15-电路方程的矩阵形式

1、第第1515章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 重点重点 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本 割集矩阵的概念和列写方法割集矩阵的概念和列写方法 回路电流方程、结点电压方程和割集电压方回路电流方程、结点电压方程和割集电压方 程的矩阵形式程的矩阵形式 难点难点 理解大规模电路分析方法对电路的计算机理解大规模电路分析方法对电路的计算机 辅助分析与设计的作用及应用前景辅助分析与设计的作用及应用前景 15.1 15.1 回顾基本概念回顾基本概念 一、网络的图一、网络的图 1 1、网络图论、网络图论 网络图论是图论在电路理论中的应用。网络图论是图论在电路理

2、论中的应用。 主要通过电路的结构及其连接性质，对电路主要通过电路的结构及其连接性质，对电路 进行分析计算。进行分析计算。 2 2、支路、支路 每一个电路元件或多个电路元件的某种每一个电路元件或多个电路元件的某种 组合用一条线段代替，称为支路。组合用一条线段代替，称为支路。 3 3、节点、节点 每一个电路元件的端点，或多个电路元件每一个电路元件的端点，或多个电路元件 相连接的点，称为节点。相连接的点，称为节点。 4 4、网络的图、网络的图 节点和支路的集合，称为图，每一条支路节点和支路的集合，称为图，每一条支路 的两端都连接到相应的节点上。的两端都连接到相应的节点上。 5 5、有向图、有向图 有

3、向图是指各个支路规定了参考方向的图，有向图是指各个支路规定了参考方向的图， 反之，称为无向图。反之，称为无向图。 6 6路径路径 从图从图G G的某一节点出发，沿着一些支路连的某一节点出发，沿着一些支路连 续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列 支路构成图的一条路径。支路构成图的一条路径。 7 7、连通图、连通图 当图当图G G 中的任意两个节点之间至少存在一条中的任意两个节点之间至少存在一条 路径时，称为连通图。路径时，称为连通图。 8 8、回路、回路 如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭如果一条路径的起点和终点重合所形成的闭 合路径，称为回路。合

4、路径，称为回路。 9 9、网孔、网孔 一般是指内网孔。平面图中自然的一般是指内网孔。平面图中自然的“孔孔”， 它所限定的区域不再有支路。它所限定的区域不再有支路。 二、树二、树 一个连通图一个连通图G G的树的树T T是指是指G G的一个连通子图，的一个连通子图， 它包含它包含G G的全部节点，但不含任何回路。树中的的全部节点，但不含任何回路。树中的 支路称为支路称为“树支树支”，图，图G G中不属于中不属于T T 的其他支路的其他支路 称为称为“连支连支”，其集合称为，其集合称为“树余树余”。 三、基本回路三、基本回路 只含一条连支的回路称为单连支回路，它只含一条连支的回路称为单连支回路，它

5、 们的总和为一组独立回路，称为们的总和为一组独立回路，称为“基本回路基本回路”。 树一经选定，基本回路唯一地确定下来。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。 四、割集四、割集Q 连通图连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质： 把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。 任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。 基本割集基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1 8 7 6 5 4 3 2 1 9 连支集合不能构成割集。连支集合不能构成割集。 注意注意 属于同一割集的所有支路的

6、电流应满足属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。 当一个割集的所有支路都连接在同一个结点当一个割集的所有支路都连接在同一个结点 上，则割集的上，则割集的KCL方程变为结点上的方程变为结点上的KCL方方 程程 。 对应一组线性独立的对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独方程的割集称为独 立割集立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。不一定是单树支割集。 15.2 15.2 关联矩阵、回路关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵、割集矩阵 图的矩阵表示是指图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，用矩阵描述图的拓扑性质， 即即KCL和和KVL的矩阵

7、形式。有三种矩阵形式：的矩阵形式。有三种矩阵形式： 图的矩阵表示图的矩阵表示 结点结点支路支路 关联矩阵关联矩阵 回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵 割集割集支路支路 割集矩阵割集矩阵 1 1 关联矩阵关联矩阵A 用矩阵形式描述用矩阵形式描述结点结点和和支路支路的关联性质。的关联性质。n个个 结点结点b条支路的图用条支路的图用nb的矩阵描述：的矩阵描述： A= n b 支路支路b 结结 点点 n 每一行对应一个结点，每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。 矩阵矩阵Aa的每一个元素定义为：的每一个元素定义为： 说明：说明： aij aij=1 支路支路 j 与与结结点点 i

8、 关联，方向背离关联，方向背离结结点；点； aij= -1 支路支路 j 与与结结点点 i关联，方向指向关联，方向指向结结点；点； aij =0 支路支路 j 与结点与结点 i 无关。无关。 例例 1 说明说明 每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一个，一个 是是-1-1，A的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。 A= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 支支 结结 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只行中导出，即只

9、 有有n-1行是独立的。行是独立的。 Aa= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 支支 结结 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 降阶关联矩阵降阶关联矩阵Aa 特点特点 Aa的某些列只具有一个的某些列只具有一个+1或一个或一个1，这，这 样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去 的行对应的结点可以当作参考结点。的行对应的结点可以当作参考结点。 Aa= (n-1) b 支路支路b 结结 点点 n-1 2 2 回路矩阵回路矩阵B 独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵独立回路

10、与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。描述。 B= l b 支路支路b独独 立立 回回 路路 l 说明说明 每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。每一列对应一条支路。 矩阵矩阵B的每一个元素定义为：的每一个元素定义为： bij 1 1 支路支路 j 在回路在回路 i 中，且方向一致；中，且方向一致； -1-1 支路支路 j 在回路在回路 i中，且方向相反；中，且方向相反； 0 支路支路 j 不在回路不在回路 i 中。中。 例例 1 1 2 3 取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向 给定给定B可以画出对应的有向图。可以画出对应的有向图。 1 2

11、 3 B = 1 2 3 4 5 6 支支 回回 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 0 0 -1 0 注意注意 基本回路矩阵基本回路矩阵Bf 独立回路对应一个树的单连枝回路得基本独立回路对应一个树的单连枝回路得基本 回路矩阵回路矩阵Bf 支路排列顺序为先连支后树支，回路支路排列顺序为先连支后树支，回路 顺序与连支顺序一致。顺序与连支顺序一致。 连支电流方向为回路电流方向；连支电流方向为回路电流方向；规定规定 例例选选 2、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、 3 、 4 。 1 2 3 1 1 2 3 Bf = 1 3 4 2 5 6 支支 回回 1 0 0

12、-1 -1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 Bt Bl = 1 Bt 3 3 基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述， 这里主要指基本割集矩阵。这里主要指基本割集矩阵。 Q= (n-1)b 支路支路b 割割 集集 数数 说明说明 每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路每一列对应一条支路. 矩阵矩阵Q的每一个元素定义为：的每一个元素定义为： qij 1 1 支路支路 j 在割集在割集 i 中，且与割集方向一致；中，且与割集方向一致； -1-1 支路支路 j 在割集在割集 i中，

13、且与割集方向相反；中，且与割集方向相反； 0 支路支路 j 不在割集不在割集 i 中。中。 规定规定 割集方向为树支方向；割集方向为树支方向； 支路排列顺序先树支后连支；支路排列顺序先树支后连支； 割集顺序与树支次序一致。割集顺序与树支次序一致。 基本割集矩阵基本割集矩阵Qf 1 例例选选 1、2、3支路支路为树为树 QlQt 1 l Q Qf= 1 2 3 4 5 6 支支 割集割集 Q1 Q2 Q3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -1 0 n T uB uAu 对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： 三个矩

14、阵从不同角度表示同一网络的连接性三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性 质，它们之间自然存在着一定的关系。质，它们之间自然存在着一定的关系。 15.3 15.3 矩阵矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系之间的关系 1. 1. A与与B 之间的关系之间的关系 0 n T uAB 0or 0 T T B AA B 0 T iQ iBi l 对同一有向图，任选一树，对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序按先树枝后连枝顺序有：有： 2. 2. Bf 与与Qf 之间的关系之间的关系 0 T l iBQ 0or 0 T T Q BB Q 0 1 1 T T t lff B QB Q T tl BQ 对同一

15、有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： lf tf lt QQ BB AAA 1 1 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：枝顺序写出矩阵： 3. 3. A与与Qf 之间的关系之间的关系 0 1 T T t ltf B AAB A 1 1 ltf AA Q ltt ltt AAB ABA 1 T T or 0 l - ttl AABQ 1T 15.4/5/615.4/5/6电路矩阵在电路矩阵在KCLKCL和和KVLKVL中的体现中的体现 关联矩阵关联矩阵A： 用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式

16、的KCL方程；方程； 设设: : T 654321 i i i i iii 例例 1 A= 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 支支 结结 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 以结点以结点为参考结点为参考结点 A i = -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 0 1 0 i i i i i i 6 5 4 3 2 1 0 541 643 321 iii iii iii n-1个独立个独立 方程方程 矩阵形式的矩阵形式的KCL: A i = 0 回路矩阵回路矩阵B： 用用回路矩阵回路矩阵B表示矩阵形式表示矩阵形式 的的KVL方程；方程； 设设 652431 uuuuuuu ulut B u = 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 u u u u u u 6 5 2 4 3 1 0 654 623 521 uuu uuu uuu l个独立个独立 KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL： B u = 0 1 2 3 1 选选 2、5、6为树，为树， 连支顺序为连支顺序为1、 3 、 4 。 基本割集矩阵基本割集矩阵Qf： 用基本用基本割集矩阵割集矩阵