高中数学一轮复习课件：空间点线面的位置关系

1、 考 纲 要 求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义 2了解可以作为推理依据的公理和定理 3能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间图形的位置关系的简单命题 热 点 提 示 1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能 力 2通过判断位置关系，考查空间想象能力 3应用公理、定理证明点共线、线共面等 问题 4多以选择、填空的形式考查，有时也出 现在解答题中. 1平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的在一个 平面内，那么这条直线在此平面内 两点 公理2：过的三点，有 且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们过该点的公 共直线 不在一条直线上 有且只有一条 2直线与直线

2、的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空 间中任一点O作直线aa，bb，把a与 b所成的 )叫做异面直线a与b 所成的角(或夹角) 范围： 锐角(或直角 位置 关系 直线a在平 面内 直线a与平 面相交 直线a与平 面平行 公共 点 公共点 公共点 公 共点 符号 表示 图形 表示 有无数个 有且只有一个 没有 a aAa 4.两个平面的位置关系 两平面 平行 公共点个数表示法图示 位置关 系 0 位置 关 系 图示表示法 公共点 个数 斜交 有 个公共 点在一 条直线 上 垂直 有 个公共 点在一 条直线 上 a a 无数 无数 5.平行

3、公理 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 垂直于同一直线的两直线的位置关系是怎 样的？ 提示：可能平行，可能相交，也可能异面. 6定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角 相等或互补 1给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 垂直于同一平面的两个平面互相平行； 若直线l1、l2与同一平面所成的角相等， 则l1、l2互相平行； 若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都 相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是( ) A1B2 C3 D4 解析：如右图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1AAB，ADAB，但 A1A与AD相交，故错； 平面A1A

4、BB1平面ABCD， 平面A1ADD1平面ABCD， 而平面A1ABB1与A1ADD1相交， 故错； 直线A1B和直线BC1与平面ABCD所成角 都是45，但A1B与BC1相交，故错； 直线A1A与直线BC异面，AB、AC均与 A1A、BC相交，但AC与AB相交，故 错 答案：D 2若三个平面两两相交，有三条交线， 且三条交线互相平行，则这三个平面把空 间分成() A5部分B6部分 C7部分D8部分 解析：如右图所示， 三个平面、两两相交，交线分别是 a、b、c且abc. 观察图形， 可得、把空间分成7部分 答案：C 3如下图所示，点P，Q，R，S分别在 正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，

5、则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 () 解析：A中PQRS；B中RSPQ； D中RS和PQ相交 答案：C 4三个不重合的平面可以把空间分成n部 分，则n的可能取值为_ 解析：当三个平面两两平行时，n4； 当三个平面两个平行，第三个与这两个都 相交时，n6； 当三个平面两两相交于同一直线时，n6； 当三个平面两两相交，交线平行时，n7； 当三个平面两两相交，只有一个公共点时， n8. 答案：4,6,7,8 5如下图所示，正方体ABCDA1B1C1D1 中， (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求 A1C1与EF所成角的大小 解：(1)如右图，连接AC

6、、AB1， 由ABCDA1B1C1D1是正方体， 知AA1C1C为平行四边形， 所以ACA1C1， 从而B1C与AC所成的 锐角或直角就是A1C1与B1C所成的角 由AB1ACB1C可知B1CA60， 即A1C1与B1C所成角为60. (2)如右图，连接BD， 由(1)知A1ACC1是平行四边形， ACA1C1， AC与EF所成的锐角或直角就是A1C1与 EF所成的角 EF是ABD的中位线， EFBD. 又ACBD， EFAC，即所求角为90. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ (2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平 面内 分析二：延长

7、FE、DC分别与AB交于M， M，可证M与M重合，从而FE与DC相 交 B为MA中点， M与M重合，即FE与DC交于点M(M)， C、D、F、E 四点共面 变式迁移 1正方体ABCDABCD中， P、Q、R分别是AB、AD、BC的中点， 那么，正方体过P、Q、R的截面图形是 _(填几边形) 解析：如下图，作RGPQ交CD于点G， 连结QP并延长与CB的延长线交于点M， 连结MR交BB于点E，连结PE、RE为截 面的部分外形 同理连结PQ并延长交CD的延长线于点N， 连结NG交DD于点F，连结QF、FG. 截面为六边形PQFGRE. 答案：六边形 【例2】(2009辽宁高考) 如右图，已知两个正

8、方形 ABCD和DCEF不在同一平面 内，M，N分别为AB，DF的 中点 ()若CD2，平面ABCD 平面DCEF，求MN的长； ()用反证法证明：直线ME 与BN是两条异面直线 ()假设直线ME与BN共面， 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面 DCEF交于EN. 由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面， 故AB 平面DCEF. 又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为 平面MBEN与平面DCEF的交线，所以 ABEN，又ABCDEF， 所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假 设不成立 所以ME与BN不共面，它们是异面直线 变式迁移 2给出下列命题： 若平面上的直线a与平面上的直线b

9、 为异面直线，直线c是与的交线，那么c 至多与a、b中的一条相交；若直线a与 b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面； 一定存在平面同时和异面直线a、b都 平行 其中正确的命题为() ABC D 解析：错，c可与a、b都相交； 错，因为a、c可能相交也可能平行； 正确，例如过异面直线a、b的公垂线段 的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条 件故选C. 答案：C 【例3】空间四边形ABCD中，ABCD 且AB与CD所成的角为30，E、F分别是 BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大 小 思路分析：要求EF与AB所成的角，可经 过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、 F为中点，故可过E或F作AB

10、的平行 线取AC的中点，平移AB、CD，使已知 角和所求的角在一个三角形中求解 解：取AC的中点G，连接EG、FG， 则EGAB，GFCD， 且由ABCD知EGFG， GEF(或它的补角)为EF与AB所成的 角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成 的角 AB与CD所成的角为30， EGF30或150. 由EGFG知EFG为等腰三角形，当 EGF30时， GEF75； 当EGF150时，GEF15. 故EF与AB所成的角为15或75. (1)求异面直线所成的角，关键是将其中 一条直线平移到某个位置使其与另一条直 线相交，或将两条直线同时平移到某个位 置，使其相交平移直线的方法有：直 接平移，中

11、位线平移，补形平移 (2)求异面直线所成角的步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线； 证：证明相交直线所成的角为异面直线 所成的角； 求：通过解三角形，求出该角. 答案：C 【例4】长方形ABCDA1B1C1D1中， AB8，BC6，在线段BD，A1C1上各 有一点P，Q，在PQ上有一点M，且PM MQ，则M点的轨迹图形的面积为 _ 答案：24 变式迁移 4在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则 在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相 交的直线() A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条 解析：本小题主要考查立体几何中空间直 线相交问题，

12、考查学生的空间想象能 力在EF上任意取一点M，直线A1D1与M 确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1 个交点N，当M取不同的位置就确定不同 的平面，从而与CD有不同的交点N，而直 线MN与这3条异面直线都有交点的如下 图： 答案：D 1刻画平面性质的三个公理是研究空间 图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立 体几何作图的依据，通过作图(特别是截 面图)的训练，可加深对公理的掌握与理 解其中确定平面的公理2是将立体几何 问题转化为平面几何问题的依据 2注意文字语言、数学图形语言和符号 语言的相互转化与应用，能够从集合的角 度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、 共线或共面问题常用归一法，如多线共点 问题，先证明两条直线交于一点，再证其 余直线都经过这点 3异面直线是立体几何的重点和难点之 一，对其定义要理解准确，有关异面直线 的论证，经常要用反证法；异面直线所成 的角，常通过平移，使两异面直线移到同 一个平面的位置上来求 4平面几何中有些概念和性质，推广到 空间不一定正确如：“过直线外一点只 能作一条直线与已知直线垂直”“同垂