天津市南开区高三一模理科数学试题及答案

1、本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部卷（非选择题）两部 分分共共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟第第卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第 卷卷 3 3 至至 9 9 页页 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1 1答第答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、 考试科目涂在答题卡上；考试科目涂在答题卡上； 2 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它

2、答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它 答案标号答案标号 3 3本卷共本卷共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件a a，b b互斥，那么互斥，那么 如果事件如果事件a a，b b 相互独立，那么相互独立，那么 p p( (a ab b) )=p=p( (a a) )+p+p( (b b) ) p p( (abab) )=p=p( (a a) ) p p( (b b) ) 棱柱的体积公式棱柱的体积公式v v 柱体柱体=sh =sh， 球的体积公式球的体积公式 v v 球球= = 3 4 rr3 3， 其中其中s

3、 s表示棱柱的底面积表示棱柱的底面积， 其中其中r r表表 示球的半径示球的半径 h h表示棱柱的高表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 （1 1）i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数 i i 52 25 = =（ ） （a a）i i （b b）i i （c c） 29 21 29 20 i i （d d） 21 4 + + 21 10 i i （2 2）已知实数）已知实数x x，y y满足约束条件满足约束条件 4 0 04 y yx yx ， ， ，则目标函数，则目标函数 z=xz=x

4、2 2y y的最小值是（的最小值是（ ） （a a）0 0 （b b）6 6 （c c）8 8 （d d）1212 （3 3）设）设a a，b b为两个不相等的集合，条件为两个不相等的集合，条件p p：x x ( (a ab b) )， 条件条件q q：x x ( (a ab b) )，则，则p p是是q q的（的（ ） （a a）充分不必要条件）充分不必要条件 （b b）充要条件）充要条件 （c c）必要不充分条件）必要不充分条件 （d d）既不充分也不）既不充分也不 必要条件必要条件 （4 4）已知双曲线）已知双曲线axax2 2byby2 2= =1 1（a a0 0，b b0 0）的一

5、条渐近线）的一条渐近线 方程是方程是x x3y=y=0 0，它的一个焦点在抛物线，它的一个焦点在抛物线y y2 2= =4 4x x的准线的准线 上，则双曲线的方程为（上，则双曲线的方程为（ ） （a a）4 4x x2 21212y y2 2= =1 1 （b b）4 4x x2 2 3 4 y y2 2= =1 1 （c c）1212x x2 24 4y y2 2= =1 1 （d d） 3 4 x x2 24 4y y2 2= =1 1 （5 5）函数函数y=y=loglog0.4 0.4( ( x x2 2+ +3 3x+x+4)4)的值域是的值域是（ ） （a a）(0(0，22 （

6、b b） 2 2，+)+) （c c）( (，22 （d d）22，+)+) （6 6）如图，网格纸上小正方形边长为）如图，网格纸上小正方形边长为 1 1，粗线是一个棱锥，粗线是一个棱锥 的三的三 视图，则此棱锥的体积为（视图，则此棱锥的体积为（ ） （a a） 3 8 （b b） 3 4 （c c）34 （d d）32 （7 7）在）在abcabc中，内角中，内角a a，b b，c c的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c， 且且b b2 2=a=a2 2+bc+bc，a=a= 6 ，则内角，则内角c=c=（ ） （a a） 6 （b b） 4 （c c） 4 3 （d d） 4 或

7、或 4 3 （8 8）已知函数）已知函数f f( (x x) )= =| |mxmx| | |x xn n| |（0 0n n1+1+m m） ，若关于若关于x x 的不等式的不等式f f( (x x) )0 0的解集中的整数恰有的解集中的整数恰有3 3个个，则实数则实数m m的的取值取值 范围为（范围为（ ） （a a）3 3m m6 6 （b b）1 1m m3 3 （c c）0 0m m1 1 （d d）1 1m m0 0 南开区南开区 2014201420152015 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量质量 检测（一）检测（一） 答答 题题 纸纸（理工类）（理

8、工类） 三三 题题 号号 二二 (15(15 ) ) (16(16 ) ) (17(17 ) ) (18(18 ) ) (19(19 ) ) (20(20 ) ) 总分总分 得得 分分 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2 2本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 110110 分分 得得 分分 评卷评卷 人人 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 个小题，每个小题，每 小题小题 5 5 分，共分，共 3030 分请将答案填分请将答案填 在题中横线上。在题中横线上。 （9 9）如图是某学校抽取的学生体重的）如图是

9、某学校抽取的学生体重的 频率分布直方图，已知图中从左到右的频率分布直方图，已知图中从左到右的 前前 3 3 个小组的频率依次成等差数列，第个小组的频率依次成等差数列，第 2 2 小组的频数为小组的频数为 1515，则抽取的学生人数为，则抽取的学生人数为 （1010）已知）已知a a0 0，( (x x 2 x a ) )6 6的二项展开式中，的二项展开式中， 常数项等于常数项等于 6060，则，则( (x x 2 x a ) )6 6的展开式中各项系的展开式中各项系 数和为数和为 （用数字作答）（用数字作答） （1111）如果执行如图所示的程序框图，则输出）如果执行如图所示的程序框图，则输出

10、的数的数s=s= （1212）已知在平面直角坐标系）已知在平面直角坐标系xoyxoy中，圆中，圆c c的的 参数方程为：参数方程为： ， ， sin22 cos2 y x （为参数）为参数） ，以，以oxox为极轴建立极为极轴建立极 坐标系，直线坐标系，直线l l的极坐标方程为：的极坐标方程为：3coscossinsin=0 0，则则 圆圆c c截直线截直线l l所得弦长为所得弦长为 （1313）如图，圆）如图，圆o o的割线的割线pabpab交圆交圆o o于于 a a、b b两点，割线两点，割线pcdpcd经过圆心经过圆心o o已知已知 pa=ab=pa=ab=2 26，po=po=8 8则

11、则bdbd的长为的长为 （1414）已知正三角形）已知正三角形abcabc的边长为的边长为2 2，点，点d d，e e分别在边分别在边 abab，acac上，且上，且ad=ab，ae= ac若点若点f f为线段为线段bebe的中的中 点，点点，点o o为为adeade的重心，则的重心，则ofcf= = d c b a p o 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 8080 分解答应写出分解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤）文字说明，证明过程或演算步骤） 得得 分分 评卷评卷 人人（1515） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 设函数设函数

12、f f( (x x) )= =cos(2cos(2x+x+ 3 2 ) )+ +2cos2cos2 2x x，x xrr （）求函数）求函数f f( (x x) )的最小正周期和单调减区间；的最小正周期和单调减区间； （）将函数）将函数f f( (x x) )的图象向右平移的图象向右平移 3 个单位长度后得到个单位长度后得到 函数函数g g( (x x) )的图象，求函数的图象，求函数g g( (x x) )在区间在区间 2 0 ，上的最小值上的最小值 得得 分分 评卷评卷 人人（1616） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 将编号为将编号为 1 1，2 2，3 3，4 4 的的

13、4 4 个小球随机放到个小球随机放到a a、b b、c c三个不三个不 同的小盒中，每个小盒至少放一个小球同的小盒中，每个小盒至少放一个小球 （）求编号为）求编号为 1 1， 2 2 的小球同时放到的小球同时放到a a盒的概率；盒的概率； （）设随机变量）设随机变量为放入为放入a a盒的小球的个数，求盒的小球的个数，求的分的分 布列与数学期望布列与数学期望 得得 分分 评卷评卷 人人（1717） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 如图，在四棱锥如图，在四棱锥p p- -abcdabcd中，中， 四边形四边形abcdabcd是直角梯形，是直角梯形， ababadad，ababcdcd

14、， pcpc底面底面abcdabcd，ab=ab=2 2ad=ad=2 2cd=cd=4 4，pc=pc=2 2a a，e e是是pbpb的中点的中点 （）求证：平面）求证：平面eaceac平面平面pbcpbc； （）若二面角）若二面角p p- -acac- -e e的余弦值为的余弦值为 3 6 ，求直线，求直线 papa与平面与平面eaceac所成角的正弦值所成角的正弦值 得得 分分 评卷评卷 人人（1818） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 已知椭圆已知椭圆c c：1 2 2 2 2 b y a x （a ab b0 0）与）与y y轴的交点为轴的交点为 a a，b b（点（

15、点a a位于点位于点b b的上方）的上方） ，f f为左焦点，原点为左焦点，原点o o到直线到直线 fafa的距离为的距离为 2 2 b b （）求椭圆）求椭圆c c的离心率；的离心率； （）设）设b=b=2 2，直线，直线y=kx+y=kx+4 4 与椭圆与椭圆c c交于不同的两点交于不同的两点 m m，n n，求证：直线，求证：直线bmbm与直线与直线anan的交点的交点g g在定直线上在定直线上 得得 分分 评卷评卷 人人（1919） （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 设数列设数列 a an n 满足：满足：a a1 1= =1 1，a an+ n+1 1=3 =3a an

16、n，n nnn* *设设s sn n为数列为数列 b bn n 的前的前n n项和，已知项和，已知b b1 100，2 2b bn nb b1 1= =s s1 1s sn n，n nnn* * （）求数列）求数列 a an n ， b bn n 的通项公式；的通项公式； （）设）设c cn n= =b bn nloglog3 3a an n，求数列，求数列 c cn n 的前的前n n项和项和t tn n； （）证明：对任意）证明：对任意n nnn* *且且n n22，有，有 22 1 ba + + 33 1 ba + + + nn ba 1 2 3 得得 分分 评卷评卷 人人（2020）

17、（本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 已知函数已知函数f f( (x x) )= = 1 x be ax ，曲线，曲线y=fy=f( (x x) )在点在点(1(1，f f(1)(1)处的切线处的切线 方程为方程为x+x+( (e e1)1)2 2y ye=e=0 0 其中其中e e = =2.718282.71828为自然对数的底数为自然对数的底数 （）求）求a a，b b的值；的值； （）如果当）如果当x x00 时，时，f f(2(2x x) ) x e k1 ，求实数，求实数k k的取值范的取值范 围围 南开区南开区 2014201420152015 学年度第二学期学年度第二学

18、期高三年级总复习高三年级总复习质量检质量检 测（一）测（一） 数学试卷（理工类）参考答案数学试卷（理工类）参考答案 2015.042015.04 一、选择题：一、选择题： 题题 号号 （ 1 1 ） （ 2 2 ） （ 3 3 ） （ 4 4 ） （ 5 5 ） （ 6 6 ） （ 7 7 ） （ 8 8 ） 答答 案案 a a c c c c d d b b a a b b b b 二、填空题：二、填空题： （9 9）6060； （1010）1 1； （1111）25002500； （1212）2 23； （1313）2 26； （1414）0 0 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）三、

19、解答题：（其他正确解法请比照给分） （）由（）由（）得）得g g( (x x) )= =cos(2(cos(2(x x 3 ) )+ + 3 ) )+ +1 1= =cos(2cos(2x x 3 ) ) + +1 1 1010 分分 因为因为 00 x x 2 ， 所以所以 3 2 2x x 3 3 2 ， 所以所以 2 1 cos(2cos(2x x 3 ) )11， 1212 分分 因此因此 2 1 cos(2cos(2x x 3 ) )+ +1 12 2，即，即f f( (x x) )的取值范围为的取值范围为 2 1 ，2 2 1313 分分 （1616）解：解：（）设）设编号为编号为

20、 1 1，2 2 的小球同时放到的小球同时放到a a盒的概率盒的概率 为为p p， p=p= 3 3 2 4 2 2 ac a = = 18 1 44 分分 （）= =1 1，2 2， 5 5 分分 p p( (= =1)1)= = 3 3 2 4 2 2 2 3 1 4 ac acc = = 3 2 ， p p( (= =2)2)= = 3 3 2 4 2 2 2 4 ac ac = = 3 1 ， 所以所以的的分布列为分布列为 1 12 2 p p 3 2 3 1 1111 分分 的数学期望的数学期望e e( () )= =1 1 3 2 + +2 2 3 1 = = 3 4 1313 分

21、分 （1717）解：（解：（）pcpc平面平面abcdabcd，acac 平面平面 abcdabcd，acacpcpc ab=ab=4 4，ad=cd=ad=cd=2 2，ac=bc=ac=bc=2 acac2 2+bc+bc2 2=ab=ab2 2，acacbcbc 又又bcbcpc=cpc=c，acac平面平面pbcpbc acac 平面平面eaceac， 平面平面eaceac平面平面pbcpbc 55 分分 （）如图，以点）如图，以点c c为原点，为原点，da， cd，cp分别为分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴正方向，建立空间直角坐标轴正方向，建立空间直角坐标 系，则系，则c

22、c(0(0，0 0，0)0)，a a(2(2，2 2，0)0)，b b(2(2，2 2，0)0) 设设p p(0(0，0 0，2 2a a) )（a a0 0） ，则，则e e(1(1，1 1，a a) )， ca= =(2(2，2 2，0)0)，cp(0(0，0 0，2 2a a) )，ce= =(1(1，1 1，a a) ) 取取m=m=(1(1，1 1，0)0)，则，则m mca=m=mcp= =0 0，m m为面为面pacpac的法的法 向量向量 设设n=n=( (x x，y y，z z) )为面为面eaceac的法向量，则的法向量，则 n nca=n=nce= =0 0， 即即 0

23、0 azyx yx， ，取，取x=ax=a，y=y=a a，z=z=2 2，则，则n=n=( (a a， a a，2)2)， 依题意，依题意，|cos|cos|= = | | nm nm = = 2 2 a a = = 3 6 ，则，则a=a=2 2 1010 分分 于是于是n=n=(2(2，2 2，2)2)，pa= =(2(2，2 2，4)4) 设直线设直线papa与平面与平面eaceac所成角为所成角为， 则则 sinsin=|cos|cos|= = | | npa npa = = 3 2 ， 即直线即直线papa与平面与平面eaceac所成角的正弦值为所成角的正弦值为 3 2 1313

24、分分 （1818）解：（解：（）设）设f f的坐标为的坐标为( (c c，0)0)，依题意有，依题意有 bc=bc= 2 2 abab， 椭圆椭圆c c的离心率的离心率e=e= a c = = 2 2 33 分分 （）若）若b=b=2 2，由（，由（）得）得a=a=2 22，椭圆方程为椭圆方程为1 48 22 yx 55 分分 联立方程组联立方程组 4 82 22 kxy yx， 化简得：化简得：( (2 2k k2 2+ +1 1) )x x2 2+16+16kx+kx+2424= =0 0， 由由= =3232( (2 2k k2 23)3)0 0，解得：，解得：k k2 2 2 3 由韦

25、达定理得：由韦达定理得：x xm m+ +x xn n= = 12 16 2 k k ，x xm mx xn n= = 12 24 2 k 77 分分 设设m m( (x xm m，kxkxm m+4)+4)，n n( (x xn n，kxkxn n+4)+4)， mbmb方程为：方程为：y=y= m m x kx6 x x2 2， nana方程为：方程为：y=y= n n x kx2 x x+2+2， 99 分分 由由解得：解得：y=y= mn nmnm xx xxxkx 3 )3(2 1111 分分 = = 12 16 4 )2 12 16 12 24 (2 2 22 k k x x k

26、k k k n n = = 12 16 4 )2 12 8 (2 2 2 k k x x k k n n = =1 1 即即y yg g= =1 1， 直线直线bmbm与直线与直线anan的交点的交点g g在定直线上在定直线上 1313 分分 （1919）解：（解：（）a an+ n+1 1=3 =3a an n，a an n 是公比为是公比为 3 3，首项，首项a a1 1= =1 1 的等比数列，的等比数列， 通项公式为通项公式为a an n=3=3n n 1 1 2 2 分分 22b bn nb b1 1= =s s1 1s sn n，当当n=n=1 1 时，时，2 2b b1 1 b

27、b1 1= =s s1 1s s1 1， s s1 1= =b b1 1，b b1 100，b b1 1=1=1 3 3 分分 当当n n1 1 时，时，b bn n=s=sn ns sn n 1 1= =2 2b bn n 2 2b bn n 1 1， ，b bn n= =2 2b bn n 1 1， ， b bn n 是公比为是公比为 2 2，首项，首项a a1 1= =1 1 的等比数列，的等比数列， 通项公式为通项公式为b bn n=2=2n n 1 1 5 5 分分 （）c cn n= =b bn nloglog3 3a an n= =2 2n n 1 1log log3 33 3n

28、 n 1 1= =( (n n 1)1)2 2n n 1 1， ， 6 6 分分 t tn n= =0 02 20 0+ +1 12 21 1+ +2 22 22 2+ + +( (n n2)2)2 2n n 2 2+ +( (n n 1)1)2 2n n 1 1 2 2t tn n= = 0 02 21 1+ +1 12 22 2+ +2 22 23 3+ + +( (n n2)2)2 2n n 1 1+ +( (n n 1)1) 2 2n n 得：得：t tn n= =0 02 20 0+ +2 21 1+ +2 22 2+ +2 23 3+ + +2 2n n 1 1 ( (n n1)1

29、)2 2n n =2 =2n n2 2( (n n1)1)2 2n n = =2 2( (n n2)2)2 2n n t tn n= =( (n n2)2)2 2n n+2+2 1010 分分 （） nn ba 1 = = 11 23 1 nn = = 12 233 1 nn = = )23(23 1 222 nnn 2 3 1 n 22 1 ba + + 33 1 ba + + + nn ba 1 0 3 1 + + 1 3 1 + + + 2 3 1 n = = 3 1 1 ) 3 1 (1 1 n = = 2 3 (1(1 1 3 1 n ) ) 2 3 1414 分分 （2020）解解：（：（）f f ( (x x) )= = 2 ) 1( )