工科数学分析D4_4傅里叶级数

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节第四节 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第四章第四章 傅里叶级数傅里叶级数 四、周期为四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动简单的周期运动 :)sin(tAy (谐波函数谐波函数) ( A为为振幅振幅, 复杂的周期运动复杂的周期运动 :)sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnn

2、n sincoscossin 令令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt 得函数项级数得函数项级数)sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 为为角频率角频率,为为初相初相 ) (谐波迭加谐波迭加) 称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数. 目录 上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 证证: 1 xnxdcos 1 xnxdsin0 xnxk coscos )(

3、nk xxnxkdcoscos 0 0sinsin xxnxkd 同理可证同理可证 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交正交 , ,上的积分等于上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在 0sincos xxnxkd )(nk 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2, 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 返回 结束

4、二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有 ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 证证: 由定理条件由定理条件, 1 0 dsindcosd 2 d)( n nn xxnbxxnax a xxf 0 a ,对对在在 逐项积分逐项积分, 得得 目录 上页 下页 返回 结束 xxk a xxkxfdcos 2 dcos)(

5、0 1n xxnxkandcoscos xxnxkbndsincos xxkakdcos 2 k a xxkxfakdcos)( 1 ),2, 1(k ( (利用正交性利用正交性) ) ),2, 1(dsin)( 1 kxxkxfbk xxfad)( 1 0 类似地类似地, 用用 sin k x 乘乘 式两边式两边, 再逐项积分可得再逐项积分可得 目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数 称为称为 的的傅傅里里叶系数叶系数 ; 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 由公式由公式 确定

6、的确定的 nn ba , 以以)(xf )(xf ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn 的傅的傅里里 的的傅傅里里叶级数叶级数 . 称为函数称为函数 )(xf 简介简介 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的 周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛

7、 , 且有且有 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点为间断点 其中其中 nn ba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点 注意注意: 函数展成函数展成 傅傅里里叶级数的条叶级数的条 件比展成幂级数件比展成幂级数 的条件低得多的条件低得多. 简介简介 目录 上页 下页 返回 结束 y x 例例1. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为 ), 0,1 0,1 )( x x xf 解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶

8、系数 dcos)( 1 xnxxfan 0 0 dcos1 1 dcos) 1( 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. O 1 1 目录 上页 下页 返回 结束 dsin)( 1 xnxxfbn 0 0 11 ( 1)sind1 sin d nxxnx x 0 1cos nx n 0 1cos nx n 2 1 cos n n 2 1 ( 1) n n 4 , n ,0 ,5,3,1n当 ,6,4,2n当 4 ( )sin f xxx3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 (,0,2 ,)xx 目录 上页 下页 返回 结束 y

9、 x 1 1 O ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 0 2 11 2) 傅氏级数的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x 说明说明: ), 2, 1, 0(kkx当 f (x) 的情况见右图. O y x 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 上的表达式为上的表达式为 ), 0,0 0, )( x xx xf 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: 0 d)( 1 xxfa 0 dcos 1 xxnx dcos)

10、( 1 xnxxfan 0 d 1 xx 02 2 1 x 2 0 2 cossin 1 n nx n nxx 2 1 cos n n 它在它在 x y O 2332 目录 上页 下页 返回 结束 ), 2, 1(n dsin)( 1 xnxxfbn n n 1 ) 1( ),2,1(k 12 kn kn2, 0 0 dsin 1 xnxx )(xf 4 cos x 2 xsinx2sin 2 1 3sin 3cos xx 3 2 2 3 1 x4sin 4 1 5sin 5cos xx 5 2 2 5 1 cos1 2 n n an , ) 12( 2 2 k ),2,1,0,) 12(,(

11、kkxx 说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于 2 2 )(0 目录 上页 下页 返回 结束 , )(xxf 周期延拓 )(xF 傅里里叶展开 ,)(在xf上的傅里叶级数 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 ), )(xxf , )2(kxf其它 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数将函数 0, 0, )( xx xx xf 则则 0 d)( 1 xxFa d)( 1 xxf 0 d 2 xx 0 2 2 2 x dcos)( 1 xnxxFan dcos)( 1 xnxxf 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin 2 n

12、 nx n nxx 解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 2 为为周期周期的函数的函数 F(x) , y x O 目录 上页 下页 返回 结束 x3cos 3 1 2 n a )1cos( 2 2 n n 12 kn kn2,0 ),2,1(k , ) 12( 4 2 k dsin)( 1 xnxxFbn dsin)( 1 xnxxf0 )(xf 2 4 xcosx5cos 5 1 2 )(x 当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得 222 2 ) 12( 1 5 1 3 1 1 8 n 说明说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展

13、式可求出几个特殊的级数的和. 目录 上页 下页 返回 结束 4 2 , 4 21 3 1 2 24 2 设, 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知 8 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 又 21 213 6 24 8 222 12 24 8 222 目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数 定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 周期为2的偶函数 f (x) ,

14、 其傅里叶级数为余弦级数 , 0 2 ( )cosd(0,1, 2,) n af xnxxn ),3,2,1( 0nbn ),2,1,0( 0nan 0 2 ( )sind(1, 2,3,) n bf xnxxn 它的傅里叶系数为 正弦级数,它的傅里叶系数为 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设 的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里里叶级数. f (x) 是周期为2 的周期函数,它在 上), 解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx 是则)(xf 周期为 2 的奇函数, 0 dsin)( 2 xnxxfbn ),2,1,0(0nan ),3,2,1(n 0 d

15、sin 2 xnxx 因此 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 1 ) 1( 2 n n y xO 目录 上页 下页 返回 结束 n1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: )(xf ,(x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxx 1 2 n nx n n sin ) 1( 1 (21) ,0,1 ,)xkk 级数的部分和 , ) 在上 逼近 f (x) 的情况见右图. y xO n2n3n4n5 O x y 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义在定义在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 ( ),0,f x

16、x )(xF 周期延拓 F (x) )(xF f (x) 在 0, 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓偶延拓 xO y 正弦级数 f (x) 在 0, 上展成 O x y ( ),(0, f xx 0, 0 x (),(, 0)fxx ( ),0, f xx (),(, 0)fxx 目录 上页 下页 返回 结束 x y O 1 例例5. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 2 0 2cossincos xnxnxnx

17、 nnn 2 1coscos nn n 12 kn kn2 ),2, 1(k 22 , 21 k , 1 k 目录 上页 下页 返回 结束 n b 12, 12 22 kn k kn k 2, 1 ),2, 1(k 2 1xxsin)2( x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . x y O 1 目录 上页 下页 返回 结束 再求余弦级数. x y 将)(xf则有 O 0 a 0 2 (1)d xx n a 0 2 (1)cosd xnxx 2 0 2 2

18、 x x 2 2 0 2sincossin xnxnxnx nnn 2 2 cos1 n n 2 4 ,21 (21) nk k kn2,0 ),2, 1(k 作偶周期延拓 , 1 目录 上页 下页 返回 结束 n a 12, ) 12( 4 2 kn k kn2,0 ),2, 1(k 11 2 x xcosx3cos 3 1 2 (0)x x5cos 5 1 2 说明说明: 令 x = 0 可得 2 22 11 1 358 2 2 1 1 (21)8 n k 即 4 1 2 2 1 41 (21) k k xk) 12cos( x y O 1 目录 上页 下页 返回 结束 四、周期为四、周期

19、为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f (x) 周期为 2 的函数 F(z) 变量代换 l x z 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 目录 上页 下页 返回 结束 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个极值点 n a x l xn xf l b l l n dsin)( 1 l 1 x l xn xf l l dcos)( ),2, 1,0(n ),2, 1(n 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里里叶级数展开式为

20、1 0 sincos 2 )( n nn l xn b l xn a a xf (在 f (x) 的连续点处) 其中 定理定理. 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 1 )( n n bxf ),2, 1(dsin)( nx l xn xfbn其中 (在 f (x) 的连续点处) l xn sin l 2 0 l 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) 2 )( 0 a xf ),2, 1,0(dcos)( nx l xn xfan其中 1n n a l xn cos 注注: 无论哪种情况 , ).()( 2 1 xfxf 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数 都收敛于 l 2 0 l 如果 f (x) 为奇函数, 则有 目录 上页 下页 返回 结束 O y x 2 例例6. 把展开成)20()(xxxf (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 ),2, 1,0(0nan 2 0 2 2 xbnx xn d 2 sin 0 2 2 2 sin 2 2 cos 2xn n xn x n n n cos 4 ),2, 1() 1( 4 1 n