2021-2022学年九年级上册人教版数学教学课件 21.2.3解一元二次方程因式分解法

1、21.2.3 因式分解法因式分解法 九年级上册九年级上册 RJ 解一元二次方程解一元二次方程 第一课时第一课时 （一）因式分解的方法 1.提公因式法:一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与 另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 提公因式法. 2.公式法:利用平方差公式 利用完全平方公式 分解因式. 22 ()()aba b a b 222 2aab ba b（） 知识回顾知识回顾 3.十字相乘法:利用x+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)分解因式. (二)解一元二次方程的方法 1.直接开平方法： 形如 的方程，用直接开 平方法. 0

2、 2 nnmx 2.配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程. 3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判 别式 =b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，利用求根公式 x= 求方程的根. 2 4 2 bbac a 会用因式分解法解一元二次方程 学习目标学习目标 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单 位：m)为10 x4.9x2.根据上述规律，物体经过多少 秒落回地面(结果保留小数点后两位)？ 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m， 即 10 x4.9x20. 课堂导入课堂导入 用配方法或公式法解

3、方程都不简单，你能 想到别的简单方法解这个方程吗？ x(10 - 4.9x) = 0， 观察方程 10 x4.9x20，它有什么特点？你能根据它 的特点找到更简便的方法吗？ 10 x - 4.9x 2 = 0, x = 0 或10 - 4.9x = 0， 知识点新知探究新知探究 ab=0a=0或b=0 右边为0 左边可以 因式分解 解方程10 x4.9x20时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次， 而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积 等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从 而实现降次这种解一元二次方程的方法叫做因 式分解法 理论依据:ab=0a=

4、0或b=0. 降次 结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0. 解法一：因式分解，得 (x2)(x1)0. 于是得 x20，或，或x10， x12，x21. 例1 解方程：x(x2)x20.整体思想:公因式x-2 易错点:这里提取 公因式x-2后，还 剩下1，不是0. 解法二：整理，得x2-x-2=0 因式分解，得(x2)(x1)0. 于是得 x20，或，或x10， x12，x21. 解法一用到了整体 思想，解法二用到 了十字相乘法 新知探究新知探究 跟踪训练 例2 解方程： 22 13 522. 44 xxxx 平方差公式 解：移项、合并同类项，得 4x210. 因式分解，得 (2x1)

5、(2x1)0. 于是得 2x10，或2x10， 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程的右边化为0； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方 程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元 二次方程的解. 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式， 如 x(x-1)=x， 若约去 x，则会导致丢掉 x=0 这个根. 常见类型常见类型因式分解因式分解方程的解方程的解 x2+bx=0 x(x+b)=0 x1=0，x2=-b x2-a2=0(x-a) (x+a)=0 x1=-a，x2=a x22ax+a2=0(xa

6、)2=0 x1=x2=a x2+(a+b)x+ab=0 (a，b为常数) (x+a)(x+b)=0 x1=-a，x2=-b 常见的可以用因式分解法求解的方程的类型常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 解：(1)因式分解，得x(x1)0， 于是得x0，或x10， 即x10，x21. 随堂练习随堂练习 用因式分解法解下列方程: (1)x2+x=0; (2)(2x-3)2=(3x-2)2; (3)3x2-6x=-3; (2)(2x-3)2=(3x-2)2; (2)解法一：移项，得(2x-3)2-(3x-2)2 =0. 因式分解，得(2x-3)+(3x-2)(2x-3)-(3x-2)0. 即(5x-

7、5)(-x-1)=0， 所以5x-50，或-x-10， x11，x2-1. 整体思想 (2)(2x-3)2=(3x-2)2; (2)解法二：整理，得x2-1=0 ， 因式分解，得(x-1)(x+1)=0， 所以x-10，或x+10， x11，x21. 解：(3)移项、化简，得x2-2x+1=0， 因式分解，得(x-1)2=0， 于是得x-1=0，即x1=x2=1. (3)3x2-6x=-3; 因式分解法 概念 步骤 右化零 左分解 两因式 各求解 如果 a b =0，那么a=0或b=0.原理 将方程 左边因 式分解， 右边=0. 因式分解的方法有 ma + mb + mc = m(a+ b+

8、c); a2 2ab+b2=(a b)2； a2 -b2=(a + b)(a-b). 课堂小结课堂小结 简记 1.解方程：2(x-3)=3x(x-3). 对接中考对接中考 解：移项，得 2(x-3)- 3x(x-3) =0， 即 (x-3) (2-3x)=0， 所以 x-3=0 或 2-3x=0， 2.用因式分解法解下列方程： (1) (x-5) (x-6)=x-5； (2) 16(x-3)2-25(x-2)2=0. 解：(1)移项，得 (x-5) (x-6)- (x-5) =0， 因式分解，得 (x-5) (x-6-1)=0， 所以 x-5=0 或 x-6-1=0， 所以 x1=5，x2=7

9、. 2.用因式分解法解下列方程： (1) (x-5) (x-6)=x-5； (2) 16(x-3)2-25(x-2)2=0. 解：(2)整理方程，得 4(x-3)2-5(x-2)2=0， 因式分解，得 4(x-3)+5(x-2)4(x-3)-5(x-2)=0， 即 (9x-22)(x+2)=0， 所以 9x-22=0 或 x+2=0， 3.由多项式乘法：(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab，将该 式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分 解的公式： x2+(a + b) x+ ab = (x + a) (x + b). 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(

10、2+3)x+23=(x+2)(x+3). (1)尝试： 分解因式：x2+6x+8=(x+ )(x+ )； 24 解:(2)因为 x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)1=(x-4)(x+1)=0， 所以 x-4=0 或 x+1=0， 所以 x1=4，x2=-1. (2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0. 21.2.3 因式分解法因式分解法 九年级上册九年级上册 RJ 第二课时第二课时 解一元二次方程解一元二次方程 解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 知识回顾知识回顾 会选择适当的方法（直接开平方法、配方法、公式 法、因式分解法）解一元二次方程

11、学习目标学习目标 配方法：配方法： 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0 . 课堂导入课堂导入 解：10 x-4.9x2=0化为一般式为4.9x2-10 x=0. 公式法：公式法： 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0 . 课堂导入课堂导入 a=4.9，b=-10，c=0. b2-4ac= (-10)2-44.90=100. 解： 10 x-4.9x2=0, x(10-4.9x) =0, x =0或10-4.9x=0, 因式分解法：因式分解法： 分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10 x-4.9x2=0 . 课堂导入课堂导入 一元二

12、次方程解法的比较 方法理论依据适用方程关键步骤主要特点 直接开 平方法 平方根的 定义 (ax+b)2=n(a0， n0)型方程 开平方 求解迅速、准确， 但只适用于一些特 殊结构的方程 因式分 解法 若ab=0， 则 a=0或 b=0 能化为一边为0， 另一边为两个因式 乘积的形式的方程 分解因式 求解迅速、准确， 但适用范围小 配方法 完全平方 公式 所有一元二次方程配方 解法烦琐，当二次 项系数为1时用此法 比较简单 公式法配方所有一元二次方程 代入求根 公式 计算量大，易出现 符号错误 知识点新知探究新知探究 例 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；(

13、2) (5x + 1)2=1； (3)x2 - 12x = 4； (4)3x2 = 4x + 1. 解：(1)化简，得 (3x-5)(x+5)=0. 即3x-5=0 或 x+5=0. 新知探究新知探究 跟踪训练 (1)式左右两边可 以提取公因式， 所以用因式分解 法解答较快. (2) (5x + 1)2=1； 解： (2)开平方，得 5x + 1 = 1. 方程一边以平方 形式出现，另一 边是常数，可用 直接开平方法. 解： (3) 配方，得 x2-12x+62=4+62， 即 (x - 6)2 =40. (3)x2 - 12x = 4; 二次项的系数 为1，用配方法 解题较快. 解： (4)

14、 化为一般形式为 3x2 -4x-1=0. =b2 - 4ac = 28 0， (4)3x2 = 4x + 1. 二次项的系数不 为1，且不能直 接开平方，也不 能直接因式分解， 所以适合公式法. 解一元二次方程的方法的选择技巧 若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m0，p0) 的 形式，则宜选用直接开平方法； 若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数 为偶数，则宜选用配方法； 若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行 因式分解，则宜选用因式分解法； 若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便， 则宜选用公式法. x2-3x+1=0； 3x2-1=0； -3t2+t=0； x2-

15、4x=2； 2x2-x=0； 5(m+2)2=8； 3y2-y-1=0； 2x2+4x-1=0； (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 1.填空： 随堂练习随堂练习 2.用适当的方法解下列方程： (1) x2-2x-8=0；(2) 2x2-7x+6=0；(3) (x-1)2-2x+2=0. 解：(1)移项，得 x2-2x=8， 配方，得(x-1)2=9， 所以x-1=3， 所以x1=4，x2=-2. 解：(2)因为 a=2，b=-7，c=6， 所以 b2-4ac=10， 2.用适当的方法解下列方程： (2) 2x

16、2-7x+6=0； 解:(3)原方程可化为 (x-1)2-2(x-1)=0， 因式分解，得 (x-1)(x-1-2)=0， 所以 x-1=0或 x-3=0， 所以 x1=1，x2=3. 2.用适当的方法解下列方程： (3) (x-1)2-2x+2=0. 易错点：添括号， 括号前是负号， 各项要变号. 解一元二次方程 解法 根的判别式 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 求根公式 前提： 0 课堂小结课堂小结 对接中考对接中考 1.(2020大兴安岭中考大兴安岭中考)解方程：x25x+60 解：因式分解，得(x2)(x3)0， 则x20或x30， 解得x12，x23 2.（2020荆州荆州中考中考） 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，