩擦,滚动摩阻，约束反力，摩擦自锁摘要：滚动摩阻是力学中一个非常重要，也非常复杂的问题。本文通过建立不同 的模型,解释了滚动摩阻的产生原理，并且讨论了滚动摩擦中的摩擦自锁问题。 最后，本文通过网球和车轮滚动两个实例,展示了滚动摩阻在生活中的应用。理论力学中一个非常重要的模型就是轮子滚动的问题，在很多机械构件的分 析上，还有生产实践

2、中都会经常遇到。在做理论分析时，很多时候都认为在滚动 过程中，轮子和地面都是不会有形变的，也就是利用了刚体这个理想模型。在这种假设条件下，轮子和地面是点基础。如果轮子是纯滚动，那么轮子除 了受到地面的支持力外，还可能受到一个静摩擦力（受力与否与轮子的运动状态 有关），作用点在轮子和地面的接触点，方向与轮子运动方向相反。根据对静摩 擦力的分析，静摩擦力所做的功W = f.S由于纯滚动，轮子和地面接触点的速 度为零，则$ = 0,故静摩擦力所做的功W = o。可知静摩擦力不做功，那当轮子 开始纯滚动，且不受外力的情况下，轮子将保持初始速度一直滚下去。但在实际 生活中，轮子或者是球在滚动一段时间后是

3、会停下来的，与理论预计不符，说明 理论模型中有不合理的地方。物体滑动时，实际情况会受到滑动摩擦力。但是对于纯滚动的物体，只会受 到静摩擦力，故不是一般的摩擦力阻碍物体的滚动，还有其它的作用使滚动物体 停下來。事实也是这样的。在一开始建的模型中，轮子和地面都是不会产生形变 的，但是在实际情况中，轮子和地面都会产生形变，而且在轮子滚动时，这个形 变并不时均匀的，轮子受到的支持分布力也不均匀，将分布力简化可以得到一个 力和一个力偶，且这个力偶是阻碍着轮子的滚动。实际情况中也就是这个力偶的 作用，使滚动停止。我们称这个力偶为滚动摩阻。下面我们将就滚动摩阻的概念、 原理以及滚动中的一些问题作一些简单的讨

4、论。滚动摩阻的原理我们以滚动中的圆柱体为模型來阐述滚动摩阻的原理。若滚动中圆柱体和其对应的支持面间的相互接触作用无须考虑其面分布情 况，则相互挤压的接触总作用便可认为是集中作用于接触面的某一点上，接触总 作用可以用一个宏观的力一一接触合力來等效，它总可以分解为沿接触面上力作 用点处切向的弹力和法向的摩擦力。第2页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鹏只要有形变存在，圆柱体前进时前方的挤压必然增强，形变加剧。所以接触 合力T的作用点D就由其质心轴0的正下方向前偏移了一段水平距离5,因此圆 柱体所受弹力并非竖直向上，所受静摩擦力/也并非沿水平方向向后。为分 析N和/的具体情况，可先

5、从下述两种理想情况入手。第一种理想情况是，圆柱体绝对坚硬而仅支持面产生了形变。先看N的方向。圆柱体滚动时D点己向前偏移，所以N沿D处法向指向0但 并非竖直向上。/的方向我们可这样考虑：设圆柱体和支持面间绝对无摩擦，圆 柱体在前进中的某时刻恰好只滚不滑。显而易见，由于N的作用此时圆柱体的 平移速度V立即减小而转动角速度0仍保持不变，所以圆柱体由只滚不滑的运动 状态立即变为乂滑乂滚的运动状态，圆柱体表面上与支持面接触的那一部分曲面 （以下简称为触地面）相对于对应的支持面将沿自己转动的正方向滑动。由此可 见，若两接触面间有摩擦的话，那么在V = Rcd时刻，触地面必将有一个沿自己 转动正方向相对滑动

6、的趋势，则此时圆柱体的D处必将受到与这个相对滑动趋势 方向相反的静摩擦力/的作用，如图1-1所示。第二种理想情况是，支持面绝对坚硬而仅圆柱体产生了形变。根据有关结论 和上一理想情况的分析方法不难确定，此情况下圆柱体所受弹力N竖直向上， 摩擦力/水平向后，如图1-2所示。（此时2可以等效为作用在重力G作用线上 的N以及一力偶M = N8即滚动摩阻）然而，实际情况总是圆柱体和支持面两者都产生了形变，所以W和/的情 况介于上述两理想情况之间。具体说來，设圆柱体及支持面由前述第一种理想情 况开始，保持其它条件不变，仅圆柱体的坚硬程度逐渐减小而支持面的坚硬程度 逐渐增大，直到前述第二种理想情况为止，则触

7、地面偏前部分的形变逐渐加剧其 形状逐渐趋于平缓，各处的曲率中心渐离了质心轴O, D处法向由指向0逐渐偏 离并往竖直向上的方向偏转靠近。第3页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鹏在前述第一种理想情况中，N沿D处法向指向质心轴0, /沿D处切向向 前偏上，见图1-1。随后在圆柱体的形变逐渐增大而支持面的形变逐渐减小的一 个有限范围内，N逐渐增大而其方向偏离了指向0的方向并逐渐向上偏转，/逐 渐减小而方向向下偏转且始终与N垂直。图1-3为这个有限范围内N和/的示 意图。当圆柱体和支持面形变相对达到某一程度时，N增加到最大而/减小为 零，此时N恰好等于接触合力T,如图1-4。此后随着

8、圆柱体形变的继续增大而支持面形变的继续减小,N则逐渐减小但方向继续向上并往竖直方向偏转 靠近，/则由零增大但方向改变为 向后偏下并逐渐往水平向后的方向 偏转靠近。图1-5为这一有限范围 内N和/的示意图。当形变达到前 述第二种理想情况时，N减小到等 于重力其方向达到竖直向上，/增 大到其方向水平向后，见图1-2。在以上讨论分析的基础上，若 把N进行力系等效处理，可将其平移至G作用线上，并附加一力偶M,即为滚动摩阻。图1-5滚动摩阻的另一个模型我们再來分析受主动力偶T作用的圆盘所受的约束反力，从另一个角度来解 释滚动摩阻现象。1对静止圆盘的分析圆盘受重力G时，平面对圆盘的约束反力呈对称分布（见图

9、2-1）,当乂有主 动力偶了作用时（T不太大），由于相对于过质心轴的转动惯量最小，所以圆盘有第4页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鹏绕质心0的转动趋势，因而在各法向反力的作用点处，必然产生切向静滑动摩擦 力（见图2-2）,且分布的切向静滑动摩擦力对点的力矩等于卩。将图2-2的约束 反力系向A点简化，法向分布力向4点简化的结果为一垂直向上的力N，切向 分布力向A点简化的结果为水平向右的切向力F和一个力偶M （见图2-3）。图2-3此外，当T不太大时，由于切向的静滑动摩擦力的约束，圆盘在有绕0点转 动趋势的同时，还必然产生绕A点的转动趋势，因此圆盘上（除A点外）的弧线 A人上各

10、点均有运动趋势，因此在A人上各点就必然产生与运动趋势相反的约 束全反力（见图2-4）。以A点作为分析对象，A4上其它各点类推，A点所受约 束全反力如图2-4所示，且RA1丄 M， 心向水平方向和竖直方向分解得水 平向左的分力R.az和竖直向上的分力人知，然后将圆盘所受的约束反力系向 A点简化：水平向左的力尸=工只仁,此力与图2-3中的F相抵消，竖直向 上的力=Ra,以及逆时针的滚动摩阻力偶M （见图2-5）o滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明勝综上，受主动力偶T作用的静止圆盘所受的总约束反力为法向反力N （等于 由G引起的分布力的合力加上S RAi y ）和滚动摩阻力偶（等于图2-3,

11、图2-5中 的滚动摩阻力偶的叠加），并与主动力偶T相平衡，无水平方向的摩擦力（见图2-6）。图2-6图2-72对滚动圆盘的分析当主动力偶矩T逐渐增大（丁 一最大滚动摩阻力偶）时，圆盘即开始滚 动，此时除4点外，人4上各点均有速度，因此图2-4中的约束全反力沿圆盘切 向的分量己达到最大静摩擦力，己不能抵消继续增大的如图2-3中A点的静摩擦 力（因T增大，A点向左滑动的趋势增大），因此当TM叱，工0,开始运动的圆 盘受力分析如图2-7所示。此时乂出现了水平向右的静摩擦力尸，其大小由下列平面运动微分方程确定:G F a = F gN-W = OT-Mmax上述方程对纯滚动圆盘：a = R, F未知；

12、对乂滚又滑的圆盘：aoRs ,F = pN。综上所述，受主动力偶T作用的圆盘，当OVTVMg,圆盘上除受因重力G第6页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鹏引起的垂直向上的反力N外，只出现滚动摩阻力偶与T平衡， 而无切向摩擦力F时（见图2-6）,圆盘处于静止状态。当时，圆盘上除 受竖直向上的力N夕卜，还出现最大滚动摩阻力偶M唤，并出现切向摩擦力尸（见 图 2-7） o物体滚动时滑动摩擦力上面我们介绍了滚动摩阻的原理，但是物体滚动时，同样也存在着滑动摩擦 力，而且滑动摩擦力情况较平动而言比较复杂，所以下面也分析一下。这些分析 将在后面的实例分析中用到。在平动问题中，摩擦力总是阻碍

13、接触面之间的相对滑动，这样可以判断摩擦 力的方向。在转动问题中，接触面间的 摩擦力也是由“阻碍相对滑动”的 原则來确定的。但是由于既有移 动乂有转动，因此，判断相对滑 动就比较麻烦一些。纯滚动，即当v = coR滑动摩 擦力为零。若轮子与平面接触点间有相对运动趋势，则有静摩接力，且方向与-相反。由前面分析，可以知道静 摩擦力不做功。则在纯滚动时，摩擦力不做功，没有机械能向内能的转换。既滚又滑时会有滑动摩擦力的存在。下面分两种情况讨论：（1）当vcoR,即平动速度大于滚动速度，则轮子是向前滑动的。轮子所 受的滑动摩擦力/将与I，方向相反，故由动量定理，/使I，减小。/对质心0的 力矩M = fR

14、方向与e相同，力矩M做正功。/使轮子平动减速，/做负功；乂 /使轮子滚动加速，做正功。基于以上分析，可以得出，时间内滑动摩擦力做 的总共为-介/ + #?泌总功为负功。（2）当vcoR,即平动速度小于滚动速度，则轮子滚动更快。轮子所受的滑动摩擦力/将与”方向相同，故由动量定理，/使”增大。/对质心0的力矩 M=fR方向与o相反，力矩M做负功。/使轮子平动加速，/做正功；乂/使 轮子滚动减速，做负功。可以得出/时间内滑动摩擦力做的总共为 总功仍为负功。由分析可以看出，/产生的效果一方面使轮子动能减小，动能转换为热能， 另一方面，/也使滚动动能和平动动能之间相互转换。无论何种情况，/总是在 调整滚

15、动速度和平动速度，使它们向心力尺转变。第7页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鵬关于滑动摩擦力方向和功的分析会在后面对实例的分析中得以运用。物体滚动时的摩擦自锁现象同滑动摩擦一样，滚动摩擦也存在摩擦自锁现象。下面以圆柱体为模型, 來分析讨论一下滚动摩擦自锁的条件。圆柱体在斜面上做纯滚动时，受到静摩擦力/和滚动摩阻力矩M的共同作用。如图所示。/与质心速度相反，使得圆柱体质心的速度减小。但是/对质心的力矩确与转动的角速度血方向相同,它应该增大圆柱体转动的角速度。/产生的力矩M = fR由前面原理知，分布再圆柱体与斜面接触初的约束反力N不通过质心，而是向运动前方偏移。于是N对质心产

16、生的力矩M与转动角速度血的方向相反,会减小圆柱体转动的角速度。这个力矩就是滚动摩阻力矩。其大小由M = kN表示。R为滚动摩阻系数。则，圆柱体在斜面上做纯滚动的动力学方程mg sin0- f = macN - mg cos 0 = 0fR-kN = -mR2s若在一定条件下，圆柱体在斜面上，既不向下滑动，也不向下滚动，此时 = 0, Q=0, 0 = 0。这就是滚动摩擦中的摩擦自锁现象，下面來讨论摩擦自 锁的条件。自锁时，/为静摩擦力，又ff=o心为静摩擦系数。发生摩擦自锁时fRkN结合前式可得由于土仏，即滚动摩阻系数远远小于滑动摩擦系数，故圆柱体会先发生R滚动，这也是我们平常推轮子而滚动的原

17、因。滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明膽这样，上面两式可化为一式，即门ktail Rw如图5-7,由刚体运动速度公式，此 时球与拍线接触点的速度方向指向x轴 正向，则由形变产生的尸和滑动摩擦力 方向均指向x轴负方向。合力矩使e减 小。很小，但由于N、.值很大，滑动摩 擦力/并不小，它使匕很快减小，某时 刻球的速度和角速度会满足纯滚动条 件，接下來，滑动摩擦将变向，转而增 大人，并且与他共同提供正力矩，使角 速度反向并增大。这符合实际的情况， 击球后，回球角速度一般都与初角速度反向。写论文时，我们还特意作了简单 的实验验证。第11页/共15页R滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鵬

18、2 Vx Rw如图58,此情况下，摩擦力一开始就提供使小球加速的正向加速度，册、.和 RF提供使角速度变向的正力矩。关于尸和/的大小问题不但易知，拍 线发生较大的形变时间很短，碰撞作用后，随网球y方向速，上鳥L、至反向，N、. 和F的大小将明显减小，此后给网球提供加速度和产生角加速度的力矩的便主要是滑动摩擦力了，回到了一般忽略滚动 摩阻的分析。3、匕初方向为负此时的受力情况如图5-9所示。由 速度和角速度方向关系可知，接触点速 度指向X轴负方向，所以滑动摩擦力/ 和尸均为正向。仏和共同为网球提 供力矩。以上的分析模型以及情况分类十分简化，主要是为了弓俠滚动摩擦的概念。实际上，网球），方向上速度

19、变化影响了拍和球的作用时间，需要根据碰撞理论进 行分析。人挥拍不同阶段有不同动作，也会影响网球的受力。滚动摩阻实例分析一车轮的滚动摩阻分析MN单轮模型首先我们建立如右图所示的模型，一般情况下, 轮子在地面上滚动，地面的形变相对较小，而轮子的 形变是产生股动摩阻的主要原因，滚动摩阻只考虑的作用。图中，M = kN,F是静摩擦力，P是 作用在轴0上的主动力。（为了讨论方便，下列模型 均不讨论空气阻力）轮子只有一个自由度，取0的水平位移x为广图6-1M义坐标，由动量矩定理，以接触点（瞬心）为转动中心,有XR-M =J（p其中丿是轮对瞬心的转动惯量。根据动量定理，有X-F =mx（2）第12页/共15

20、页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明腿补充运动学方程这种轮子，假如加在马车的架构上，就是马车轮子的力学模型。然后我们建立另外一种受力情况下轮子的模型。人或者发动；图0上产 生一个T主动力矩作用，其他条件如图所示。同样取X为广义坐标，于是，对质M -M -FR = Jc0,静摩擦力F0且提供轮子的加速度。设T 为轮子动能，则(7)dTdi=mxx + J c(pp=FR(p 4- (M M FR)(p= (8)其中是发动机的输出功率。同时，这也再一次说明了静摩擦力不做功。3、轮子作加速运动时，F 15可以得到Fl-F2 = ( + 2m)x(16)_ g系统动能为T = -(2m + )

21、x2 + 2-Jcq2(17)2g2给动能对时间求导：第14页/共15页滾动摩阻及其实例分析制33刘资冯灿石磊辛明鵬=(2m + )xx + 2jc(p(pdtg=(巴 一 F2)R + (M - Mi - M2 + F?R -= (M-Mi-M2)(p(18)若轮子乂滑乂滚，尺、尸2为轮子与地面之间的滑动摩擦力，并假设两个轮子的 角速度均为卩。则不能补充那两个运动学方程，最终结果为dTdt-2m + )xx + 2Jcq)(p g= (Fl -F2)x + (M-Mi-M2 +F2R-FiR)(p= (Fi -F2)(x-R(p) + (M(19)(x-Rp)既是轮子与地面之间的相对位移地面形变在交通事故多发生地段，经常可以看到减速慢行的提醒标语。但是某些司机 看到标语后并不减速，如何有效并且安全的强制司机减速，这是一个重要的问题。 减速，即是减小动能(由式可知，汽车正常行驶时，静摩擦 力对动能无作用。在发动机提供的M不变的条件下，可