数学广角——找次品

1、“次品次品”定义：定义： 打开瓶子打开瓶子 数一数数一数 。 用手掂一掂，用手掂一掂， 比较轻的就比较轻的就 是少的那一是少的那一 瓶瓶。 用秤称。用秤称。 像这种比较轻的物品，像这种比较轻的物品， 我们一般借助我们一般借助天平天平来来 测量它的重量测量它的重量。 在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1瓶木糖醇，瓶木糖醇， 如果平衡说明这两个都不是次品如果平衡说明这两个都不是次品. 在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1瓶木瓶木 糖醇，如果不平衡，说明次品糖醇，如果不平衡，说明次品 就在翘起来的那边。就在翘起来的那边。 需要称需要称 次。次。 不平衡，轻的是次品。 1 1 有有3瓶钙片

2、，其中瓶钙片，其中1瓶少了瓶少了3片。片。 你能设法把它找出来吗？你能设法把它找出来吗？ 平衡， 是次品。 你能想办法把用天平找次品的过你能想办法把用天平找次品的过 程，清楚地表示出来吗？程，清楚地表示出来吗？ 可以这样可以这样 记录。记录。 我用我用 表示钙片。表示钙片。 探 寻 规 律 次品 2瓶 结论：两瓶可以一次找出次品。 次品 1 2 3 在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1 1瓶，如果不瓶，如果不 平衡，说明次品就在翘起来的那边。平衡，说明次品就在翘起来的那边。 3瓶 次品 1 2 3 结论：三瓶也可以一次找出次品。 如果平衡，说明次品就是另外一瓶。如果平衡，说明次品就是另外

3、一瓶。 3瓶 这样称能找出次品吗？为什么？这样称能找出次品吗？为什么？ 放在天平两边物体的个数应相同。放在天平两边物体的个数应相同。 1 2 3 小结小结1 1： 在两个物品或三个物品里找次品的在两个物品或三个物品里找次品的 方法是什么？方法是什么？ 无论是无论是2 2个物品还是个物品还是3 3个物品，个物品， 都都只需要称一次只需要称一次就一定可以找就一定可以找 到次品。到次品。 4瓶 12 3 4 12 3 4 1 2 3 4 12 34 次品 次品 次品 结论：四瓶要两次才可以找出次品。 例例1 这里有这里有5瓶健胃消食片，其中一瓶少了瓶健胃消食片，其中一瓶少了3 粒，你能想办法把它找出

4、来吗？粒，你能想办法把它找出来吗？ 健胃消健胃消 食食 2 健胃消健胃消 食食 1 健胃消健胃消 食食 3 健胃消健胃消 食食 5 健胃消健胃消 食食 4 健胃消健胃消 食食 3 健胃消健胃消 食食 2 健胃消健胃消 食食 1 健胃消健胃消 食食 4 健胃消健胃消 食食 5 健胃消健胃消 食食 3 健胃消健胃消 食食 2 健胃消健胃消 食食 1 健胃消健胃消 食食 4 健胃消健胃消 食食 5 21 21 最优策略： 、把待测物品分成三份。 、平均分、尽量平均分，不能均 分的，也应该使多的一份 与少的一份只相差。 8 8个零件里有个零件里有1 1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，个是次品（次

5、品重一些）。假如用天平称，至少称至少称 几次就保证一定几次就保证一定能找出次品？能找出次品？ 是指肯定能找出次是指肯定能找出次 品 的 最 少 次 数 。品 的 最 少 次 数 。 （最优方案）（最优方案） 用用 表示零件表示零件 平衡，再各放平衡，再各放 不平衡，重的不平衡，重的 是指每一条是指每一条“可能可能 的路径的路径”都要考虑都要考虑 到，不能到，不能“碰运气碰运气 ” （1 1）把物品分成几份？每份是多少？）把物品分成几份？每份是多少？ （2 2）假如天平平衡，次品在哪里？）假如天平平衡，次品在哪里？ （3 3）假如天平不平衡，次品在哪里？）假如天平不平衡，次品在哪里？ （4 4）

6、至少称几次，能保证找出次品来？）至少称几次，能保证找出次品来？ 小组合作讨论：小组合作讨论： 9瓶 瓶数瓶数 分成的分成的 份数份数 每份的个数每份的个数 保证能找出保证能找出 次品的次数次品的次数 9 9 9 9 瓶数瓶数 分成的分成的 份数份数 每份的个数每份的个数 保证能找出保证能找出 次品的次数次品的次数 9 9 9 9 3 3 5 9 4、4、1 3、3、3 2、2、2、2、1 1、1、1、1、1、 1、1、1、1 3 2 3 4 结论：九瓶也只要两次可以保证找出次品。 10瓶 10瓶两次能保证找行到次品吗？再试一试吧！ 1025、53 1033、3、43 1034、4、23 104

7、3、3、2、23 1052、2、2、2、2 3 1010 1、1、1、1、1、 1、1、1、1、1 5 瓶数瓶数 分成的分成的 份数份数 每份的个数每份的个数 保证能找出保证能找出 次品的次数次品的次数 结论：十瓶至少要三次才保证可以找出次品。 (分3份) 666 第一次 第二次(分3份)2 2 2 第三次(分2份) 1 1 18 (分3份) 999 第一次 第二次(分3份)3 3 3 第三次(分3份)1 1 1 27 (分3份) 9910 第一次 第二次(分3份)3 3 4 第三次(分2份)2 2 28 (分3份) 第二次 第三次(分3份) 第四次(分3份) 27 9 9 9 3 3 3 1

8、11 27 81 27第一次(分3份) 最优策略： 、把待测物品分成三份。 、平均分、尽量平均分，不能均 分的，也应该使多的一份 与少的一份只相差。 分一分分一分称一称称一称想一想想一想 瓶瓶 数数分成几份分成几份每份各是几个每份各是几个称的次数称的次数 保证能找出次品保证能找出次品 称的最少次数称的最少次数 53(2, 2, 1) 22 63(2, 2, 2) 22 73(2, 2, 3) 22 83(3, 3, 2) 2 2 93(3, 3, 3) 2 最佳分法最佳分法3最好是平均分最好是平均分或者使多的一份与少的一份个数只相差或者使多的一份与少的一份个数只相差1 2 103(3, 3,

9、4)33 11 3 (4, 4, 3)33 你知道吗？你知道吗？用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下 关系关系（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。）（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。） 要辨别的物品数目要辨别的物品数目 保证能找出次品需要的次数保证能找出次品需要的次数 23 49 1027 2881 82243 1 2 3 4 5 有有 10 瓶水，其中瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有瓶质量相同，另有 1 瓶是盐瓶是盐 水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出 这瓶盐水这瓶盐水? 分成

10、分成 3 份份( (3，3，4) )，则至少称，则至少称 3次可以保证找次可以保证找 出这瓶盐水。出这瓶盐水。 1. ( (1) )如果用天平称，称几次可以找出来如果用天平称，称几次可以找出来? 2 次。次。 我吃了我吃了 2 个。个。 这这 9 筐里你吃筐里你吃 的是哪一筐的是哪一筐? 300 g/筐筐 ( (2) )你能称你能称 2 次就保证把它找出来吗次就保证把它找出来吗? 将将 9 筐分成筐分成 3 份份( (3，3，3) )，天平两边分别放天平两边分别放 3 筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。筐，若天平平衡，则轻的一筐在剩余的三筐中。 再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中

11、再从剩余三筐中取两筐，分别放在天平两盘中 各一筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即各一筐，若分出轻重，则放在轻的一边的一筐即 为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的为小松树吃的那一筐；若天平仍平衡，则剩余的 一筐即为小松鼠吃的那一筐。若第一筐即为小松鼠吃的那一筐。若第步天平不平步天平不平 衡，则从较轻的三筐中取两筐，操作如衡，则从较轻的三筐中取两筐，操作如。 ( (3) )如果天平两边各放如果天平两边各放 4 筐，称一次有可能称出来吗筐，称一次有可能称出来吗? 有可能。有可能。 2. 有有 15 盒饼干，其中的盒饼干，其中的 14 盒质量相同，另有盒质量相同，另有 1 盒盒 少了几块，如

12、果能用天平称，至少几次可以找出少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出 这盒饼干这盒饼干? 3 次。次。 3. 计算。计算。 3 7 + 4 5 = + 15 35 28 35 = 43 35 = 1 8 35 5 12 + 5 8 = + 10 24 15 24 = 25 24 = 1 1 24 7 9 + 6 7 = + 49 63 54 63 = 103 63 = 1 40 63 1 - - - - 2 7 3 7 = - - - 7 7 2 7 3 7 = 2 7 1 4 + + 1 6 - - 1 2 1 6 3 4 = + + 1 4 3 4 1 6 = 1 1 6 = - -

13、3 6 1 6 = 2 6 1 3 = 1 3 = 1 + 1 6 4. 小明和爸爸现在年龄的和是小明和爸爸现在年龄的和是 34 岁，岁，3 年后爸爸比年后爸爸比 小明大小明大 24 岁。今年小明和爸爸各多少岁岁。今年小明和爸爸各多少岁? 今年小明的年龄今年小明的年龄: ( (34 - - 24) )2 = 5 ( (岁岁) ) 今年爸爸的年龄今年爸爸的年龄: 5 + 24 = 29 ( (岁岁) ) 答答: 今年小明今年小明 5 岁，爸爸岁，爸爸 29 岁。岁。 5. 1 箱糖果有箱糖果有 12 袋，其中有袋，其中有 11 袋质量相同，另有袋质量相同，另有 1 袋质量不足，轻一些。至少称几次

14、能保证找出这袋袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋 糖果来糖果来? 你会用下面的图表示你会用下面的图表示 称的过程吗称的过程吗? 把把 12 袋糖袋糖 分成分成 3 份，份， 每份每份 4 袋。袋。 天平两边各天平两边各 放放 4 袋。袋。 平衡平衡 不平衡不平衡 6. 有有 3 袋白糖，其中袋白糖，其中 2 袋每袋袋每袋 500 g，另，另 1 袋不是袋不是 500 g， 但不知道比但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗重还是轻。你能用天平找出来吗? 任意取出两袋，放在天平上，若天平平衡，则将其任意取出两袋，放在天平上，若天平平衡，则将其 中一袋与未称量的那袋一起放到天

15、平上，若未称量中一袋与未称量的那袋一起放到天平上，若未称量 的重，则它大于的重，则它大于 500 克克, 若轻若轻, 则它小于则它小于 500 克克; 如如 果任取两袋放在天平上时果任取两袋放在天平上时, 天平不平衡天平不平衡, 则将较重的则将较重的 与未称量的一起放到天平上与未称量的一起放到天平上, 若较重的与未称量的若较重的与未称量的 一样重一样重, 则先前那袋小于则先前那袋小于 500 克克, 若较重的依然重若较重的依然重, 则较重的大于则较重的大于 500 克。克。 7.* 五五( (1) )班有班有 25 人，许多同学参加了课外小组。参人，许多同学参加了课外小组。参 加音乐组的有加音

16、乐组的有 12 人，参加美术组的有人，参加美术组的有 10 人，两人，两 个组都没参加的有个组都没参加的有 6 人。既参加音乐组又参加美人。既参加音乐组又参加美 术组的有多少人术组的有多少人? 12 + 10 + 6 - - 25 = 3( (人人) ) 答答: 既参加音乐组又参加美术组的有既参加音乐组又参加美术组的有 3 人。人。 谢谢使用谢谢使用 培优教育系列丛书培优教育系列丛书 像这种比较轻的物品，像这种比较轻的物品， 我们一般借助我们一般借助天平天平来来 测量它的重量测量它的重量。 例例1 这里有这里有5瓶健胃消食片，其中一瓶少了瓶健胃消食片，其中一瓶少了3 粒，你能想办法把它找出来吗

17、？粒，你能想办法把它找出来吗？ 健胃消健胃消 食食 2 健胃消健胃消 食食 1 健胃消健胃消 食食 3 健胃消健胃消 食食 5 健胃消健胃消 食食 4 最优策略： 、把待测物品分成三份。 、平均分、尽量平均分，不能均 分的，也应该使多的一份 与少的一份只相差。 (分3份) 666 第一次 第二次(分3份)2 2 2 第三次(分2份) 1 1 18 你知道吗？你知道吗？用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下 关系关系（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。）（只含一个次品，已知次品比正品重或轻。） 要辨别的物品数目要辨别的物品数目 保证能找出次

18、品需要的次数保证能找出次品需要的次数 23 49 1027 2881 82243 1 2 3 4 5 1. ( (1) )如果用天平称，称几次可以找出来如果用天平称，称几次可以找出来? 2 次。次。 我吃了我吃了 2 个。个。 这这 9 筐里你吃筐里你吃 的是哪一筐的是哪一筐? 300 g/筐筐 6. 有有 3 袋白糖，其中袋白糖，其中 2 袋每袋袋每袋 500 g，另，另 1 袋不是袋不是 500 g， 但不知道比但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗重还是轻。你能用天平找出来吗? 任意取出两袋，放在天平上，若天平平衡，则将其任意取出两袋，放在天平上，若天平平衡，则将其 中一袋与未称量的那袋一起放到天平上，若未称量中一袋与未称量的那袋一起放到天平上，若未称量 的重，则它大于的重，则它大于 500 克克, 若轻若轻, 则它小于则它小于 500 克克; 如如 果任取两袋放在天平上时果任取两袋放在天平上时, 天平不平衡天平不平衡, 则将较重的则将较重的 与未称量的一起放到天平上与未称量的一起放到天平上, 若较重的与未称量的若较重的与未称量的 一样重