2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 4.2微积分基本定理 课件（共17张）

1、 微积分基本定理 ( (一一) )复习复习: : 什么叫定积分什么叫定积分? 1 () lim n b ia ni fx dxfx (二二)设置情景设置情景,合作探究：合作探究： 如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律 是是 。由导数的概念可知由导数的概念可知, ,它在任意时刻它在任意时刻t t的速的速 度是。设这个物体在时间段内的位度是。设这个物体在时间段内的位 移为移为S S，你能分别用，表示吗？，你能分别用，表示吗？ )()(tstv ba, )(ts)(tv )(tss t ss(t ) o ab a(t ) 0 t1 i t 1 i t n

2、b(t ) n t 12 t A B t O s(a ) s(b) S ss(t ) 12 in SSSS S s(a ) s(b) S1 S2 i S n S h 1 h2 i h n h 12 in hhhh v tt 1 ( )v tt 0 ( ) i v tt 1 () n v tt ( ) ttv n i i 1 1) ( 12 in SSSS B ab a(t ) 0 t1 i t 1 i t n b(t ) n t 12 t A t O s(a ) s(b) S ss(t ) S s(a ) s(b) S1 S2 i S n S h 1 h2 i h n h 12 in hhhh

3、 v tt 1 ( )v tt 0 ( ) i v tt 1 () n v tt ( ) S s(b) s(a ) ttv n i i 1 1) ( n i n i Sv tt 1 1 lim()( ) b a v t dt Ss bs a( )( )又又 ( )( )( )( ) bb aa v t dts t dts bs a 定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理） 牛顿莱布尼茨公式 ( )|( )( )( ) b a b a f x dxbFFF ax 如果如果 是区间是区间 a,ba,b 上的连续函数上的连续函数, ,并且并且 , ,则则 ( )( )Fxf x ( )f x

4、其中其中F(x)叫叫f(x)的原函数的原函数, f(x)叫叫F(x)的导函数。的导函数。 (三三)活学活用活学活用: 利用微积分基本定理解决前面的问题利用微积分基本定理解决前面的问题 dxx 1 0 3 dx x 2 1 1 找出找出f(x)的原的原 函数是关健函数是关健 解解（1） 1 1 (lnx) =(lnx) = x x 2 2 1 1 = =l ln nx x| |= =l ln n2 2- -l ln n1 1= =l ln n2 2 2 2 1 1 1 1d dx x x x 解解(2)(x4) 4x3 ) ) (x4) x3 1 4 即即 ( x4) x3 1 4 1 4 3

5、0 11 ( 44 1 0 )|x dx x lnlnba b b b b a a a a 1 1 公公式式 1: dx =lnx| 1: dx =lnx| x x n x n+1n+1 b b b b a a a a x x 公公式式2: dx =|2: dx =| n+1n+1 (四)自主探究 请利用微积分基本定理解决下面的问题请利用微积分基本定理解决下面的问题 (1) 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 (3x -)dx(3x -)dx x x 2 0 0 (2)cosxdx(2)cosxdx 解解:(1) 32 2 11 ()3,()xx xx 3 233 2 1 11176 (3

6、-)(3)(1) 313 xdx x 32 2 11 ()3,xx xx 2 0 0 (3)sinxdx(3)sinxdx 2 0 cossinsin01 01 2 xdx (2)解解: (sin)cosxx sin x b b b b a a a a 公公式式3: dx =(-cosx)|3: dx =(-cosx)|cosx b b b b a a a a 公公式式4: dx = sinx|4: dx = sinx| （3）解）解: ( cos )sinxx 2 0 sincos( cos0)0 1 1 2 xdx 练习: 2 0 sin_xdx 2 2 sin( cos )( cos2

7、)( cos )2xdxx 2 2 0 0 sin( cos )( cos2 )( cos0)0 xdxx 0 sincos( cos0) 1 1 2xdx 0 sin_xdx 2 sin_xdx x y o 我们发现：我们发现： （）定积分的值可取正值也可取（）定积分的值可取正值也可取 负值，还可以是负值，还可以是0； （2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x轴上方时，轴上方时， 定积分的值取正值；定积分的值取正值； （3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x轴下方轴下方 时，定积分的值取负值；时，定积分的值取负值； 定积分的几何意义：定积分的几何意义： Ox y ab yf (x) b a f

8、(x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxf b a )( 在几何上表示由 y=f (x)、 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方， x y O dxxfS b a )( ， dxxf b a )( ab yf (x) yf (x) dxxfS b a )( b a f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S 上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 积分 b a f (x)dx 在几何上表示 b a f (x)dx f (x)dxf (x)dx。

9、S 定积分的几何意义：定积分的几何意义： b a f(x)dx 在几何上表示在几何上表示由由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成的曲边轴所围成的曲边图形面积的代数和图形面积的代数和(即即x轴上轴上 方的面积减去方的面积减去x轴下方的面积轴下方的面积). 牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家 和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格 兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文 学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制 定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后 当选为三

10、一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡 斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移 居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王 安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的 创建。 莱布尼茨 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人； 1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广 泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习 几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工 作使他成为数理逻辑的创始人