同济大学线性代数第六版课后答案(全)

1、第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1); 解 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118 -013-2(-1)8-1(-4)(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列

2、各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n-1) 2 4 (2n); 解 逆序数为: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2. 解

3、逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n-2) (n-1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是 (-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a2

4、3a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 证明: (1)=(a-b)3; 证明 =(a-b)3 . (2); 证明 . (3); 证明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 证明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+

5、c+d). (5)=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 证明 用数学归纳法证明. 当n=2时, , 命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即 dn-1=xn-1+a1 xn-2+ +an-2x+an-1, 则dn按第一列展开, 有 =xd n-1+an=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 因此, 对于n阶行列式命题成立. 6. 设n阶行列式d=det(aij), 把d上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, d3=d . 证明因为d=det(aij), 所以 . 同理可证 . . 7. 计算下列各行列式(dk为k阶行列式): (

6、1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解 (按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3); 解 根据第6题结果, 有 此行列式为范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展开) . 再按最后一行展开得递推公式 d2n=andnd2n-2-bncnd2n-2, 即d2n=(andn-bncn)d2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) d=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n

7、-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 an0. 解 . 8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1); 解 因为 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因为 , , , , , , 所以, , , , . 9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 . 令d=0, 得 m=0或l=1. 于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解. 10. 问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令d=0, 得 l=0, l

8、=2或l=3. 于是, 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解. 第二章矩阵及其运算 1. 已知线性变换: , 求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 3. 设, , 求3ab-2a及atb. 解 , . 4. 计算下列乘积: (1); 解 . (2); 解 =(13+22+31)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22

9、x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 设, , 问: (1)ab=ba吗? 解 abba. 因为, , 所以abba. (2)(a+b)2=a2+2ab+b2吗? 解 (a+b)2a2+2ab+b2. 因为, , 但 , 所以(a+b)2a2+2ab+b2. (3)(a+b)(a-b)=a2-b2吗? 解 (a+b)(a-b)a2-b2. 因为, , , 而 , 故(a+b)(a-b)a2-b2. 6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若a2=0, 则a=0; 解 取, 则a2=0, 但a0. (2)若a2=a, 则a=0或a=e; 解 取, 则a2=a, 但a

10、0且ae. (3)若ax=ay, 且a0, 则x=y . 解 取 , , , 则ax=ay, 且a0, 但xy . 7. 设, 求a2, a3, , ak. 解 , , , . 8. 设, 求ak . 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立，则k+1时， , 由数学归纳法原理知: . 9. 设a, b为n阶矩阵，且a为对称矩阵，证明btab也是对称矩阵. 证明 因为at=a, 所以 (btab)t=bt(bta)t=btatb=btab, 从而btab是对称矩阵. 10. 设a, b都是n阶对称矩阵，证明ab是对称矩阵的充分必要条件是a

11、b=ba. 证明 充分性: 因为at=a, bt=b, 且ab=ba, 所以 (ab)t=(ba)t=atbt=ab, 即ab是对称矩阵. 必要性: 因为at=a, bt=b, 且(ab)t=ab, 所以 ab=(ab)t=btat=ba. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |a|=1, 故a-1存在. 因为 , 故 . (2); 解 . |a|=10, 故a-1存在. 因为 , 所以 . (3); 解 . |a|=20, 故a-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 12. 解下列矩阵方程: (1); 解 . (2); 解

12、 . (3); 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . (2). 解 方程组可表示为 , 故 , 故有 . 14. 设ak=o (k为正整数), 证明(e-a)-1=e+a+a2+ +ak-1. 证明 因为ak=o , 所以e-ak=e. 又因为 e-ak=(e-a)(e+a+a2+ +ak-1), 所以 (e-a)(e+a+a2+ +ak-1)=e, 由定理2推论知(e-a)可逆, 且 (e-a)-1=e+a+a2+ +ak-1. 证明 一方面, 有e=(e-a)-1(e-a). 另一方面, 由ak=o, 有 e=

13、(e-a)+(a-a2)+a2- -ak-1+(ak-1-ak) =(e+a+a2+ +a k-1)(e-a), 故 (e-a)-1(e-a)=(e+a+a2+ +ak-1)(e-a),两端同时右乘(e-a)-1, 就有 (e-a)-1(e-a)=e+a+a2+ +ak-1. 15. 设方阵a满足a2-a-2e=o, 证明a及a+2e都可逆, 并求a-1及(a+2e)-1. 证明 由a2-a-2e=o得 a2-a=2e, 即a(a-e)=2e, 或 , 由定理2推论知a可逆, 且. 由a2-a-2e=o得 a2-a-6e=-4e, 即(a+2e)(a-3e)=-4e, 或 由定理2推论知(a+

14、2e)可逆, 且. 证明 由a2-a-2e=o得a2-a=2e, 两端同时取行列式得 |a2-a|=2, 即 |a|a-e|=2, 故 |a|0, 所以a可逆, 而a+2e=a2, |a+2e|=|a2|=|a|20, 故a+2e也可逆.由 a2-a-2e=o a(a-e)=2e a-1a(a-e)=2a-1e, 又由 a2-a-2e=o(a+2e)a-3(a+2e)=-4e (a+2e)(a-3e)=-4 e, 所以 (a+2e)-1(a+2e)(a-3e)=-4(a+2 e)-1, . 16. 设a为3阶矩阵, , 求|(2a)-1-5a*|. 解 因为, 所以 =|-2a-1|=(-2)

15、3|a-1|=-8|a|-1=-82=-16. 17. 设矩阵a可逆, 证明其伴随阵a*也可逆, 且(a*)-1=(a-1)*. 证明 由, 得a*=|a|a-1, 所以当a可逆时, 有 |a*|=|a|n|a-1|=|a|n-10, 从而a*也可逆. 因为a*=|a|a-1, 所以 (a*)-1=|a|-1a. 又, 所以 (a*)-1=|a|-1a=|a|-1|a|(a-1)*=(a-1)*. 18. 设n阶矩阵a的伴随矩阵为a*, 证明: (1)若|a|=0, 则|a*|=0; (2)|a*|=|a|n-1. 证明 (1)用反证法证明. 假设|a*|0, 则有a*(a*)-1=e, 由此

16、得 a=a a*(a*)-1=|a|e(a*)-1=o , 所以a*=o, 这与|a*|0矛盾，故当|a|=0时, 有|a*|=0. (2)由于, 则aa*=|a|e, 取行列式得到 |a|a*|=|a|n. 若|a|0, 则|a*|=|a|n-1; 若|a|=0, 由(1)知|a*|=0, 此时命题也成立. 因此|a*|=|a|n-1. 19. 设, ab=a+2b, 求b. 解 由ab=a+2e可得(a-2e)b=a, 故 . 20. 设, 且ab+e=a2+b, 求b. 解 由ab+e=a2+b得 (a-e)b=a2-e, 即 (a-e)b=(a-e)(a+e). 因为, 所以(a-e)

17、可逆, 从而 . 21. 设a=diag(1, -2, 1), a*ba=2ba-8e, 求b. 解 由a*ba=2ba-8e得 (a*-2e)ba=-8e, b=-8(a*-2e)-1a-1 =-8a(a*-2e)-1 =-8(aa*-2a)-1 =-8(|a|e-2a)-1 =-8(-2e-2a)-1 =4(e+a)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩阵a的伴随阵, 且aba-1=ba-1+3e, 求b. 解 由|a*|=|a|3=8, 得|a|=2. 由aba-1=ba-1+3e得 ab=b+3a, b=3(a-e)-1a=3a(

18、e-a-1)-1a . 23. 设p-1ap=l, 其中, , 求a11. 解 由p-1ap=l, 得a=plp-1, 所以a11= a=pl11p-1. |p|=3, , , 而 , 故 . 24. 设ap=pl, 其中, , 求j(a)=a8(5e-6a+a2). 解 j(l)=l8(5e-6l+l2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(a)=pj(l)p-1 . 25. 设矩阵a、b及a+b都可逆, 证明a-1+b-1也可逆, 并求其

19、逆阵. 证明 因为 a-1(a+b)b-1=b-1+a-1=a-1+b-1, 而a-1(a+b)b-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以a-1(a+b)b-1可逆, 即a-1+b-1可逆. (a-1+b-1)-1=a-1(a+b)b-1-1=b(a+b)-1a. 26. 计算. 解 设, , , , 则 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 验证. 解 , 而 , 故 . 28. 设, 求|a8|及a4. 解令, , 则 , 故 , . . 29. 设n阶矩阵a及s阶矩阵b都可逆, 求 (1); 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . (2). 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . 30

20、. 求下列矩阵的逆阵: (1); 解 设, , 则 , . 于是 . (2). 解 设, , , 则 . 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2(-1), r3(-2). ) (下一步: r3-r2. ) (下一步: r33. ) (下一步: r2+3r3. ) (下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. ) . (2); 解 (下一步: r22+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r12. ) . (3)

21、; 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2(-4), r3(-3) , r4(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1r2, r2(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ) . 2. 设, 求a. 解 是初等矩阵e(1, 2), 其逆矩阵就是其本身. 是初等矩阵e(1, 2(1), 其逆矩阵是 e(1, 2(-1) . . 3. 试利用矩阵

22、的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1); 解 故逆矩阵为. (2). 解 故逆矩阵为. 4. (1)设, , 求x使ax=b; 解 因为 , 所以 . (2)设, , 求x使xa=b. 解 考虑atxt=bt. 因为 , 所以 , 从而 . 5. 设, ax =2x+a, 求x. 解 原方程化为(a-2e)x =a. 因为 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式. 例如, , r(a)=3. 是等于0的2阶子式, 是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵a中

23、划去一行得到矩阵b, 问a, b的秩的关系怎样? 解 r(a)r(b). 这是因为b的非零子式必是a的非零子式, 故a的秩不会小于b的秩. 8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1); 解 (下一步: r1r2. ) (下一步: r2-3r1, r3-r1. ) (下一步: r3-r2. ) , 矩阵的, 是一个最高阶非零子式. (2); 解 (下一步: r1

24、-r2, r2-2r1, r3-7r1. ) (下一步: r3-3r2. ) , 矩阵的秩是2, 是一个最高阶非零子式. (3). 解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. ) (下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) (下一步: r216r4, r3-16r2. ) , 矩阵的秩为3, 是一个最高阶非零子式. 10. 设a、b都是mn矩阵, 证明ab的充分必要条件是r(a)=r(b). 证明 根据定理3, 必要性是成立的. 充分性. 设r(a)=r(b), 则a与b的标准形是相同的. 设a与b的标准形为d, 则有ad, db.由等价关系的传递性, 有ab. 11.

25、 设, 问k为何值, 可使 (1)r(a)=1; (2)r(a)=2; (3)r(a)=3. 解 . (1)当k=1时, r(a)=1; (2)当k=-2且k1时, r(a)=2; (3)当k1且k-2时, r(a)=3. 12. 求解下列齐次线性方程组: (1); 解对系数矩阵a进行初等行变换, 有 a=, 于是 , 故方程组的解为 (k为任意常数). (2); 解 对系数矩阵a进行初等行变换, 有 a=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). (3); 解 对系数矩阵a进行初等行变换, 有 a=, 于是 , 故方程组的解为 . (4). 解 对系数矩阵a进行初等行变换,

26、有 a=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). 13. 求解下列非齐次线性方程组: (1); 解 对增广矩阵b进行初等行变换, 有 b=, 于是r(a)=2, 而r(b)=3, 故方程组无解. (2); 解 对增广矩阵b进行初等行变换, 有 b=, 于是 , 即 (k为任意常数). (3); 解 对增广矩阵b进行初等行变换, 有 b=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数). (4). 解 对增广矩阵b进行初等行变换, 有 b=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数). 14. 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得 , 与此等价地可以写成 , 或

27、 , 或 , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组. 15. l取何值时, 非齐次线性方程组. (1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解 . (1)要使方程组有唯一解, 必须r(a)=3. 因此当l1且l-2时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解, 必须r(a)r(b), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)20. 因此l=-2时, 方程组无解. (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须r(a)=r(b)3, 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0. 因此当l=1时, 方程组有无穷多个解. 16. 非齐次线性方程组当l取何值时有解？并求出它

28、的解. 解. 要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 当l=1时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 当l=-2时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 17. 设. 问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解 b= . 要使方程组有唯一解, 必须r(a)=r(b)=3, 即必须 (1-l)(10-l)0,所以当l1且l10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须r(a)r(b), 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)0, 所以当l=10时, 方程组无解. 要使方程组有无穷多

29、解, 必须r(a)=r(b)3, 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以当l=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为 b,方程组的解为 ,或 (k1, k2为任意常数). 18. 证明r(a)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bt, 使a=abt. 证明 必要性. 由r(a)=1知a的标准形为 , 即存在可逆矩阵p和q, 使 , 或. 令, bt=(1, 0, , 0)q-1, 则a是非零列向量, bt是非零行向量, 且a=abt. 充分性. 因为a与bt是都是非零向量, 所以a是非零矩阵, 从而r(a)1. 因为 1r(a)=r(abt)min

30、r(a), r(bt)=min1, 1=1, 所以r(a)=1. 19. 设a为mn矩阵, 证明 (1)方程ax=em有解的充分必要条件是r(a)=m; 证明 由定理7, 方程ax=em有解的充分必要条件是r(a)=r(a, em),而| em|是矩阵(a, em)的最高阶非零子式, 故r(a)=r(a, em)=m. 因此, 方程ax=em有解的充分必要条件是r(a)=m. (2)方程ya=en有解的充分必要条件是r(a)=n. 证明 注意, 方程ya=en有解的充分必要条件是atyt=en有解. 由(1) atyt=en有解的充分必要条件是r(at)=n. 因此，方程ya=en有解的充分必

31、要条件是r(a)=r(at)=n. 20. 设a为mn矩阵, 证明: 若ax=ay, 且r(a)=n, 则x=y. 证明 由ax=ay, 得a(x-y)=o. 因为r(a)=n, 由定理9, 方程a(x-y)=o只有零解, 即x-y=o, 也就是x=y.第四章向量组的线性相关性 1. 设v1=(1, 1, 0)t, v2=(0, 1, 1)t, v3=(3, 4, 0)t, 求v1-v2及3v1+2v2-v3. 解 v1-v2=(1, 1, 0)t-(0, 1, 1)t =(1-0, 1-1, 0-1)t =(1, 0, -1)t. 3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)t +2(0, 1

32、, 1)t -(3, 4, 0)t =(31+20-3, 31+21-4, 30+21-0)t =(0, 1, 2)t. 2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)t, a2=(10, 1, 5, 10)t, a3=(4, 1, -1, 1)t. 解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)t. 3. 已知向量组 a: a1=(0, 1, 2, 3)t, a2=(3, 0, 1, 2)t, a3=(2, 3, 0, 1)t; b: b1=(2, 1, 1, 2)t, b2=(0, -2, 1,

33、1)t, b3=(4, 4, 1, 3)t, 证明b组能由a组线性表示, 但a组不能由b组线性表示. 证明 由 知r(a)=r(a, b)=3, 所以b组能由a组线性表示. 由 知r(b)=2. 因为r(b)r(b, a), 所以a组不能由b组线性表示. 4. 已知向量组 a: a1=(0, 1, 1)t, a2=(1, 1, 0)t; b: b1=(-1, 0, 1)t, b2=(1, 2, 1)t, b3=(3, 2, -1)t, 证明a组与b组等价. 证明 由,知r(b)=r(b, a)=2. 显然在a中有二阶非零子式, 故r(a)2, 又r(a)r(b, a)=2, 所以r(a)=2,

34、 从而r(a)=r(b)=r(a, b). 因此a组与b组等价. 5. 已知r(a1, a2, a3)=2, r(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 证明 (1)由r(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由r(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相

35、关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示. 6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)t, (2, 1, 0)t, (1, 4, 1)t; (2) (2, 3, 0)t, (-1, 4, 0)t, (0, 0, 2)t. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为a. 因为 , 所以r(a)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为b. 因为 , 所以r(b)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关. 7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)t, a2=(1, a, -1)t,

36、a3=(1, -1, a)t. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为a. 由 知, 当a=-1、0、1时, r(a)3, 此时向量组线性相关. 8. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 设, 则 b=ca1-(1+c)a2, cr. 9. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定. 例如, 当a1=(1, 2)t, a2=(2,

37、 4)t, b1=(-1, -1)t, b2=(0, 0)t时, 有 a1+b1=(1, 2)t+b1=(0, 1)t, a2+b2=(2, 4)t+(0, 0)t=(2, 4)t, 而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的. 10. 举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组a1, a2, , am是线性相关的, 则a1可由a2, , am线性表示. 解 设a1=e1=(1, 0, 0, , 0), a2=a3= =am=0, 则a1, a2, , am线性相关, 但a1不能由a2, , am线性表示. (2)若有不全为0的数l1, l2, , lm使l1a1+ +lm

38、am+l1b1+ +lmbm=0成立, 则a1, a2, , am线性相关, b1, b2, , bm亦线性相关. 解 有不全为零的数l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam +l1b1+ +lmbm =0,原式可化为l1(a1+b1)+ +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, , am=em=-bm, 其中e1, e2, , em为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1, a2, , am和b1, b2, , bm均线性无关. (3)若只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0才能成立, 则a1,

39、a2, , am线性无关, b1, b2, , bm亦线性无关. 解 由于只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式由l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm =0成立, 所以只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, , am+bm线性无关. 取a1=a2= =am=0, 取b1, , bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1, a2, , am线性相关. (4)若a1, a2, , am线性相关, b1, b2, , bm亦线性相关, 则有不全为0的数, l1, l

40、2, , lm使l1a1+ +lmam=0, l1b1+ +lmbm=0同时成立. 解 a1=(1, 0)t, a2=(2, 0)t, b1=(0, 3)t, b2=(0, 4)t, l1a1+l2a2 =0l1=-2l2,l1b1+l2b2 =0l1=-(3/4)l2,l1=l2=0, 与题设矛盾. 11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,从而 b1-b2+b3-b4=0, 这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 12. 设b1=a1, b2=a1+a2, , br =a1+a2+ +ar, 且向量组a1, a2, , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, , br线性无关. 证明