刚体动能(05)

1、例例(滑轮质量为滑轮质量为m) 甲乙两人质量相等甲乙两人质量相等,由静止出发作爬绳比赛由静止出发作爬绳比赛, 若甲的力量比乙大若甲的力量比乙大,谁先到达最高点谁先到达最高点? 甲甲 乙乙 解解: 取人、轻滑轮、绳为系统取人、轻滑轮、绳为系统 o 选选o为参考点，外力矩之和为参考点，外力矩之和 ? M R 0gRmgRm 乙甲 甲 v 乙 v 设甲、乙对地的速度分别为设甲、乙对地的速度分别为 、 甲 v 乙 v 0RvmRvmJ 甲甲乙乙 甲乙 mm 不同时到达，甲先 甲乙 ,vv mgmg系统角动量守恒系统角动量守恒 mg 若甲用力大若甲用力大 3-4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定

2、理 Theorem of Kinetic Energy of Turn of Fixed Axes) 一）刚体定轴转动动能一）刚体定轴转动动能 M ni mmmm 21, 刚体的动能应为各质元动能之刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的和为此将刚体分割成很多很小的 质元质元 2 2 1 iiv m i m i r 任取一质元任取一质元 距转轴距转轴 ，则该质元动能：，则该质元动能： 故刚体的动能：故刚体的动能： 22 1 2 1 ii n i k rmE 刚体绕定轴以角速度刚体绕定轴以角速度 旋转旋转 i v i m r i 2 )( 2 1 ii rm 22 2 1 iir

3、 m 2 1 2 2 1 )( n i iik rmE 2 2 1 J rdds 二）力矩的功、定轴转动的动能定理二）力矩的功、定轴转动的动能定理 设有一外力设有一外力 作用在作用在 刚体上，绕刚体上，绕O轴作定轴轴作定轴 转动（转动（ 在垂直于轴在垂直于轴 的平面内）。的平面内）。 F F dt在时间在时间 内刚体角位移为内刚体角位移为d sincos dsFdA MddFrdAsin )1(MddA 在一微小过程中在一微小过程中 力矩作的功力矩作的功 M M d F O r 力力 F 作的功：作的功： ds + rdFcos )1(MddA 在一微小过程中在一微小过程中 力矩作的功力矩作的

4、功 21 在考虑一个有限过程，设在考虑一个有限过程，设 在力矩作用下，刚体的角在力矩作用下，刚体的角 位置由位置由则力矩的则力矩的 功功 )2( 2 1 MddAA 力矩的功力矩的功反映反映力矩对空间的积累作用力矩对空间的积累作用，力矩越，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？ O M 1 X M 2 1 X 1 2 O M 1 X M 2 1 X 1 2 由（由（1）式：）式： MddA 21 考虑一个过程，设在力考虑一个过程，设在力 矩作用下，刚体的角位矩作用

5、下，刚体的角位 置由置由 角速度由角速度由 21 2 1 MdA 力矩 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ 2 1 dJ 2 1 2 2 2 1 2 12 1 JJMd 此称刚体转动此称刚体转动 的动能定理的动能定理 dJ dJ d dt d J 2 1 2 2 2 1 2 12 1 JJMd 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理：外力矩对转动刚体：外力矩对转动刚体 所作的功，等于刚体转动动能的增量。所作的功，等于刚体转动动能的增量。 例例）设一细杆的质量为）设一细杆的质量为m ，长为，长为L，一端支以枢轴而，一端支以枢轴而 能自由旋转，设此杆自水平能自由旋转，设此杆自水平 静止释放

6、。求：静止释放。求： 当杆过铅直位置当杆过铅直位置时的角速度；时的角速度； 解：考虑杆从水平静止转到铅解：考虑杆从水平静止转到铅 直方向的过程，角速度从直方向的过程，角速度从 0 依动能定理依动能定理 2 0 2 2 1 2 1 JJA 力矩 cossin Z mg Y XO N r d L mgsin 2 2/ 0 2 L mg 2/ 0 MdA 力矩 0 2 1 2 2 J L mg J mgL L g3 i m iip gymE g M ym M ii 三三.刚体的重力势能刚体的重力势能 ii gym 任取一质元其势能为任取一质元其势能为 (以以O为参考点）为参考点） C Mgy O X

7、 Y mi M C C v i y C y 结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能 零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体 的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心 处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）处，当一个质点处理即可（无论平动或转动） 对于包含有定轴转动刚体的系统，动能定理、功能原理和对于包含有定轴转动刚体的系统，动能定理、功能原理和 机械能守恒定律与质点系没有本质的差别，只是要注意：机械能守恒定律与质点系没有本质的差别，只是要注意： 质点的动能写成质点的动能

8、写成 ，而刚体的转动动能必须写成，而刚体的转动动能必须写成 2 2 1 mv 2 2 1 J 例、设有一均匀圆盘，质量为例、设有一均匀圆盘，质量为m m，半径为，半径为R R，可绕过盘心，可绕过盘心 的光滑竖直轴在小平轴上转动，圆盘与桌面间的滑动磨的光滑竖直轴在小平轴上转动，圆盘与桌面间的滑动磨 擦系数为擦系数为 。若用外力推动，使其具有角速试为。若用外力推动，使其具有角速试为 0 0，撤，撤 去外力，求：去外力，求：此圆盘还能转动角位移？ 此圆盘还能转动角位移？ r dr Z+ 解：规定轴的正向解：规定轴的正向Z df 分割成许多细圆环分割成许多细圆环 rdrdsdm2 drrggrdmdM

9、 2 2 gRm 3 2 drrgM R 2 0 2 2 0 2 1 0 3 2 JgRm 2 2 1 mRJ g R 8 3 2 0 M M+ 求求：?解解： 依角动量守恒定理：依角动量守恒定理： ) 3 1 (cos 22 mlMlmlv mgLMgmLML L 2 222 3 1 2 1 )( coscos 2 mgLMg L 例题例题2 2）一木杆长）一木杆长L L可绕光滑端轴可绕光滑端轴O O旋转，它原来静止。旋转，它原来静止。 设这时有一质量为设这时有一质量为m m的子弹沿如图方向，以速度的子弹沿如图方向，以速度 射入杆端并箝射入杆端并箝 入杆内，求杆偏转的最大角度。入杆内，求杆偏

10、转的最大角度。 v v mgLMgL mgLMgLvm 2 2)cos(3 cos 2 例例4洗衣机、汽车等许多机器上用的摩擦离合器由同轴的洗衣机、汽车等许多机器上用的摩擦离合器由同轴的 飞轮飞轮1和摩擦轮和摩擦轮2组成，设两轮结合前轮组成，设两轮结合前轮1的角速度的角速度1转动，转动， 轮轮2静止；两轮沿轴向结合后，轮静止；两轮沿轴向结合后，轮1减速而轮减速而轮2加速，最后加速，最后 以同一角速度以同一角速度转动。已知两轮对轴的转动惯量分别为转动。已知两轮对轴的转动惯量分别为J1 和和J2，不计轴承摩擦力矩，求两轮的共同角速度，不计轴承摩擦力矩，求两轮的共同角速度。 。 解：解： 系统角动量

11、守恒系统角动量守恒 1112 ()JJJ 例例5半径半径R质量质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转动，滑轮上绕的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转动，滑轮上绕 有轻绳，绳的一端悬挂质量为有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。当物体从静止下降距离的物体。当物体从静止下降距离h时，时， 物体速度是多少？物体速度是多少？ 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对象。由于只有保解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对象。由于只有保 守力做功，故机械能守恒。守力做功，故机械能守恒。 22 2 1 2 1 mvJmgh M R v m h 初态：动能为零，重力势能为初态：动能为零，重力势能为 末态：动能包括滑轮转

12、动动能和物体平动动能末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 设终态时重力势能为零设终态时重力势能为零 RvMRJ, 2 1 2 由机械能守恒由机械能守恒 mM mgh v 2 例例6. 质量分别为质量分别为m和和2m、半径分别为、半径分别为r和和2r的两个的两个 均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且 垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动 惯量为惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子 下端都挂一质量为下端都挂一质量为m的重物，如图所示求盘的角的重物，如图所示求盘的角 加速度的大小加速度的大小 m r m m 2m 2r 例例. 有一门质量为有一门